🟢 تعريف المصفوفة:

المصفوفة هي مجموعة من الأعداد مرتبة في صفوف وأعمدة .

ضرب المصفوفات

سوف نتعلَّم كيف نحدِّد شروط ضرب المصفوفة، ونُوجِد قيمة حاصل ضرب مصفوفتين، إنْ أمكن.

يُمكن تقسيم ضرب المصفوفات إلى فئتين: الضرب في عدد ثابت، والضرب في مصفوفة. الضرب في عدد ثابت يعني ضرب المصفوفة في كمية قياسية (أو عدد ثابت). على سبيل المثال، إذا كان لدينا المصفوفة: 󰏡=󰂔٢١٣٢󰂓، وأردنا إيجاد ٢󰏡،فستكون هذه عملية ضرب في عدد ثابت. فلإيجاد ٢󰏡،سنضرب كلَّ عنصر في المصفوفة في اثنين: ٢󰏡=󰂔٢×٢٢×١٢×٣٢×٢󰂓=󰂔٤٢٦٤󰂓.

أمَّا عملية ضرب المصفوفات، فهي أصعب نوعًا ما، وهناك معايير خاصة يجب اتِّباعها. أولًا، يجب أن يُنظَر إلى أبعاد المصفوفات بعين الاعتبار.

وهذا لأنه عادةً ما يُشار إلى المصفوفة بدلالة عدد الصفوف والأعمدة. على سبيل المثال، مصفوفة بها 𞸌 من الصفوف، 𞸍 من الأعمدة تُسمَّى مصفوفة من الرتبة 𞸌×𞸍.لا يُمكن ضرب مصفوفتين إحداهما في الأخرى إلَّا إذا كان عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مساويًا لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية.

وبصفة عامة، إذا أُجريت عملية ضرب المصفوفات بين المصفوفتين 󰏡،𞸁 وكانت أبعاد المصفوفة 󰏡 هي 𞸌×𞸍،فيجب أن تكون أبعاد المصفوفة 𞸁 هي 𞸍×𞸋.هناك ملاحظة مفيدة، وهي أن أبعاد حاصل الضرب الناتج عن هاتين المصفوفتين ستكون 𞸌×𞸋.وهذا موضَّح في الصورة الآتية.

وبما أننا نعلم الآن كيف نتحقَّق إذا ما كانت عملية ضرب المصفوفات موجودة، هيَّا نلقِ نظرةً على كيفية حساب حاصل عملية الضرب هذه. سنوضِّح كيف نفعل ذلك بمثال. إذا كان لدينا مصفوفة من الرتبة ١×٢ هي: 󰏡=(٣١)، ومصفوفة من الرتبة ٢×١ هي: 𞸁=󰂔٤−١󰂓، فيجب أن يكون حاصل الضرب 󰏡𞸁 موجودًا، وستكون له الأبعاد ١×١.تتَّضح كيفية إكمال عملية الضرب هذه كما يأتي:

إذا كنتَ على دراية بكيفية حساب حاصل الضرب القياسي، فقد تلاحظ أن عملية الضرب هذه تُشبه كثيرًا عملية إيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ⃐󰏡=(٣،١)،⃐󰄮󰄮𞸁=(٤،−١).وفي الحقيقة، يُمكن تعريف حاصل الضرب القياسي بأنه عملية ضرب لمصفوفات هذين المتجهين، إذا أخذنا في الاعتبار مدوَّر المصفوفة ⃐󰄮󰄮𞸁،المُشار إليه بالرمز ⃐󰄮󰄮𞸁T.سيكون حاصل الضرب ⃐󰄮󰄮󰄮󰏡𞸁T إذن هو نفسه حاصل الضرب 󰏡𞸁.

لنلقِ نظرةً على الطريقة التي سنضرب بها مصفوفة من الرتبة ٣×٢ في مصفوفة من الرتبة ٢×٣.نحن نعلم أن عملية الضرب موجودة؛ لأن عدد أعمدة المصفوفة الأولى يتطابق مع عدد صفوف المصفوفة الثانية. ونعلم أيضًا أن المصفوفة الناتجة ستكون مصفوفة من الرتبة ٣×٣.وهكذا، وكما فعلنا من قبل، سنضرب الصفوف في الأعمدة، لكن علينا أن ننظر إلى موضع كلِّ عنصر من العناصر في المصفوفة الناتجة بعين الاعتبار. على سبيل المثال، إذا ضربنا الصف العلوي من المصفوفة الأولى في العمود الموجود ناحية اليمين بالمصفوفة الثانية، فستكون النتيجة عنصرًا أعلى اليمين. وبضرب الصف السفلي في العمود الأوسط، نحصل على عنصر أسفل المنتصف. تتَّضح هاتان الخطوتان في عملية ضرب المصفوفتين الآتية: 󰏡=󰃭٢−٤٢−١٤٤󰃬،𞸁=󰂔٥−١