Propiedades:

• Clausura: Si a, b ∈ ℕ, entonces a + b ∈ ℕ y a × b ∈ ℕ.

• Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c) y (a × b) × c = a × (b × c).

• Conmutatividad: a + b = b + a y a × b = b × a.

• Elemento neutro:

  • Para la suma: a + 0 = a.

  • Para el producto: a × 1 = a.

• Distributividad: a × (b + c) = a × b + a × c.

• No existe inverso aditivo en ℕ: No siempre existe b ∈ ℕ tal que a + b = 0.

Propiedades:

• Incluye a ℕ y sus negativos.

• Clausura:

  • Bajo suma, resta y multiplicación: si a, b ∈ ℤ, entonces a ± b ∈ ℤ y a × b ∈ ℤ.

• Asociatividad y Conmutatividad: igual que en ℕ.

• Elemento neutro:

  • a + 0 = a

  • a × 1 = a

• Existencia de inverso aditivo:

  • Para todo a ∈ ℤ, existe -a ∈ ℤ tal que a + (-a) = 0.

• Distributividad: a × (b + c) = a × b + a × c.

• No todos tienen inverso multiplicativo en ℤ: Solo 1 y –1 lo tienen.

Propiedades de la Resta y División

• No son operaciones internas en N:
  5−8=−3∉N

• En Z la resta es interna pero la división no:
  4÷2=2∈Z
  1÷2=0.5∉Z

N: bien ordenado → existe un mínimo y cada elemento tiene sucesor.

Z: orden total pero no bien ordenado.

• Lógica Matemática: Principio de inducción matemática (sobre N).

• Teoría de Números: Divisibilidad, congruencias, propiedades modulares.

• Álgebra Abstracta: (Z,+) es un grupo abeliano,
  (Z,+,⋅) es un anillo conmutativo.

• Infinitos: La serie de números naturales continúa indefinidamente. 

• Ordenados: Existe una relación de orden natural entre ellos (1 < 2 < 3, etc.). 

• Positivos: Todos los números naturales son positivos. 

• No fraccionarios ni decimales: No están representados por fracciones o decimales. 

• Un sucesor: Cada número natural tiene un sucesor directo (1→2, 3→4, etc.). 

• Operaciones internas: La suma y multiplicación de números naturales resultan en otro número natural, pero la resta y división no siempre. 

• Algoritmo de la división: Se puede dividir cualquier número natural por otro (si el divisor no es cero) y obtener un cociente y un resto. 

• Positivos y negativos: Incluyen números positivos, negativos y el cero. 

• Infinitos: Como los números naturales, los enteros son infinitos en ambas direcciones. 

• Ordenados: Existe un orden entre ellos, con los negativos a la izquierda del cero y los positivos a la derecha. 

• Operaciones internas: La suma, resta, multiplicación y división son operaciones internas en los enteros (el resultado siempre es otro entero). 

• Elemento neutro para la suma: El cero es el elemento neutro para la suma (a + 0 = a). 

• Opuesto aditivo: Para cada entero existe un opuesto aditivo (su inverso) que, sumado a él, da como resultado cero (a + (-a) = 0). 

• Ley de signos: Se aplican reglas de signos para la suma, resta, multiplicación y división de enteros. 

• Los números naturales son un subconjunto de los números enteros. 

• Los números naturales solo incluyen números positivos, mientras que los enteros incluyen positivos, negativos y cero. 

• La resta y la división no son operaciones internas en los números naturales, pero sí en los enteros. 

En resumen: Los números naturales son los positivos usados para contar, mientras que los enteros amplían este concepto incluyendo el cero y los negativos, permitiendo la realización de resta y división como operaciones internas. 

1. Propiedad Conmutativa: Esta propiedad establece que el orden de los elementos en una operación no afecta el resultado. En la suma, 2 + 3 es lo mismo que 3 + 2. En la multiplicación, 2 x 3 es lo mismo que 3 x 2. 

2. Propiedad Asociativa: Esta propiedad se aplica a la suma y la multiplicación. Establece que la forma en que se agrupan los elementos en una operación no afecta el resultado. Por ejemplo, (2 + 3) + 4 es lo mismo que 2 + (3 + 4). 

3. Propiedad Distributiva: Esta propiedad relaciona la multiplicación con la suma. Se aplica cuando multiplicas una cantidad por la suma de otras dos cantidades. Por ejemplo, 2 x (3 + 4) es lo mismo que (2 x 3) + (2 x 4). 

4. Propiedad de la Identidad: Esta propiedad se aplica a la suma y la multiplicación. El elemento neutro de la suma es 0, y el elemento neutro de la multiplicación es 1. Sumar 0 a cualquier número no cambia el número, y multiplicar cualquier número por 1 no cambia el número. 

5. Propiedad del Opuesto: Esta propiedad se aplica a la suma y establece que para cualquier número, existe un número opuesto (o simétrico) que, al sumarlo con el número original, el resultado es 0. 

Ejemplos:

• Conmutativa: 5 + 3 = 3 + 5 (la suma es la misma).

• Asociativa: (4 x 2) x 3 = 4 x (2 x 3) (el producto es el mismo).

• Distributiva: 2 x (5 + 7) = (2 x 5) + (2 x 7).

• Identidad: 8 + 0 = 8 (el número no cambia).

• Opuesto: 10 + (-10) = 0.