Diciembre del 2023.

Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” (Extensión Maracaibo).

Para: Prof. ELY RAMIREZ RONDON

De: Rafael Enrique Reyes Araque, C.I: 11.772.758.

Carrera #45. Ingeniería Industrial.

Materia: ELEMENTO DE MAQUINA / ELEMENTOS DE MAQUINAS I SI 2023-2

Resortes

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Realizado por: Br. Rafael Reyes C.I. 11.772.758

1. Resortes Helicoidales.

Un resorte es un elemento mecánico flexible que une dos componentes y que almacena energía potencial. Su uso tiene como objetivo:

-Absorber o controlar energía producto de choques y vibraciones.

-Control de movimiento.

-Medición y control de fuerzas y/o torques.

Los resortes helicoidales son los resortes más comunes, y típicamente el alambre que los compone presenta sección transversal circular; y su embobinado suele ser cilíndrico.

Un resorte helicoidal de sección transversal circular bajo una fuerza de compresión es mostrado a continuación.

Del equilibrio estático se tiene que:

V=F T=FD/2

Dónde:

 𝑉 es la fuerza cortante sobre la sección transversal del alambre, 𝐹 la fuerza de compresión aplicada sobre el resorte, 𝑇 el torque sobre el alambre, 𝐷 el diámetro medio del embobinado, y 𝑑  el diámetro medio del resorte.

El esfuerzo cortante máximo en el alambre podría estimarse como la superposición del esfuerzo cortante producto de la fuerza cortante y el esfuerzo cortante producto del torque:

τ_max= V/A+(T∙r)/J

Sustituyendo el área y el momento polar de inercia:

A=(π∙d^2)/4 J=(π∙d^4)/16 T=F∙D/2

Nos queda:

τ_max= (4 F)/(π∙d^2 )+(8 F∙D)/(π∙d^3 )

Si se extrae factor común:

τ_max= (4 F)/(π∙d^2 )+(8 F∙D)/(π∙d^3 )= (8 F∙D)/(π∙d^3 ) (d/2D+1)

La relación entre los diámetros de la espira y el alambre se define como índice del resorte:

C=D/d

Y la expresión queda como:

τ_max=(8 F∙D)/(π∙d^3 ) (1/2C+1)=(8 F∙D)/(π∙d^3 ) ((1+2C)/2C)

Al factor en función de C en la ecuación se conoce como factor de corrección por esfuerzo:

K_S=1/2C+1=(1+2C)/2C

Y el esfuerzo cortante máximo se escribe como:

τ_max=K_S (8 F∙D)/(π∙d^3 )

Las expresiones mostradas hasta el momento se basan en la premisa de que el alambre es recto. Sin embargo, al ser curvado para formar el embobinado se tendrá un aumento localizado de esfuerzo en el resorte.

Este aumento es considerado al remplazar K_S por K_W o K_B, K_W es el factor de Wahl, y K_B el factor de Bergsträsser.

K_W=(4C-1)/(4C-4)+0.615/C

K_B=(4C+2)/(4C-3)

La diferencia entre las dos expresiones anteriores es del orden de 1%.

El efecto de curvatura puede ignorarse para carga estática, pero no puede ser ignorado cuando se tienen cargas dinámicas.

Entonces en términos generales el esfuerzo máximo sobre el resorte puede ser expresado como:

τ_max=K_B∙(8 F∙D)/(π∙d^3 )

La energía de deformación total del resorte estaría dada por la suma de su energía de deformación producto de la fuerza cortante, y su energía de deformación producto del torque aplicado:

 U=(F^2∙l)/(2 A∙G)+(T^2∙l)/(2G∙J)

Remplazando:

 T=F D/2, l=πDN, A=(πd^2)/4, J=(πd^4)/32

Nos queda:

U=(2 F^2∙D∙N)/(d^2∙G)+(4 F^2∙D^3∙N)/(d^4∙G)

Donde  es el número de espiras activas (espiras libres de deformarse bajo carga).

Empleando el teorema de Castigliano:

δ= ∂U/∂F= (4 F∙D∙N)/(d^2∙G)+(8 F∙D^3∙N)/(d^4∙G)

δ=(8 F∙D^3∙N)/(d^4∙G) (d^2/〖2D〗^2 +1) ⇒

δ=(8 F∙D^3∙N)/(d^4∙G) (1/〖2C〗^2 +1)

 Si 〖2C〗^2≫1 ⇒ (1/〖2C〗^2 +1)→1

 La deformación se puede aproximar a:

 δ≈(8 F∙D^3∙N)/(d^4∙G)

Definiendo la constante de rigidez de un resorte helicoidal lineal sometido a una fuerza en tensión o en compresión como la relación entre la fuerza F aplicada y la deformación que causa, se tendrá:

k=F/δ=F/((8 F∙D^3∙N)/(d^4∙G)) ⇒ k=(d^4∙G)/(8 D^3∙N)

Las cuatro formas de finalizar resortes helicoidales de compresión son mostradas a continuación.

a)    Extremos sencillos o abiertos.

b)    Extremos sencillos y rectificados (esmerilado).

c)    Extremos escuadrados o cerrados.

d)    Extremos escuadrados y rectificados (esmerilado).

La tabla 10.1 en los anexos,  muestra como el tipo de finalización afecta el número de espiras y la longitud del resorte.

La condición para estabilidad absoluta está dada por:

L_(0,cr)= (π .D)/α [2(E-G)/(2G+E)]^(1⁄2)

Aquí 𝛼 es una constante que depende de la condición en el extremo del resorte (si el resorte esta fijo o pivotado en uno o ambos extremos).

La tabla 10.2 en los anexos,  muestra el valor de la constante 𝛼  dependiendo de la condición en el extremo del resorte

Una gran variedad de materiales están disponibles para el diseñador. Dichos materiales pueden ser comparados al examinar su resistencia en tensión; la cuál varía dependiendo del diámetro del alambre, el material, y el proceso de manufactura.

Una descripción detallada de algunos materiales empleados para fabricar resortes puede ser encontrada en la tabla 10.3  mostrada en los anexos.

En el caso de los resortes, se conoce que la resistencia a la tensión de sus alambres puede ser estimada por medio de la siguiente expresión:

S_ut=A/d^m

Los valores  de    y  de    se encuentran tabulados en la tabla 10.4 mostrada en los anexos.

Otras propiedades mecánicas de algunos alambres para resorte se encuentran en la tabla 10.5 mostrada en los anexos.

En el caso de resortes helicoidales sujetos a cargas estáticas, los esfuerzos cortantes máximos que son permisibles se tienen en la tabla 10.6 mostrada en los anexos, como porcentaje de 𝑆𝑢𝑡.

El primer paso es decidir que material y que diámetro usar para el alambre del resorte. Estas dos variables hacen el proceso de selección iterativo.

Algunas recomendaciones de diseño a saber son las siguientes:

• .  Índices de resorte muy bajos implican posible agrietamiento superficial del alambre, en tanto que índices muy altos dan como resultado que los alambres del mismo resorte se enreden.

• 3≤𝑁𝑎≤15.

• 𝜉≥0.15.  𝜉 es el rebase fraccional al cierre.

En la siguiente página se muestra un diagrama de flujo para desarrollar el proceso de diseño de resortes helicoidales de compresión bajo cargas estáticas.

2.1 - Ejemplo de resorte helicoidal con alambre de sección circular para resistir cargas de compresión.

Se tiene un resorte helicoidal de compresión hecho de alambre de piano de 0,105 pulgadas de diámetro. El diámetro exterior del resorte es de   pulg. Los extremos son sencillos esmerilados y tienen un total de vueltas. Determine:

a)   Estime el esfuerzo de fluencia a la torsión del alambre.

b)   Estime la carga estática correspondiente al esfuerzo de fluencia.

c)   Estime la escala del resorte.

d)   Estime la deflexión que ocasionaría la carga evaluada en el inciso b).

e)  Estime la longitud sólida del resorte.

f)   ¿Cuál debe ser la longitud del resorte para asegurar que cuando se comprima hasta su longitud sólida y luego se suelte no haya cambio permanente en la longitud libre?

g)     Dada la longitud determinada en el inciso f), ¿es posible que se presente pandeo? ¿Cuál es el paso de las espiras del cuerpo?

h)     ¿Cuál es el paso de las espiras del cuerpo?

Datos del resorte:

* Alambre de piano. Diámetro:  

* Diámetro exterior: DE= 1,225 pulg.

* Extremos sencillos esmerilados.

* Número total de espiras:  

Para el alambre de piano, de la tabla 10-4 obtenemos las constantes   y   para estimar :

A=201 kpsi .〖pulg〗^m m=0,145

Sustituyendo en la ecuación:

S_ut=A/d^m ⇒S_ut=(201 kpsi .〖pulg〗^0,145 )/(0,105 pulg)^0,145 ⇒ S_ut=278,691 kpsi

De la tabla 10-6 el porcentaje máximo de resistencia a la tensión antes de la remoción de la deformación es 45 %  para alambre de piano, así tenemos que el esfuerzo de fluencia a la torsión del alambre es:

S_sy=0,45*S_ut ⇒ S_sy=0,45*(278,691 kpsi) ⇒ S_sy= 125,411 kpsi

La carga estática se puede calcular a partir de la ecuación:

τ_s= K_s* (8.F_s.D)/(π .d^3 )

Sustituyendo   por    y     por     y despejando F:

S_sy= K_B* (8. F_(s ).D)/(π .d^3 ) ⇒ F_s= (π .d^3.〖 S〗_sy)/(8 K_B .D)

El diámetro medio de la espiral lo determinamos por:

D=DE-d ⇒ D=1,225 pulg-0,105 pulg ⇒ D=1,120 pulg

El índice del resorte es:

C=D/d ⇒ C=(1,120 pulg)/(0,105 pulg )=10,667

El factor de curvatura    (factor de Bergstrasser) se calcula como:

K_B=(4C+2)/(4C-3) ⇒ K_B=(4(10,667)+2)/(4(10,667)-3) ⇒ K_B= 1,126

Sustituyendo:

F= (π .d^3.〖 S〗_sy)/(8 K_B .D) ⇒ F= (π .(0,105 pulg)^3. 125,411.10^3 psi)/(8 (1,126) .(1,120 pulg) )

F=45,21 lb

La escala del resorte se obtiene a partir de la ecuación:

k=(d^4 .G)/(8 D^(3 ) N_a )

De la tabla 10-5, para el alambre de piano con diámetros entre 0,064 pulg y 0,125 pulgadas tenemos  que  .

G=11,75 Mpsi

De la tabla 10-1,  para extremos sencillos y esmerilados de resortes se tiene que:

N_t=N_a+1 ⇒ N_a=N_t-1 ⇒ N_a=12-1 ⇒ N_a=11

Sustituyendo:

k=(d^4 .G)/(8 D^(3 ) N_a ) ⇒ k=((0,105 pulg)^4 .11,75.10^6 psi)/(8 (1,120 pulg)^(3 ) (11) )

k=11,552 lb/pulg

La deflexión se calcula mediante:

y_s= F_s/k ⇒ y= (45,21 lb)/(11,552 lb/pulg) ⇒ y=3,914 pulg

De la tabla 10-1,  para extremos sencillos y esmerilados de resortes se tiene que:

L_s=d .〖 N〗_t ⇒ L_s=0,105 pulg .12 ⇒ L_s=1,26 pulg

Se pide la longitud libre que debe tener el resorte para no tener deformación permanente, esta se consigue sumando la longitud solida más deformación correspondiente al esfuerzo de fluencia.

L_0=L_s+ y_s ⇒ L_0=1,26 pulg+ 3,914 pulg ⇒ L_0=5,174 pulg

Para evitar el pandeo debe cumplirse que:

L_0 ≤ L_(0,cr)

La longitud libre crítica se calcula mediante la ecuación:

L_(0,cr)= (π .D)/α [2(E-G)/(2G+E)]^(1⁄2)

De la tabla 10-2 para resortes apoyados entre superficies planas paralelas se tiene que .

α=0,5

De la tabla 10-5, para el alambre de piano con diámetros entre 0,064 pulg y 0,125 pulgadas tenemos  que 

E=28,5 Mpsi G=11,75 Mpsi

Sustituyendo:

L_(0,cr)= (π .1,120 pulg)/0,5 [2(28,5 Mpsi-11,75 Mpsi)/(2(11,75 Mpsi)+28,5 Mpsi)]^(1⁄2)

L_(0,cr)=5,648 pulg

Dado que L_0=5,174 pulg<5,648 pulg  no es probable que se presente pandeo.

De la tabla 10-1,  para extremos sencillos y esmerilados de resortes se tiene que el paso de las espiras se determina por:

p=L_0/(N_a+1) ⇒ p=(5,174 pulg)/(11+1) ⇒ p=0,431 pulg

Un resorte de extensión de alambre estirado duro tiene un diámetro de alambre de 0.035 pulg, un diámetro exterior de la espira de 0.248 pulg, y una tensión inicial de 1.19 lbf. El número de vueltas en el cuerpo asciende a 12.17.

A partir de la información dada

a) Determine los parámetros físicos del resorte.

b) Verifique las condiciones de esfuerzo de precarga

Datos del resorte:

Material: alambre estirado duro.d= 0.035 pulg

Diámetro exterior de la espira: DE= 0.248 pulg.

Número total de espiras: N_b=12.17

Tensión inicial: F_i=1.19 lbf

El diámetro medio de la espiral lo determinamos por:

D=DE-d ⇒ D=0.248 pulg-0.035 pulg ⇒ D=0,213 pulg

El índice del resorte es:

C=D/d ⇒ C=(0,213 pulg)/(0.035 pulg ) ⇒ C=6,086

El factor de curvatura    (factor de Bergstrasser) se calcula como:

K_B=(4C+2)/(4C-3) ⇒ K_B=(4(6,086)+2)/(4(6,086)-3) ⇒ K_B= 1,234

El número de vueltas activas las calculamos mediante:

N_a= N_b+G/E

De la tabla 10-5, para alambre estirado duro con diámetros entre 0,033 y 0,063 pulgadas tenemos  que E=28,7 Mpsi   y G=11,6 Mpsi  

N_a= 12.17+(11,6 Mpsi)/(28,7 Mpsi) ⇒ N_a= 12,57 vueltas

La escala del resorte se obtiene a partir de la ecuación:

k=((d)^4 .G)/(8 D^(3 ) N_a )

Sustituyendo:

k=((0,035 pulg)^4 . (11,5.10^6 psi))/(8 (0,213 pulg)^(3 ) (12,57) ) ⇒ k=17,76 lbf/pulg

La longitud libre del resorte es:

L_0=(2C-1+N_b )d

L_0=[2(6,086)-1+12.17](0,035 pulg) ⇒ L_0=0,817 pulg

El esfuerzo inicial sin corregir viene dado por:

(τ_i )_(No correjido)=(8∙F_i∙D)/(π∙d^3 )

(τ_i )_(No correjido)=(8∙(1.19 lbf )∙(0,213 pulg))/(π∙(0,035 pulg)^3 ) ⇒ (τ_i )_(No correjido)=15054,3 psi

(τ_i )_(No correjido)=15,1 kpsi

El rango preferido es proporcionado por la ecuación:

(τ_i )_Preferido=33500/exp(0,105C) ±1000(4-(c-3)/6,5)

Sustituyendo:

(τ_i )_Preferido=33500/exp[0,105(6,086)] ±1000(4-(6,086-3)/6,5)

(τ_i )_Preferido=17.681,43 psi±3.525,23 psi

14.2 kpsi≤(τ_i )_Preferido≤21,2 Kpsi

Dado que la tensión inicial de   está en el intervalo preferido se verifica la condición de esfuerzo de precarga.

En la figura se muestra un ejercitador de mano que emplean oficiales de policía y atletas para mejorar su fuerza de agarre. Se forma arrollando alambre de acero estirado en frío A227 alrededor de un mandril, para obtener 2 1/2 vueltas cuando el agarre está en la posición cerrada. Después de enrollarlo, el alambre se corta para dejar dos patas como asas. Luego, se moldean las asas de plástico, el agarre se oprime y se coloca una presilla de alambre alrededor de las patas para obtener tensión inicial y con el objeto de espaciar las asas para tener una mejor posición de agarre inicial. La presilla se forma con una figura en 8 para evitar que se salga. Cuando el agarre está en la posición cerrada, el esfuerzo en el resorte no debe superar el esfuerzo permisible.

a) Determine la configuración del resorte antes de que se ensamble el agarre.

b) Encuentre la fuerza necesaria para cerrar el agarre.

Datos del resorte:

Material: acero estirado en frío A227 núm. 8

Diámetro exterior de la espira: DE= pulg.

Número total de espiras:  

De la tabla A-28 obtenemos para  de acero estirado en frío A227 núm. 8:

d=0,162 pulg

Para el alambre de acero estirado en frío A227 núm. 8, de la tabla 10-4 obtenemos las constantes  A y  m para estimar :S_ut

A=140 kpsi .〖pulg〗^m m=0,190

Sustituyendo en la ecuación:

S_ut=A/d^m ⇒ S_ut=(140 kpsi .〖pulg〗^0,190)/(0,162pulg)^0,190 ⇒ S_ut=197,8 kpsi

Para aceros acero estirado en frío A227:

S_y=0.78Sut ⇒ S_y=0.78(197,8 kpsi) ⇒ S_y=154,3 kpsi

El diámetro medio de la espiral lo determinamos por:

D=DE-d ⇒ D=2∙5/8 pulg-0,162 pulg ⇒ D=1,088 pulg

El índice del resorte es:

C=D/d ⇒ C=(1,088 pulg)/(0,162 pulg ) ⇒ C=6,716

El factor de corrección del esfuerzo flexionante es:

K_i= (4 C^2-C-1)/4C(C-1) ⇒ K_i= (4 (6,716)^2-(6,716)-1)/4(6,716)(6,716-1)

K_i= 1,125

El esfuerzo flexionante de un resorte de torsión de alambre redondo es:

σ=K_i (32 F∙r)/(π∙d^3 ) =K_i (32 M)/(π∙d^3 )

Sustituyendo     por Sy     y   M      por  My   , y despejando esta última tenemos:

 S_y=K_i (32 M_y)/(π∙d^3 ) ⇒ M_y=(π∙d^3∙S_y)/(32 K_i )

M_y=(π∙〖(0,162 pulg) 〗^3∙154,3 ∙10^3 psi )/(32 (1,125) ) ⇒ M_y=57,2 lbf∙pulg

El número de vueltas que debe tener el resorte después de aplicado el par   viene dado por:

N_c=N_b-(10,8 D∙N_c∙M_y)/(d^4∙E)

Despejando N_c :

N_c=N_b-(10,8 D∙N_c∙M_y)/(d^4∙E)

N_c=N_b/(1+(10,8 D∙M_y)/(d^4∙E))

De la tabla 10-5, Para el alambre de acero estirado en frío A227 con diámetros mayores a  0,125 pulgadas tenemos  que  E=28,5 Mpsi

El número de vueltas que debe tener el resorte antes de que se ensamble el agarre será:

N_c=2,5/(1+(10,8 (1,088 pulg)∙57,2 lbf∙pulg)/((0,162 pulg)^4∙(28,5∙10^6 psi) )) ⇒ N_c=2,417

El ángulo que debe cerrarse para colocar el ensamble es:

θ=2π.(N_b-N_c )=2π.(2,5-2,417)=0,5215 rad=29,87°

El resorte debe cerrarse 29,87°    para colocar el ensamble.

Suponiendo que la fuerza se aplique en el punto medio de la agarradera:

r=1 pulg+(3,5 pulg)/2=2,75 pulg

La fuerza para cerrar el agarre será:

M_y= F_y∙r ⇒ F_y=M_y/r

F_y=(57,2 lbf∙pulg)/(2,75 pulg) ⇒ F_y=20,8 lb