APLICACIÓN DE LA DERIVADA EN EL TRAZADO DE CURVAS by Braulio Monroy

Función de tercer grado

mendozaeduardo43 — 2018-04-04 12:29:35 UTC

Se forma por un término elevado al cubo, uno elevado al cuadrado, un termino lineal y un termino independiente
Trabajaremos con la siguiente función:

x³-4x²-7x+30=0

Dominio

bms302hades — 2018-04-04 12:37:03 UTC

.El dominio es el conjunto de números que puede tomar la variable independiente de una función.. EL dominio en este caso resultó:
D_f = ℝ
Explicación: Al poder otorgarle cualquier valor a x sin causar indeterminación, por ende, el dominio de la función son todos los valores.

Obtener la primera derivada

bms302hades — 2018-04-04 12:40:44 UTC

Necesitamos obtener la primera derivada ya que será la base para calcular la segunda y obtener puntos críticos.
Para derivar la función planteada podemos aplicar las reglas y pasos que se muestran en el siguiente vídeo

Segunda derivada

mendozaeduardo43 — 2018-04-04 12:41:42 UTC

Para obtener la segunda derivada debemos aplicar las reglas aprendidas en el vídeo a la primer derivada y en lugar de a la función original, obteniendo lo siguiente:

y"=6x-8=0

Puntos de Inflexión

gloriaortiz_2000 — 2018-04-04 12:48:13 UTC

Es aquel en el cual cambia la concavidad de una curva

f''(x)=0

6x-8=0

x = 8/6

x= 4/3

Para obtener el punto de inflexión utilizaremos la segunda derivada y la igualaremos a cero.

Puntos Críticos

gloriaortiz_2000 — 2018-04-04 12:49:48 UTC

1P ) y'= 3x²-8x-7=0
En nuestro primer paso, debemos obtener la derivada de la función.

2P) 3x²-8x-7=0

4+/- [(-4)² -(3)(-7)] ^1/2
x= -------------------------------------
3

4+/- (16 +21) ^1/2
x= -------------------------------
3

4+/- (37) ^1/2
x= ----------------------
3

4+ (37)^1/2 4 - (37) ^1/2
x= ---------------------- = 3.36 , -------------------- =-0.7
3 3
En el segundo paso, debemos igualar la ecuación a cero y obtener los valores correspondientes, en este caso, a x.

3P)

4 + (37) ^1/2

Para x= ----------------------- = 3.36

3

f'(0) = 3(0)² - 8(0) -7 = -7 < 0
f'(4) = 3(4)² - 8(4) - 7= 48 - 32 - 7 = 9 > 0

4 + (37) ^1/2

Por lo tanto en x= ---------------------- =hay un mínimo
3

4 - (37) ^1/2

Para x= ----------------------- = - 0.7

3

f'(-1)= 3(-1)² - 8(-1) - 7= 3 + 8 - 7 = 4 > 0

f'(0) = 3(0)² - 8(0) -7 = -7 < 0

4 - (37) ^1/2

Por lo tanto en x= ---------------------- = hay un máximo.
3
Para el tercer paso, hay que determinar dónde están nuestros máximos y mínimos. Ésto los hacemos otorgando un valor mayor y uno menor a cada unos de los resultados que obtuvimos de x en el segundo paso.

4P) Y Mín = (3.36)³- 4(3.36)² - 7(3.36) + 30 = -0.75 (3.36, -0.75)
Y Máx= (-0.7)³ - 4(-0.7)² - 7(-0.7) + 30 = 36.5 (-0.7, 36.5)
P. inflex.= (4/3)³ - 4(4/3)² - 7(4/3) + 30 = (514/27) (4/3, 514/27)
En el último paso, obtendremos las coordenadas de nuestros máximos y mínimos al sustituir los valores que obtuvimos en nuestro paso tres en la ecuación original. De igual manera, en el punto de inflexión.

Función creciente y decreciente

bms302hades — 2018-04-04 12:53:18 UTC

Una función creciente es aquella que al aumentar la variable independiente x, aumenta la variable dependiente y.

Una función decreciente f aquella que al aumentar la variable independiente x, disminuye la variable dependiente y.

f(x)'= 3x²-8x-7 =0
X₁= 4+(37)^1/2 / 3 = 3.3609
X₂= 4-(37)^1/2/ 3 = -0.6942

Valores de crecimiento y decrecimiento:

(- ∞, -0.6942]U[-0.6942, 3.3609]U [3.3609, ∞)

f (-0.6942)'= 3 (-0.6942)² -8 (-0.6942) -7
f (-0.6942)'= 1.4457 + 5.5536 -7
f (-0.6942)'= -0.0007 < 0

f (3.3609)'= 3 (3.3609)² -8 (3.3609) -7
f (3.3609)'= 33.8879 - 33.8872
f (3.3609)'= 0.0007 >0

Obtener la concavidad

bms302hades — 2018-04-04 12:58:10 UTC

y'' > 0 → ∪

y'' < 0 → ∩

x = 0 x = 2
f''(0) = -8 f''(2) = 4

Para que podamos obtener la concavidad necesitamos saber el valor de nuestro punto de inflexión. Ya que lo tengamos debemos otorgar un valor menor y y uno mayor a x de acuerdo nuestro punto de inflexión.

Así con los dos resultados que obtengamos, podamos identificar nuestra concavidad. Si es negativa la concavidad es hacia abajo, en cambio si es positiva la concavidad es hacia arriba

Para más información, podemos acceder al siguiente vídeo:

Primera derivada

marissagjc — 2018-04-04 13:03:00 UTC

x^3-2x^2-8x

Puntos Principales

karinalissetruiz — 2018-04-04 13:08:15 UTC

Para obtener los puntos principales (coordenadas de "y") se toma la función original y se reemplaza en la función original los valores de "x" obtenidos.
1) y=f(x)

f(x)= x³-4x²-7x+30
f(-.7)=(-.7)³-4(-.7)²-7(-.7)+30
y=32.5
2) y=f(x)
f(4/3)=(4/3)³-4(4/3)²-7(4/3)+30
y=15.9
3) y=f(x)
f(3.36)=(3.36)³-4(3.36)²-7(3.36)+30
y= -0.745
Coordenadas:
1. (-.7, 32.5)
2. (1.33, 15.9)
3. (3.36, -0.745)

Intersección con el eje de las ordenadas

2018-04-04 23:39:02 UTC

Para obtenerlas
1) Hacemos la igualación con 0 en cuanto a "x"
x=0
2) Al sustituir en la función original tenemos que:
0³-4(0)²-7(0)+30=y
y=30
3) Por lo tanto
y-Intersección= 30

2018-04-05 00:26:49 UTC

Y'=sec²x, -π/2

Gráfica

bms302hades — 2018-04-05 04:43:07 UTC