La probabilità di un evento E è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli f e quello dei casi possibili u quando sono tutti ugualmente possibili.

U={1,2,3,4,5,6}

gli eventi elementari sono:

E1="esce il numero 1"

E6="esce il numero 6"

Un possibile evento è E={2,4,6}, cioè esce un numero pari.

E1={escono consecutivamente, nell'ordine, 2 palline bianche e 3 nere}

dobbiamo supporre di distinguere per l'ordine di uscita ogni possibile raggruppamento.

i casi possibili si possono calcolare con le disposizioni semplici

D_10,5=10_*9_*8_*7_*6=30240

i casi favorevoli sono tutti i gruppi formati da 2 palline bianche

D_4,2 D_6,3=(43)_*(6_*5_*4)=1440

·         L’evento unione o somma logica è l’evento E₁ U E₂ che si verifica quando è verificato almeno uno degli eventi E₁ o E_2;

·         L’evento intersezione o prodotto logico è l’evento E₁ ∩ E₂ che si verifica quando sono verificati entrambi gli eventi E₁ ed E_2;

_{L'evento unione viene anche detto evento totale, mentre l'evento intersezione è detto anche evento composto}

• indipendenti se il verificarsi di uno non influenza la probabilità di verificarsi dell'altro;

• dipendenti in caso contratrio.

  
  

In generale:

Dati due eventi E, ed E2, con P(E1) ‡ 0, si chiama probabilità condizionata di E, rispetto a E,, e si indica con p (E2 E,), la probabilità che si verifichi Ez nell'ipotesi che E, sia verificato.

E, si sia verificato:

P (E, nE2) = p (E1) • p (E2 Es).

In particolare, nel caso di eventi indipendenti:

P(E, nE2) = p (E1) • p(E2).

La probabilità condizionata di un evento E, rispetto a un evento E, non impossibile, è:

* sono non vuoti, • sono a due a due incompatibili, • la loro unione è U,

allora vale la formula di disintegrazione:

P(E) = p(E,) • p (E| E) + p(E2) • p(E| Ez) + ... + p(En) • p(E| En).

* Il teorema di Bayes permette di calcolare la probabilità che la causa E, abbia preceduto l'evento E che si è verificato.

p(E)=p(E₁).p(E|E₁)+p(E₂)·p(E|E₂)+ ... +p(E_n).p(E E_n ),

la cui applicazione risulta facilitata utilizzando i diagrammi ad albero.

Questa formula è anche detta formula di disintegrazione.

E si ottiene come rapporto fra la probabilità di

E¡n E e la probabilità dell'evento totale E.

I maschi indossano solo pantaloni mentre le femmine indossano al 50% pantaloni e al 50% gonne.

Un osservatore nota da lontano una persona con i pantaloni, qual è la probabilità che sia femmina?

La probabilità semplice (a priori) che sia femmina ( evento A ) è del 60%

p(A)=0.6

La probabilità semplice (a priori) che una persona porti i pantaloni ( evento B ) è del 70%

p(B)=0.7

Secondo i dati del problema la probabilità condizionata (o a posteriori) che porti i pantaloni (evento B) una donna (evento A) è del 50%

p(B|A)=0.5

A questo punto applico il teorema di Bayes per calcolare la probabilità che a portare i pantaloni (evento B) sia una donna (evento A)

𝑝(𝐴|𝐵)=𝑝(𝐴)⋅𝑝(𝐵|𝐴):𝑝(𝐵)

Sostituisco i dati delle probabilità che già conosco e trovo la soluzione del problema.

p(A|B)=0.6⋅0.5 :0.7

𝑝(𝐴|𝐵)=0.43

Quindi, c'è una probabilità del 43% che la persona vista da lontano sia una donna.

E' la probabilità condizionata dell'evento A ( donna ) considerando l'informazione disponibile sull'evento B ( pantaloni ).