“Polígono de tres lados” (RAE,2022) “Los triángulos o trígonos son figuras geométricas planas, básicas, que poseen tres lados en contacto entre sí en puntos comunes denominados vértices. Su nombre proviene del hecho de que posee tres ángulos interiores o internos, formados por cada par de líneas en contacto en un mismo vértice.” 

a.       Clasificación

“Estas figuras geométricas se nombran y clasifican de acuerdo a la forma de sus lados y al tipo de ángulo que construyen. Sin embargo, sus lados son siempre tres y la suma de todos sus ángulos siempre dará 180°”. 

Existen dos clasificaciones principales de los triángulos:

Según sus lados. Dependiendo de la relación que haya entre sus tres distintos lados, un triángulo puede ser:

·         Equilátero. Cuando sus tres lados tienen la misma exacta longitud.

·         Isósceles. Cuando dos de sus lados tienen la misma longitud y el tercero una distinta.

·         Escaleno. Cuando sus tres lados poseen longitudes distintas entre sí.

Según sus ángulos. Dependiendo en cambio de la apertura de sus ángulos, podemos hablar de triángulos:

·         Rectángulos. Presentan un ángulo recto (de 90°) conformado por dos lados similares (catetos) y contrapuestos al tercero (hipotenusa).

·         Oblicuángulos. Aquellos que no presentan ningún ángulo recto, y que a su vez pueden ser:

·         Obtusángulos. Cuando alguno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°) y los otros dos agudos (menores de 90°).

. Acutángulos. Cuando sus tres ángulos interiores son agudos (menores de 90°). 

El ángulo puede ser definido como la parte del plano determinada por dos semirrectas llamadas lados que tienen el mismo punto de origen llamado vértice del ángulo. La unidad de medida de los ángulos son los grados.

1.  Ángulos Notables:

Los ángulos notables son aquellos que aparecen frecuentemente en la resolución de problemas. Estos ángulos son los que miden:

30°, 45° y 60°

2. Tipos de ángulos:

3. Trazo de Ángulos:

a.       Clasificación

Paralelogramo: Es un cuadrilátero donde los lados opuestos son paralelos entre sí (los segmentos no llegarían a intersecarse aunque fueran prolongados) y miden la misma longitud. Es una categoría dentro de la cual se encuentran otras varias.

Cuadrado: Es un tipo de paralelogramo con cuatro lados de igual longitud y paralelos entre sí. Sus ángulos interiores son rectos, es decir, miden 90º. Sus diagonales son perpendiculares entre sí (cuando se cortan forman cuatro ángulos de 90º).

Rectángulo: De sus cuatro lados, hay dos pares de lados de igual longitud. Todos sus ángulos interiores miden 90º. Sus diagonales miden lo mismo, pero no son perpendiculares entre sí.

Rombo: Todos sus lados tienen la misma longitud. Dos de sus ángulos interiores son agudos (menores a 90º), miden igual y están uno frente al otro. En tanto, los otros dos ángulos interiores son obtusos (mayores a 90º) y también miden lo mismo. Sus diagonales son perpendiculares entre sí, pero miden diferente.

Romboide: Tiene dos pares de lados que se corresponden en longitud y tiene dos ángulos interiores agudos y dos obtusos. Cada par de ángulos, que miden también lo mismo, están uno frente al otro.

Cóncavos: Cuando al menos uno de sus ángulos interiores es mayor a 180°.

Convexos: Cuando ninguno de sus ángulos interiores mide más de 180°. 

La recta o la línea recta es una línea que se extiende en una misma dirección; por lo tanto, tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Dicha recta también se puede describir como una sucesión continua de puntos extendidos en una sola dirección.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano.

 
 Como mostrar un ejemplo de semirrecta pensemos en una recta que presenta todos los números (incluidos aquellos negativos). Entonces, yo puedo tomar el conjunto de aquellos números que son mayores de 10, y este podría representarse con una semirrecta.

Otro caso, más gráfico, es el de dos semirrectas que pueden formar un ángulo, como vemos en la figura inferior.

El segmento se distingue de la semirrecta en que esta última tiene un origen, pero se prolonga hasta el infinito. En cambio, el segmento está acotado en sus dos extremos.

Una forma más formal de definir una recta es la intersección entre la semirrecta que tiene como origen el punto A (y que contiene el punto B) con la semirrecta que parte del punto B (y que contiene el punto A).

Entre los tipos de segmento, podemos distinguir:

Existen 2 tipos de rectas:

Las rectas paralelas son dos o más rectas en un plano que nunca se intersectan. Hay muchos ejemplos de rectas paralelas como los lados opuestos del marco rectangular de una pintura y los estantes de un librero.

Dos rectas no verticales en un plano son paralelas si tienen:

o       la misma pendiente

o        distintas intersecciones en y

Cualquier par de rectas verticales en un plano son paralelas.

 Las rectas perpendiculares son dos o más rectas que se intersectan formando un ángulo de 90 grados, como las dos rectas dibujadas en la gráfica. Los ángulos de 90 grados también se llaman ángulos rectos. Dos rectas no verticales son perpendiculares si la pendiente de una es el recíproco negativo de la pendiente de la otra. Si la pendiente de la primera ecuación es 4, entonces la pendiente de la segunda ecuación será porque las rectas son perpendiculares.

Rectas Secantes: Entonces, lo opuesto a las rectas paralelas, que son aquellas que no se cruzan en ningún punto. Debemos recordar que una recta en una secuencia infinita de puntos que va en una sola dirección, sin presentar curvas.

 Cabe mencionar además que un tipo de rectas secantes son las rectas perpendiculares, que son aquellas que al cruzarse forman cuatro ángulos iguales que son rectos (miden 90º), como en el dibujo inferior.

La geometría tuvo sus orígenes en Egipto con la medición de áreas, ya que al desbordarse el rio Nilo, borraba las señales que delimitaban los terrenos de los agricultores, por lo que nuevamente se tenia que hacer la medición de las parcelas de tierra para reconstruirlas después de las inundaciones anuales.

La geometría en Grecia:  La geometría griega fue la primera en ser formal, tenían escuelas donde se encontraban grandes sabios por ejemplo la escuela pitagórica como maestro principal Pitágoras, en este cuadro pintado por Rafael en 1509 se ve la escuela de Atenas con platón y Aristóteles al centro. Estos filósofos elaboraban hipótesis y propuestas, y hacían demostraciones y había que considerar si una hipótesis era cierta había que considerar cada una como tesis de otro razonamiento, cuyas hipótesis deberíamos también probar, así se tiene un proceso de que todo tiene que ser demostrado.  (Formulación, Argumentación, Demostración) este razonamiento lógico es el verdadero aporte de la geometría a la matemática. El nombre de la geometría significa (GEO=Tierra ; Metria=medida) = (Medición de la tierra) 

Geometría euclidiana

Geometría plana

Geometría espacial

Geometría analítica

Geometría diferencial

Geometría proyectiva

Geometría descriptiva

Geometría de incidencia

Geometría de dimensiones bajas

Geometría Sagrada

Geometría euclidiana

Geometría plana

Geometría espacial

Geometría analítica

Geometría diferencial

Geometría proyectiva

Geometría descriptiva

Geometría de incidencia

Geometría de dimensiones bajas

Geometría Sagrada

Geometría euclidiana

Geometría plana

Geometría espacial

Geometría analítica

Geometría diferencial

Geometría proyectiva

Geometría descriptiva

Geometría de incidencia

Geometría de dimensiones bajas

Geometría Sagrada

La Geometría tiene tres entes o elementos fundamentales no definidos: punto, recta y plano. 

Punto El punto es el primer elemento que no está definido en Geometría. Se representa gráficamente por un pequeño círculo y una letra mayúscula que lo identifica. La siguiente figura muestra tres puntos A, B y C. A C

Recta El segundo término no definido de la Geometría Euclideana es el de recta, aunque se entiende que una recta es un conjunto infinito de puntos que se extienden indefinidamente en sentidos opuestos. Para referirse a una recta, se seleccionan dos puntos sobre ella; la recta queda determinada por dichos puntos. Una recta también se puede identificar por una letra minúscula. La figura siguiente muestra la recta AB que pasa por los puntos A y B. La recta de la figura también está identificada como la recta l.

Plano El tercer término no definido de la Geometría Euclideana es el de plano. Se entiende que un plano es una superficie totalmente plana que se extiende indefinidamente. Una mesa de vidrio o la cubierta de un escritorio da la idea de un plano. Un plano se representa geométricamente por una figura de cuatro lados y una letra mayúscula. La siguiente figura representa al plano P.

Definiciones fundamentales A partir de los elementos fundamentales se pueden definir otros elementos de la Geometría, en ésta sección se definen algunos de ellos.

Espacio Está formado por todos los puntos posibles y contiene infinitos planos.

Puntos colineales Son todos los puntos que están situados sobre una misma recta

Segmento de recta El segmento de recta AB está formado por todos los puntos entre A y B incluyendo los puntos A y B. La longitud de un segmento es la distancia entre sus puntos extremos. Para indicar que la longitud del segmento AB es 5 escribimos AB = 5 . La siguiente figura muestra el segmento de recta AB.

Rayo o semirrecta El Rayo AB está formado por todos los puntos que se extienden en una sola dirección a partir del punto A pasando por el punto B. El punto A se llama origen o punto extremo del rayo. La siguiente figura muestra el Rayo AB. 

Punto medio de un segmento Es el punto que divide un segmento en dos segmentos iguales. Si C es el punto medio de AB, entonces

Un ángulo está formado por dos rayos que tienen el mismo punto extremo. Al punto extremo común se le llama vértice y a los dos rayos se las llama lados del ángulo. El ángulo de la figura siguiente está formado por los rayos AB y AC, su vértice está en el punto A y sus lados son los rayos AB y AC. 

Para referirse al ángulo de la figura anterior se puede hacer como Ð1 , ÐCAB , Ð BAC y si el vértice no es compartido con otro ángulo puede identificarse como Ð A . En Geometría usualmente la medida de un ángulo se expresa en grados sexagesimales. Un círculo tiene 360 grados, así un grado (1º) es el ángulo formado por 1 360 parte de un círculo. Un grado se divide en 60 minutos y un minuto se divide en 60 segundos.   1º 60´    1´60”

Ángulo agudo Es un ángulo cuya medida es mayor que cero y menor de 90º. Por ejemplo el ángulo A de la figura siguiente tiene una medida de 50º, es decir Ð = A 50º 

Ángulo recto Es un ángulo cuya medida es 90º y usualmente se representa con una pequeña escuadra en el vértice del ángulo.

Ángulo obtuso Es un ángulo cuya medida es mayor de 90º pero menor que 180º, en la figura se muestra un ángulo obtuso de 150º

Ángulo llano Es un ángulo cuyos lados son rayos opuestos. La medida de un ángulo llano es 180º

Es el conjunto de los números reales representado gráficamente por una recta en la que se pueden ubicar todos los números naturales, enteros, fraccionarios, decimales, etc 

En un espacio euclídeo, un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}} se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto ({\displaystyle \mathbf {r} _{\text{A}}={\text{OA}}\,}) sobre un eje determinado:

Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto o posición del plano se determina mediante un ángulo y una distancia.⁵​

Se elige un punto como polo y se toma una semirrecta desde este punto como eje polar. Para un ángulo dado {\displaystyle \theta }, hay una única línea recta que pasa por el polo cuyo ángulo con el eje polar es {\displaystyle \theta } (medido en sentido contrario al de las agujas del reloj desde el eje hasta la línea).

Es un sistema de coordenadas donde un punto se identifica con dos números, uno para el logaritmo de la distancia a un cierto punto y otro para un ángulo. Las coordenadas logarítmicas están estrechamente conectadas con las coordenadas polares, que generalmente se usan para describir dominios en el plano con algún tipo de simetría rotacional.

Sistema de coordenadas log-polares
El sistema de coordenadas cilíndricas {\textstyle {\mathcal {C}}=\{(\rho ,\varphi ,z)|\ \rho >0,\ 0\leq \varphi <2\pi ,\ z\in \mathbb {R} \}} se usa para representar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional.   Resulta especialmente útil en problemas con simetría axial. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el eje {\displaystyle Oz} y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje {\displaystyle Ox} y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada {\displaystyle z} que determina la altura del cilindro.

Sistema de coordenadas esféricas
Este tipo de coordenadas cartográficas, subtipo de las coordenadas esféricas, se usa para definir puntos sobre una superficie esférica. Hay varios tipos de coordenadas geográficas. El sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos:

También se pueden definir las coordenadas de un punto de la superficie de la Tierra utilizando una proyección cartográfica. El sistema de coordenadas cartográficas proyectadas más habitual es el sistema de coordenadas UTM.

Coordenadas curvilíneas generales

Un sistema de coordenadas curvilíneos es la forma más general de parametrizar o etiquetar los puntos de un espacio localmente euclídeo o de una variedad diferenciable (globalmente, el espacio puede ser euclídeo, pero no necesariamente). Si se trata de un espacio localmente euclídeo {\displaystyle M} de dimensión {\displaystyle m}, se puede construir un sistema de coordenadas curvilíneo local en torno a un punto {\displaystyle p} siempre a partir de cualquier difeomorfismo que cumpla:

Para cualquier punto q cercano a p se definen sus coordenadas curvilíneas como:


Coordenadas curvilíneas ortogonales
se llama ortogonal cuando el tensor métrico expresado en esas coordenadas tiene una forma diagonal.

Cuando eso sucede muchas de las fórmulas del cálculo vectorial diferencial se pueden escribir de forma particularmente simple en esas coordenadas, pudiéndose aprovechar ese hecho cuando existe por ejemplo simetría axial, esférica o de otro tipo fácilmente representable en esas coordenadas curvilíneas ortogonales.

Las coordenadas esféricas y cilíndricas son casos particulares de coordenadas curvilíneas ortogona

Coordenadas homogéneas

En matemáticas, y más concretamente en geometría proyectiva, las coordenadas homogéneas son un instrumento usado para describir un punto en el espacio proyectivo. Fueron introducidas por el matemático alemán August Ferdinand Möbius en el año 1837.

También pueden usarse como un sistema alternativo de coordenadas para trabajar en el espacio euclídeo, pues este puede verse como un subconjunto del espacio proyectivo. De ese modo, las coordenadas homogéneas son ampliamente usadas en infografía para la representación de escenas en tres dimensiones. Su notación en forma matricial se emplea en bibliotecas de programación gráfica en 3D como OpenGL y Direct3D.

En coordenadas homogéneas, todo punto bidimensional está definido por tres coordenadas, de tal modo que un punto de dimensiones {\displaystyle (x,y)}, se representa por la terna