De esta manera, los enteros positivos son mayores hacia la derecha, mientras que los negativos son cada vez más pequeños a medida que avanzamos a la izquierda. También puede hablarse del valor absoluto de un número entero (representado entre barras |z|), que es equivalente a la distancia entre su ubicación dentro de la recta numérica y el cero, independientemente de su signo: |5| es el valor a.

Resta. La resta de números enteros atiende también al signo, dependiendo de cuál sea mayor y cuál menor en cuanto a valor absoluto, obedeciendo a la regla de que dos signos iguales juntos se convierten en el contrario:

Multiplicación. La multiplicación de enteros se realiza multiplicando normalmente los valores absolutos, y luego aplicando la regla de los signos, que estipula lo siguiente:

División. Funciona igual que la multiplicación. Por ejemplo:

de  60,  mientras  que  los  egipcios  usaron,  sobre  todo,  las  fracciones  con 

numerador  igual  a  1.  En  la  escritura,  la  fracción  la  expresaban  con  un 

óvalo,  que  significaba  parte  o  partido,  y  debajo,  o  al  lado,  ponían  el 

denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.

Los  griegos  y  romanos  usaron  también  las  fracciones  unitarias,  cuya 

utilización persistió hasta la época medieval.

En  el 

siglo  XIII,  Leonardo  de  Pisa,  llamado  Fibonacci,  famoso,  entre  otras 

cosas  por  la  serie  de  Fibonacci,  introdujo  en  Europa  la  barra  horizontal 

para separar numerador y denominador en las fracciones.

A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de 

los números decimales tal y como los conocemos hoy.

A  finales  del  siglo  XVI,  Simon  Stevin  desarrolló  y  divulgó  las  fracciones 

decimales que se expresaban por medio de números decimales: décimas, 

centésimas,  milésimas,  etc.,

pero  los 

escribía  de  una  forma  complicada; 

así para 456, 765 escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3).

A  principios  del  siglo  XVII,  los  números  decimales  ya  aparecieron  tal  y 

como  los  escribimos  hoy,  separando  con  un  punto  o  una  coma  la  parte 

entera de la parte decimal. Lo

s números decimales se impusieron, en casi 

todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el siglo XVIII, 

concretamente en 1792.

Cada número racional se puede representar con infinitas fracciones equivalentes.

Se atribuye a Pitágoras de Samos (580- 500a. C.) y a su Escuela, el descubrimiento de la existencia de segmentos de recta inconmensurables con respecto a un segmento que se toma como unidad en un sistema de medición, esto es, segmentos de recta cuya longitud medida en este sistema no es un número fraccionario. Estudiando un triángulo rectángulo con catetos de longitud uno, observaron que la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo no podía tener un valor racional. Con esto se demostró la no completitud de los números racionales y se dedujo la existencia de unos números hasta entonces desconocidos.

La Escuela Pitagórica llamó a dichos números "inconmensurables". Al principio, la aparición de estos números extraños desconcertó de forma alarmante a los miembros de la Escuela Pitagórica, pues su existencia ponía en evidencia que muchas suposiciones y demostraciones de la geometría eran falsas o estaban incompletas. La sorpresa y preocupación llegó hasta tal punto que llegaron a plantearse el mantener en secreto estos números que contradecían su doctrina, que entre otras cosas preconizaba “la adoración del número como ente perfecto que gobernaba el universo y todo lo que en él existía”.

Tres siglos después de su descubrimiento, Euclides trata en su obra “Los Elementos” el tema de los números irracionales, y llega a demostrar que la raíz cuadrada de dos no puede ser un número racional.

En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos.

Números trascendentes, no pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. El número Pi (π) (número de Arquímedes) y (e) (número de Euler) son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales. Los irracionales trascendentes también surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido. Por ejemplo:

0,1234567891011121314151617181920212223...

1,01001000100001000001000000100000001...

Representar un número con infinitas cifras decimales no periódicas es imposible y por lo tanto nos tendríamos que conformar con una aproximación. De todas maneras, hay métodos geométricos que permiten representar algunos números irracionales en la recta numérica.
Los números irracionales π y e por citar algunos, se representan usando su expansión decimal ubicando en la recta aproximadamente su lugar (respetando el orden).
En el caso de algunos números irracionales como ± √2, ± √3, ± √5±,… pueden representarse exactamente en la recta mediante el uso de una regla y compás
Por ejemplo, para representar ± √2 consideramos un triángulo rectángulo equilátero de catetos 1, con uno de sus vértices en el origen de la recta (ver figura 1). Luego con un compás trazamos una circunferencia de radio la hipotenusa de dicho triángulo (que es √2). La intersección de esta circunferencia con la recta real es el número √2 a la derecha, y -√2 a la izquierda (ver figura 1). De manera análoga se puede representar ± √5. En este caso, se toma un triángulo rectángulo de catetos 1 y 2.

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división no son operaciones bien definidas en los números irracionales, dados dos números irracionales no siempre la suma, resta, multiplicación o división de dichos números resulta un número irracional En cuanto a las operaciones con números irracionales es necesario tener en cuenta lo siguiente:

Sin embargo y a pesar de su extraño comportamiento tenemos dos afirmaciones que siempre son válidas:

En virtud de estas afirmaciones podemos decir que:

En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.

Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo expresaron con la máxima «todo es número».

En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una unidad común para que las dos magnitudes tengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.

Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no es conmensurable respecto de los catetos.
 Un número es la expresión de una cantidad con relación a su unidad. El término proviene del latín numĕrus y hace referencia a un signo o un conjunto de signos. La teoría de los números agrupa a estos signos en distintos grupos. Los números naturales, por ejemplo, incluyen al uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8), nueve (9) y, por lo general, al cero (0).

Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).

Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre números algebraicos (un tipo de número complejo) y números trascendentes (un tipo de número irracional).