Los resortes helicoidales se clasifican en tres principales tipos de acuerdo a su estructura y funcionamiento.

Resolución:

Calculamos primero el momento máximo aplicado:

                 Mmx.aplic = F R = 1.18 8.4 = 9.9 Kgf-cm

En un primer cálculo seleccionamos un alambre de las siguientes dimensiones:

d =1.5 mm

D = 8 mm

Luego D/d = 8 / 1.5 = 5.33

En la tabla vemos que para D/d = 5.33 el valor de c es:

C = 1.16

El momento máximo permisible según la fórmula #1 de la figura es por lo tanto:

Mmx.perm = 1.63 d^2.85 / C = 1.63 1.5^2.85 / 1.16 = 4.46 Kg-cm

El factor de seguridad según la según la fórmula #2 es entonces:

n  =  4.46 / 9.9 =0,45 < 1 el resorte fallara con seguridad

En un segundo tanteo seleccionamos

d = 2.5 mm

D = 13 mm

D/d = 5.2

C = 1.17

Mmx.perm = 1.63 * 2.5^2.85 / 1.17 = 18.9

N = 18.9 / 9.9 = 1.9   resorte muy sobredimensionado

Un tercer tanteo seleccionamos:

d = 2 mm

D = 10.6 mm

D/d = 5.3

C = 1.16

Mmx.perm = 1.63 * 2^2.85 / 1.16 = 10.1

n  = 10.1 / 9.9 = 1.02 es el resorte correcto

El número de vueltas se calcula con la formula #3, de la figura se deduce que el ángulo de torsión máximo es de 90º por lo tanto

N = 1.16 90 2^1.15 / 3 * 10.6 = 7.28 vueltas

Ahora, los resortes de torsión se utilizan con frecuencia sobre una barra redonda o pasador, y cuando se les aplica una carga el resorte se enrolla originando una disminución de su diámetro interior. Es necesario asegurarse de que ese diámetro nunca podrá ser igual al de la barra o pasador, pues de lo contrario ocurrirá la falla del resorte. El diámetro interior con carga puede obtenerse con la ecuación:

               Df = Ni *Di / Nf

Donde: Ni = numero de vueltas del resorte sin carga

                Di = diámetro interior del resorte sin carga

               Nf = numero de espiras cuando está cargado

               Df = diámetro interior cuando esta con carga

En el problema anterior el diámetro interior del resorte cargado será de:

           Df = 7.28 (10.6 – 2) / (7.28 + 0.25) = 8.3 mm

Ten en cuenta que el resorte se ha enrollado 0.25 vueltas más (1/4 de vuelta).

V=F

T=FD/2

Donde: 𝑉 es la fuerza cortante sobre la sección transversal del alambre, 𝐹 la fuerza de compresión aplicada sobre el resorte, 𝑇 el torque sobre el alambre, 𝐷 el diámetro medio del embobinado, y 𝑑 el diámetro medio del resorte. El esfuerzo cortante máximo 𝜏 𝑚𝑎𝑥 en el alambre podría estimarse como la superposición del esfuerzo cortante producto de la fuerza cortante 𝜏 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 y el esfuerzo cortante producto del torque 𝜏 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒:

𝜏 𝑚𝑎𝑥 = 𝜏 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 + 𝜏 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒

𝜏 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 = 𝐹/𝐴

𝜏 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 = 𝑇𝑟/𝐽

Donde: 𝐴 = 𝜋𝑑^2 /4 , es el área de sección transversal del alambre; 𝑟 = 𝑑/2, es el radio del alambre; 𝐽 = 𝜋𝑑^4 /32, es el momento polar de inercia de la sección transversal sobre su centro.

*Calculo típico de torque para un elemento sometido puramente a torsión (ver sección 3.12 de su libro de texto):

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜏𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 + 𝜏𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝐹/𝐴 + 𝑇𝑟/𝐽

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 4𝐹/𝜋𝑑^2 + 8𝐹𝐷 𝜋𝑑^3

Definiendo el índice del resorte 𝐶 = 𝐷/𝑑 (𝐶 suele ser mayor a 4 pero menor a 12):

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 8𝐹𝐷/𝜋𝑑^3 (1/2𝐶 + 1)= 𝐾𝑠 (8𝐹𝐷/𝜋𝑑^3)

Donde 𝐾𝑠 es el factor de corrección por esfuerzo

𝐾𝑠 = 1/2𝐶 + 1 = (2𝐶 + 1)/2𝐶

Ha de comentarse que el uso de alambres de secciones transversales cuadradas o rectangulares, no es recomendado.

Este aumento es considerado al remplazar 𝐾𝑠 por 𝐾𝑊 o 𝐾𝐵, 𝐾𝑊 es el factor de Wahl, y 𝐾𝐵 el factor de Bergsträsser.

𝐾𝑊 = (4𝐶 − 1)/(4𝐶 − 4) + 0.615/𝐶

𝐾𝐵 = (4𝐶 + 2)/(4𝐶 − 3)

La diferencia entre las dos expresiones anteriores es del orden de 1%.

El efecto de curvatura puede ignorarse para carga estática, pero no puede ser ignorado cuando se tienen cargas dinámicas.

Entonces en términos generales el esfuerzo máximo sobre el resorte puede ser expresado como:

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝐾𝐵 (8𝐹𝐷/𝜋𝑑^3)

“Cuando fuerzas actúan sobre un sistema elástico sujeto a pequeños desplazamientos, el desplazamiento correspondiente a cualquier fuerza, en la dirección de la fuerza es igual a la derivada parcial de la energía de deformación total (energía potencial) con respecto a esa fuerza”.

𝛿𝑖 = 𝜕𝑈/𝜕𝐹𝑖

Donde: 𝑈 es la energía de deformación, 𝛿𝑖 es el desplazamiento donde se aplica la fuerza 𝐹𝑖 en la dirección de 𝐹𝑖 .

Para desplazamiento rotacional se puede escribir:

𝜃𝑖 = 𝜕𝑈𝜕𝑀𝑖

Donde: 𝜃𝑖 es el desplazamiento rotacional o angular, producto del momento 𝑀𝑖 en dirección de 𝑀𝑖 .

Energía de deformación

El trabajo externo hecho sobre un elemento elástico en defórmalo es transformado en energía de deformación o potencial. En caso tal de que se trate de un elemento elástico deformado una distancia 𝑦, que se comporta linealmente, la energía de deformación es igual a producto de la fuerza promedio por la deflexión.

𝑈 = 𝐹/2 𝑦

𝐹 = 𝑘𝑦

𝑈 = 𝐹^2/2𝑘

En esta ecuación en términos generales 𝐹 puede ser remplazada por torque o momento. Algunos casos típicos de energía de deformación incluyen los siguientes:

-Elementos sometidos a tensión o a compresión.

𝑈 = 𝐹^2𝑙/2𝐴𝐸

Donde: 𝐹 es la fuerza de tensión o compresión, 𝑙 es la longitud del elemento, 𝐴 el area de sección transversal a la carga en tensión o compresión, y 𝐸 el módulo de Young.

-Elementos sometidos a torsión.

𝑈 = 𝑇^2𝑙/2𝐺𝐽

Donde: 𝑇 es el torque aplicado, 𝑙 la longitud del elemento, 𝐺 el modulo de rigidez al cortante, y 𝐽 el momento polar de inercia de la sección transversal.

𝑈 = 𝐹^2𝑙/2𝐴𝐺

Donde: 𝐹 es la fuerza cortante, 𝑙 es la longitud del elemento, 𝐴 el área de sección transversal a la carga en tensión o compresión, y 𝐺 el módulo de rigidez al cortante.

Deflexión de resortes helicoidales La energía de deformación total del resorte estaría dada por la suma de su energía de deformación producto de la fuerza cortante, y su energía de deformación producto del torque aplicado:

𝑈 = 𝐹^2𝑙/2𝐴𝐺 + 𝑇^2𝑙/2𝐺𝐽

Remplazando: 𝑇 = 𝐹𝐷/2, 𝑙 = 𝜋𝐷𝑁, 𝐴 = 𝜋𝑑^2/4 , 𝐽 = 𝜋𝑑^4/32

𝑈 = 2𝐹^2𝐷𝑁/ 𝑑^2𝐺 + 4𝐹^2𝐷^3𝑁/𝑑^4𝐺

Donde 𝑁 = 𝑁𝑎 es el número de espiras activas (espiras libres de deformarse bajo carga). Empleando el teorema de Castigliano:

𝛿 = 𝜕𝑈/𝜕𝐹 = 4𝐹𝐷𝑁/𝑑^2𝐺 + 8𝐹𝐷^3𝑁/𝑑^4𝐺

𝛿 = 8𝐹𝐷^3𝑁/𝑑^4𝐺( 1 + 1 2𝐶^2) ≅ 8𝐹𝐷^3𝑁/𝑑^4𝐺 ↔ 2𝐶^2 ≫ 1 Donde 𝛿 es la deflexión total.

Definiendo la constante de rigidez de un resorte helicoidal lineal sometido a una fuerza en tensión o en compresión 𝐹 como 𝑘 = 𝐹/𝛿, se tendrá:

𝑘 ≅ 𝑑^4𝐺 8𝐷^3𝑁