[Geo3] 2. La geometria nello spazio by Istituto Italiano Edizioni Atlas divisione di Zanichelli editore S.p.A.

L’illusione ottica nella litografia Relatività’ di Escher

edizioniatlas — 2023-06-07 08:41:56 UTC

Le illusioni ottiche sono delle immagini in grado di ingannare l’apparato visivo e il cervello umano facendogli percepire qualcosa che non si vede o che è diversa dalla realtà.
Lo spazio tridimensionale e la legge della gravità universale sono stati completamente riformulati dalle opere dell’artista olandese Maurits Cornelis Escher, nato nel XIX secolo, che si specializzò in una tecnica di incisione in cui cubi, scale e proiezioni ottiche si fondono creando un mondo tridimensionale di illusioni ottiche.

L’opera “Relatività” creata da Escher è una litografia che raffigura paesaggi astratti in cui lo spazio e la forza di gravità, che tutti noi conosciamo, non si applica.
Osservando la litografia notiamo la presenta di tre scale orientate diversamente che formano un triangolo intorno al quale si distribuisce tutto il resto. Sedici omini si muovono su tre piani diversi percorrendo linee verticali e oblique che, senza un punto di vista ben preciso, ingannano l’occhio dell’osservatore procurando un senso di instabilità.
Dopo aver osservato attentamente l’immagine della Relatività descrivi brevemente ciò che ti ha colpito maggiormente dell’opera realizzata da Escher?

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Abbiamo visto che per geometria dello spazio, intendiamo il settore della geometria che si occupa di corpi a tre dimensioni. Gli elementi fondamentali di questa geometria sono gli stessi della geometria piana (a due dimensioni): punto, linea, piano.
Essi sono però legati da relazioni diverse, che è bene esaminare a partire dagli esempi più semplici e basilari.

Il piano nello spazio
Un piano nello spazio è individuato da:

Tre punti A, B, C non allineati
Una retta r e un punto non appartenente ad essa
Due rette r e s incidenti
Due rette r e s parallele

Le posizioni reciproche di due rette nello spazio
Nello spazio due rette possono appartenere allo stesso piano (e si dicono allora complanari) o non appartenere allo stesso piano.

Le rette complanari possono essere

Incidenti: se hanno un solo punto in comune
Parallele: se non hanno alcun punto in comune
Coincidenti: se hanno tutti i loro punti in comune

Le rette non appartenenti allo stesso piano si dicono sghembe, non hanno alcun punto in comune e non sono parallele.

Mettiti alla prova. Rispondi alle domande sugli elementi della geometria dello spazio collegandoti al seguente link. wordwall.

Verifiche in Google Moduli

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Per usare i Google Moduli nelle proprie Google Classroom e, quindi, ricevere in modo automatico i risultati degli/delle studenti/studentesse, i moduli vanno copiati nel proprio spazio Google Drive e condivisi mediante link. Il modulo nel vostro Drive sarà completamente modificabile.

Obiettivi di apprendimento

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Conoscenze

Conoscere gli elementi fondamentali nello spazio
Conoscere gli angoli diedri e le loro proprietà
Conoscere gli angoloidi e le loro proprietà.

Abilità

Rappresentare rette e piani nello spazio
Operare con gli angoli diedri
Operare con gli angoloidi.

Competenze disciplinari

Riconoscere e denominare le forme dello spazio, le loro rappresentazioni e saper cogliere le relazioni tra gli elementi e con la realtà.

Competenze digitali

Utilizzare i mezzi informatici per cercare ed elaborare informazioni
Lavorare in gruppo condividendo materiali ed elaborati.

Informazioni preliminari

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La lezione permette di acquisire e rinforzare conoscenze, abilità e competenze fondamentali sulla geometria dello spazio.

Il percorso offre la possibilità di apprendere l’argomento attraverso diversi strumenti multimediali, video, slide, esercizi interattivi in formato Google Moduli, pdf scaricabili e software gratuiti on line.

La lezione segue il metodo induttivo: a partire da una situazione reale, lo studente impara ad operare con gli elementi fondamentali della geometria nello spazio, con gli angoli diedri e gli angoloidi.

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Il Padlet è abbinato ai corsi MAT 360° e Archimede di Bruno Artuso e Roberto Vacca. La matematica chiara, rigorosa e calata nella realtà.

Coordinamento: Silvia Gadda

Redazione: Giulia Baccanelli, Mario Scalvini

Il Padlet e tutti i suoi contenuti sono di proprietà dell'Istituto Italiano Edizioni Atlas e pubblicati sotto licenza CC BY-NC-SA (uso con obbligo di citazione, fini didattici non commerciali, condividi allo stesso modo).

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Gli oggetti con cui abbiamo a che fare giornalmente presentano le forme più disparate. Un cono gelato, una scatola di scarpe, una lattina di aranciata, un pallone da calcio, sono solo alcuni esempi di oggetti a tre dimensioni che ritroviamo nella nostra vita quotidiana. Alcuni di essi possono essere ricondotti a forme geometriche e, per questo motivo, è importante approfondiremo lo studio delle figure solide partendo dalle loro caratteristiche e proprietà.

Rifletti e rispondi - Osserva la vignetta: Chiara e Mohamed sono appassionati di birdwatching. Mentre sono in gita con la classe in un’oasi dedicata, decidono di aiutare gli operatori del centro a costruire dei nidi per cinciallegre.
“Non vedo l’ora di mettermi all’opera” dice Mohamed a Chiara. “Prendi il progetto con le misure”. “Certo Mohamed, risponde Chiara, “Io taglio e tu inchiodi”.
Ecco le istruzioni per realizzare il nido.
“La base del nido è un quadrato di lato 15 cm. Le pareti laterali sono quattro rettangoli: due con base 15 cm e altezza 23 cm (di cui una con un foro di 3 cm) e due con base 15 cm e altezza 25 cm. Il tetto è più lungo della base per coprire l’entrata del nido, ha infatti base 15 cm e altezza 29 cm”.
Mohamed e Chiara hanno a disposizione un’unica asse lunga 140 cm e larga 15 cm. Dopo aver copiato sul tuo quaderno la figura rappresentata nel fumetto, sei in grado di rappresentare nel rettangolo i vari pezzi?
Proprio come il nido costruito da Mohamed e Chiara, molti oggetti che ci circondano possono essere scomposti in più “facce”. Questo risulta utile, per esempio, quando abbiamo a che fare con le scatole degli imballaggi.

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Un paese come Terrapiatta, dove le cose hanno solo due dimensioni, ci appare fantastico.
E’ curioso osservare che, tuttavia, gli esseri piatti potrebbero rendersi conto dell’esistenza della terza dimensione se vivessero su una sfera invece che su un piano. Come potrebbero fare?
Supponiamo che una creatura di Terrapiatta vivente sulla superficie di una sfera decidesse di tracciare un triangolo con il proprio movimento. Immaginiamo che la sfera sia la Terra e la creatura parta dal Polo Nord, e poi scenda direttamente lungo un meridiano fino all’equatore; qui compia un giro verso destra di 90⁰, avanzi lungo l’equatore per un tratto, compia un altro giro di 90⁰e risalga lungo il meridiano fino a raggiungere nuovamente il Polo Nord.
Avrà percorso i tre lati del triangolo, ma se facciamo la somma degli angoli interni scopriamo che essa è: 90⁰+ 90⁰+ 90⁰= 270⁰ .
Come è possibile ciò? Sappiamo che in un triangolo la somma degli angoli interni è 180⁰.
Il fatto è che questa regola vale per le superfici piane; su superfici convesse come quella di una sfera la regola non vale più. Da queste constatazione il nostro ambiente Terrapiatta scoprirebbe che esiste un “mondo” con altre regole, diverse da quelle del piano. Il mondo della terza dimensione.

Flatland (Terra piatta)

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Finora abbiamo studiato le figure che si trovavano su un piano: punti, rette, triangoli, poligoni, cerchi, ecc. Immaginiamo un momento come vedremmo il mondo se anche noi avessimo solo due dimensioni.
Supponiamo di giacere su un piano, ma di poter vedere le figure geometriche che incontriamo. Se vedessimo un segmento e se il nostro occhio si trovasse sul suo asse, non sapremmo distinguerlo da un’altra figura qualsiasi. Però se girassimo attorno a esso, vedremmo diminuire la sua dimensione fino ad annullarsi quando il nostro occhio si trova allineato col prolungamento del segmento.
Così potremmo imparare a distinguere le varie figure geometriche girandoci intorno. I cerchi manterrebbero sempre la stessa dimensione; invece vedremmo crescere la dimensione dei quadrati fino al momento in cui ci troviamo sull’asse della diagonale (che è l’altra diagonale) e poi la vedremmo decrescere di nuovo. Vedremmo variare la dimensione dei triangoli equilateri tra quella del lato e quella dell’apotema e così via.
Nel 1884, il matematico inglese Edvin A. Abbott, firmandosi semplicemente “un quadrato” scrisse il libretto “Terrapiatta” (in inglese “Flatland”) in cui immaginava un mondo a due dimensioni. Nella Terrapiatta le donne erano segmenti, i triangoli acutangoli erano operai e soldati, i triangoli equilateri mercenari, i quadrati professionisti, gli esagoni erano nobili e i cerchi erano sacerdoti.
Il mondo di Terrapiatta veniva visitato da una sfera, che si presentava inizialmente come un punto (nel momento in cui era tangente a Terrapiatta) e poi si abbassava intersecando il piano di Terrapiatta. Così appariva al quadrato, protagonista del libretto, come un cerchio di diametro crescente fino a un certo punto e poi di nuovo decrescente fino a sparire.
Per gli abitanti di Terrapiatta studiare la geometria dei solidi (dei cubi, dei parallelepipedi, delle piramidi, dei coni e delle sfere) sarebbe molto difficile. Fortunatamente per noi, che siamo esseri a tre dimensioni, è molto più facile.
Occuparci di figure geometriche a tre dimensioni è proprio quello che faremo in questo Padlet.

La quarta dimensione

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Abbiamo iniziato lo studio della geometria partendo dagli enti geometrici fondamentali.
Il primo ente fondamentale è il punto (privo di dimensione), per passi successivi abbiamo definito la linea (una sola dimensione), poi il piano, il terzo ente fondamentale (due dimensioni: lunghezza e larghezza) e finalmente siamo arrivati ai corpi a tre dimensioni (lunghezza, larghezza e profondità). Ma esiste una quarta dimensione? In fisica, e in particolare nella teoria della relatività, la quarta dimensione è riferita al tempo componente che costituisce lo spazio-tempo in cui occorrono ed esistono tutti gli eventi del nostro universo.
In geometria il termine quarta dimensione è generalmente riferito a un'estensione degli oggetti ulteriore rispetto alla lunghezza, alla larghezza e alla profondità, che comporta la necessità di un'altra coordinata, oltre a quelle spaziali.
Un esempio di figura geometrica regolare immersa in uno spazio di quattro dimensioni è l'ipercubo, detto anche tesserato. L’ipercubo possiede quattro raggi (con riferimento ai quattro spigoli che si dipartono da ogni vertice della figura), 24 facce bidimensionali quadrate, e da 8 facce tridimensionali cubiche.
Svolgi una ricerca in Internet sull’ipercubo e disegna nello spazio bidimensionale una sua rappresentazione.

Le tre dimensioni

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Il passaggio da un mondo a due dimensioni a un mondo a tre dimensioni è facile da capire. Basta infatti aggiungere alle due dimensioni considerate finora, larghezza e lunghezza, la terza dimensione costituita dall’altezza (o spessore).
Nel volume di geometria 1, in realtà abbiamo già parlato più volte di altezza (di un triangolo ad esempio), ma base e altezza erano solo due nomi diversi per indicare le dimensioni di larghezza e altezza.
La geometria a tre dimensioni è molto più realistica di quella a due dimensioni. Tutto ciò che ci circonda, infatti, è a tre dimensioni; gli oggetti sono solidi a tre dimensioni.

Rifletti su quello che hai studiato

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Dopo aver svolto tutte le attività che il/la tuo/tua Insegnante ti ha assegnato, rifletti sul tuo studio, rispondendo alle seguenti domande.

Hai lavorato con impegno e serietà? ……………...
Hai ascoltato mentre gli altri parlavano? …………
Hai chiesto chiarimenti e fatto proposte? ……….
Sei stato chiaro nell’esposizione orale? …………..
I dubbi che avevi sono stati risolti? …………………
Le attività proposte su questo Padlet hanno facilitato il tuo studio sul testo base? ………………………

Ripassa i contenuti del capitolo

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Per riorganizzare e memorizzare quanto hai appreso studia il capitolo sul testo base.

Per verificare se hai compreso i contenuti principali del capitolo e prepararti all‘interrogazione accedi alla piattaforma per visionare i materiali digitali.

Ulteriori esercizi: e svolgi gli esercizi.
“Esercizi interattivi”: e verifica il tuo livello di preparazione.

Le proprietà degli angoloidi

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Se immaginiamo di fare pressione sul vertice di un angoloide i punti scorrono sul piano α e tanto più il vertice dell’angoloide si avvicina al piano α, tanto più la somma degli angoli al vertice delle sue facce si avvicina all’angolo giro; quando la somma delle ampiezze della facce dell’angoloide misura 360⁰ l’angoloide risulta completamente “schiacciato” sul piano, e quindi non esiste più.
Alla luce di questa considerazione possiamo enunciare la seguente proprietà:
“la somma degli angoli al vertice delle facce di un angoloide è sempre minore di un angolo giro”.

Mettiti alla prova. Rispondi alle seguenti domande sulle caratteristiche e le proprietà degli angoloidi.
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L’angoloide

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Se consideriamo, ad esempio, quattro angoli appartenenti a piani diversi, uniti tra loro in modo tale da avere quattro vertici in comune e tutti i lati a due a due in comune, otteniamo una superficie che divide lo spazio in due parti, ciascuna delle quali si dice angoloide o piramide indefinita.
In definitiva:
“L’angoloide è la parte di spazio determinata da tre o più angoli aventi il vertice in comune e tutti a due a due consecutivi”.

I piani perpendicolari

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Due piani α e β intersecandosi dividono lo spazio in quattro angoli diedri. In particolare:

I diedri opposti allo spigolo sono congruenti
Due diedri consecutivi sono supplementari
Se i piani sono perpendicolari, i diedri sono congruenti tra loro e formano quattro angoli retti.

Per stabilire se due piani sono perpendicolari basta verificare che uno dei quattro diedri sia retto.

Mettiti alla prova. Completa il seguente cruciverba sulle caratteristiche e le proprietà degli angoli diedri.
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La sezione normale di un diedro

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Se disegniamo un diedro e lo sezioniamo con un piano α perpendicolare al suo spigolo r, otteniamo l’angolo che viene detto sezione normale del diedro.
La misura di un angolo diedro è data dall’ampiezza della sua sezione normale.
Un diedro si dice acuto, retto o ottuso se la sua sezione normale corrisponde rispettivamente a un angolo acuto, retto o ottuso.

L’angolo diedro

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Se disegniamo due piani secanti α e β possiamo constatare che essi dividono lo spazio in quattro parti, ognuna delle quali prende il nome di angolo diedro o più semplicemente diedro. Se, in particolare, consideriamo due piani possiamo affermare che:
“Il diedro è ciascuna delle due parti in cui lo spazio rimane diviso da due semipiani aventi la stessa origine”.
I due sempiani si dicono facce del diedro; la retta origine si dice spigolo o costola.

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La stampante 3D è uno strumento che realizza degli oggetti in tre dimensioni a partire da un progetto attraverso la sovrapposizione di piani.
Ma come funziona una stampante 3D?
Si parte da un modello 3D digitale, inserito in un sistema di coordinate cartesiane a tre dimensioni. La stampante riproduce quel modello e, strato dopo strato, realizza gli oggetti.
La stampa 3D ha molte applicazioni: il processo di stampa è infatti utilizzato nei settori manifatturiero, medico, industriale, socioculturale e perfino nel campo alimentare.
Per approfondire l’argomento leggi il brano “la stampa 3D: una solida innovazione” nel laboratorio 3 allegato ai testi della collana “Archimede” volumi 3.