Estimación Puntual by Andrea Stefania Guaquipana Agualongo

Planteamiento del Problema

andguaquipana — 2022-07-05 19:58:01 UTC

El problema que estudiamos es la estimacion de los parametros que se presentan a partir de los datos que se encuentran en la muestra.
Ejemplo:
Algunos parámetros de interés podrían ser la medida o la varianza poblacional o la promocion de las poblaciones que posee determinados atributos.

Definiciones

andguaquipana — 2022-07-05 20:07:47 UTC

Estadístico: Un estadistico T es una función real de la muestra aleatoria (X1, X2, . . . ..., Xn).
Estimador Estadístico que se usa para estimar un parámetro.
Estimación Realización específica de un estimador.
Estimador Puntual Función de la muestra que da como resultado un ´unico valor. La correspondiente realización se llama estimación puntual del parametro.
Notación:
θ = parametro que se quiere estimar
θ ˆ = estimador de θ
(acento circunflejo (ˆ) encima)

Ejemplo de Estimadores

andguaquipana — 2022-07-05 20:11:08 UTC

X = el gasto de un estudiante universitario en la compra de libros de texto. ¿cuál es el gasto medio µ = E[X]?
Una m.a.s. de tama˜no n: (X1, X2, ..., Xn). Obtenemos los valores: (x1, x2, ..., xn).

Propiedades de los Estimadores

andguaquipana — 2022-07-05 20:16:21 UTC

Son las cualidades que pueden tener estos y que sirven para escoger aquellos que son más capaces de arrojar buenos resultados.
Ejemplo:
La media, la varianza y las proporciones muestrales son estimadores insesgados de los correspondientes parámetros poblacionales. I Si E[θˆ] 6= θ se dice que el estimador es sesgado I El sesgo de un estimador viene entonces definido por Sesgo(θˆ) = E[θˆ] − θ

Propiedades de los Estimadores

andguaquipana — 2022-07-05 20:21:26 UTC

En lo que respecta a la varianza en general serán preferibles aquellos estimadores que tengan menor varianza, pues serán más precisos en el sentido de que variarán poco de unas muestras a otras.
I Sean θˆ 1 y θˆ 2 dos estimadores insesgados de θ. Diremos que θ ˆ 1 es más eficiente que θˆ 2 si se verifica que
V[θˆ 1] < V[θˆ 2]
Si θˆ es un estimador insesgado de θ, y no hay ningún otro estimador insesgado que tenga menor varianza, entonces se dice que θˆ es el estimador insesgado más eficiente o estimador de mínima varianza

Estimadores de Minima Varianza

andguaquipana — 2022-07-05 20:25:33 UTC

Es aquella que tiene menor varianza que cualquier otro estimador insesgado para todos los posibles valores del parámetro.
Algunos estimadores insesgados de mínima varianza son
La media muestral cuando la muestra proviene de una distribución normal
La varianza muestral cuando la muestra proviene de una distribución normal La proporción muestral cuando la muestra proviene de una distribución binomial

Error Cuadrático Medio

andguaquipana — 2022-07-05 20:32:08 UTC

El Error Cuadratico Medio es el segundo momento (sobre el origen) del error, y por lo tanto incorpora tanto la varianza del estimador así como su sesgo.
Que E[θˆ] no se aleje mucho de θ
Que θˆ tenga poca varianza
Si hay varios estimadores, con distinto sesgo y varianza. Es mejor el que tenga menor ECM
θ ˆ 1 es sesgado
θ ˆ 2 es insesgado pero de mayor varianza

Metodos de construcción de estimadores

andguaquipana — 2022-07-05 20:38:47 UTC

METODOS DE LOS MOMENTOS: Es un metodo de estimación de los parámetros poblacionales. se empieza derivado ecuaciones que relacionan los momentos poblacionales.
METODO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD: es una tecnica para estimar los valores θ dada una muestra final de datos.

metodo de maxima verosimil

andguaquipana — 2022-07-05 20:41:29 UTC

Es una técnica para estimar los valores de θ dada una muestra finita de datos.
L(θ) es función de θ, para unos ciertos valores fijos de la muestra (x1, . . . , xn). No es una variable aleatoria I Por comodidad, se usa su logaritmo ln L(θ) ⇐ función soporte

Propiedades del estimadores de MV

andguaquipana — 2022-07-05 20:43:58 UTC

El EMV siempre est´a dentro del espacio paramétrico.
El estimador de máxima verosimilitud es, bajo condiciones generales, se distribuye asint´oticamente (cuando el tamaño muestral tiende a infinito) según una normal.
El EMV es un estimador consistente (en el límite, para muestras grandes, tiende a tener el valor del parámetro).
El EMV es asint´oticamente insesgado (tiende a ser insesgado).
El EMV es asintóticamente eficiente (tiende a tener mínima varianza).