Vamos representar uma função de números naturais de forma que, para cada número natural escolhido, obtenha-se o seu dobro. Por exemplo, se escolhermos o 1, teremos o número 2; se escolhermos o 2, teremos o 4; se escolhermos o 3, teremos o 6 e assim por diante.

Isso significa que a será positivo. Por exemplo, dada a função: f(x) = 2x – 1 ou
y = 2x - 1, onde a = 2 e b = -1. Para construirmos seu gráfico devemos atribuir valores reais para x, para que possamos achar os valores correspondentes em y

Com f(1)=4 e f(2)=6, temos, então, dois pontos e os valores da função nestes pontos.

Para f(1) temos: f(1) = 4 = a.1+b
Para f(2) temos: f(2) = 6 = a.2+b

Destacaremos essas duas relações de igualdade:

6=2a+b (-), se subtrairmos uma igualdade da outra, teremos o seguinte resultado:
4=a+b   
2=a,       ou seja, a é igual a 2. Descobrimos o valor de um dos coeficientes. Para encontrarmos o outro, basta substituirmos o resultado em uma das igualdades. Usaremos a segunda:

4=a+b

como a=2 teremos ,  4=2+b  assim teremos,  b=2

Como f(x)=ax+b e a=2 e b=2, temos que esta função, para f(1)=4  e f(2)=6, será a seguinte:
f(x)=2x+b.

Para melhor compreender essas definições, veja alguns exemplos. Observe:

Um exemplo de função crescente é a função y = 4x + 5. Para perceber isso, observe a tabela a seguir:

Observe que o valor de x, a cada linha, é aumentado em uma unidade. Consequentemente, realizando-se os cálculos de y a partir da função dada, percebemos que, a cada linha, o valor dessa variável aumenta em quatro unidades.

Assim, quando o valor de x aumenta, o valor de y também aumenta. Por essa razão, a função é crescente. Além disso, apenas observando o gráfico dessa função, é possível perceber que ela é crescente, pois, quanto mais à direita, mais alta a reta fica.

Em outras palavras, a função quadrática f é definida por:

Veremos, a seguir, como calcular esse tipo de função, relembrando a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da função, além de conhecermos o seu tipo de gráfico, seus elementos e como desenhá-lo com base na interpretação dos dados obtidos pela solução.

A função quadrática forma uma parábola em um plano cartesiano.

Uma função f: R à → é chamada de função do 2º grau ou função quadrática quando existir a, b, c € R com a ≠ 0, de maneira que f(x) = ax² + bx + c, para todo x € R.

Exemplos:

Para cada número real x, devemos substituir e realizar as devidas operações para encontrar sua imagem. Veja o exemplo a seguir:

Vamos determinar a imagem do número real -2 da função f(x) = 6x² - 4x + 5. Para isso, basta substituir o número real dado na função, assim:

Logo, a imagem do número -2 é 27, resultando no par ordenado (-2; 37).

Número de raízes reais da função do 2º grau

Dada a função f(x) = ax² + bx + c, existirão três casos a serem considerados para a obtenção do número de raízes. Isso dependerá do valor do discriminante Δ.


1º caso → Δ > 0: A função possui duas raízes reais e distintas, isto é, diferentes.


2º caso → Δ = 0: A função possui raízes reais e iguais. Nesse caso, dizemos que a função possui uma única raiz.


3º caso → Δ < 0: A função não possui raízes reais.


Soma e produto das raízes

Seja a equação, ax² + bx + c = 0, temos que:

Se Δ ≥ 0, a soma das raízes dessa equação é dada por  e o produto das raízes por  . De fato, x’ e x’’ são as raízes da equação

Graficamente, as raízes da função do segundo grau são os pontos em que a parábola – a forma gráfica da função quadrática – corta o eixo x, ou o eixo das abscissas. Para fazer referência a essas raízes, costumamos usar símbolos tais como x’ e x” ou x₁ e x₂.

O gráfico acima apresenta um dos comportamentos mais esperados da função do 2º grau, quando a parábola corta o eixo x em dois pontos distintos. Contudo, nem sempre isso vai acontecer, pessoal! Tudo vai depender da quantidade de raízes reais que a função quadrática possuir.

O gráfico de uma função é o conjunto de pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem a seguinte condição: y = f(x). Em outras palavras, para cada valor de x, existe um único valor de y relativo a ele, obtido pela lei de formação da função.

Os gráficos mais importantes estudados no ensino fundamental pertencem à função do primeiro grau e do segundo grau. No ensino médio, também são estudados os gráficos da função logarítmica, exponencial, trigonométrica etc. Neste artigo, discutiremos uma técnica que pode ser usada para construir o gráfico de uma função do segundo grau.

Uma função do segundo grau é aquela que pode ser escrita da seguinte maneira:

f(x) = ax² + bx + c

Em que a, b e c são números reais, chamados coeficientes, com a sempre diferente de zero, e x é a variável independente.

O gráfico dessas funções é sempre uma parábola que pode ser construída a partir de três pontos que pertencem a ela: vértice e as duas raízes, ou vértice e dois pontos “aleatórios”.

As parábolas que podem ser usadas como gráfico de uma função do segundo grau devem ter sua concavidade voltada para cima ou para baixo. No primeiro caso, a parábola possui um ponto mais baixo, onde a função deixa de ser decrescente e passa a ser crescente. No segundo caso, a parábola possui um ponto mais alto, onde a função deixa de ser crescente e passa a ser decrescente. Esse ponto é chamado vértice.

Para encontrar as coordenadas do vértice V = (x_v, y_v), podemos usar as seguintes fórmulas:

x_v = – b  
         2a

e

y_v = – Δ  
         4a

As raízes de uma função são os pontos nos quais o gráfico dessa função encontra o eixo x do plano cartesiano. No caso das funções do segundo grau, o número de raízes pode ser 0, 1 ou 2. Se a função possui duas raízes, o melhor a ser feito é usá-las na construção do gráfico.

Para encontrar as raízes de uma função do segundo grau, utilize a fórmula de Bháskara. Primeiro, determine o discriminante da função:

Δ = b² – 4ac

Em seguida, substitua-o na fórmula de Bháskara, assim como os coeficientes:

x = – b ± √?
          2a  

As coordenadas das raízes da função serão: A = (x’, 0) e B = (x’’, 0). A partir desses três pontos, as duas raízes e o vértice, basta colocá-los no plano cartesiano e ligá-los por meio de uma parábola. Nesse processo, note que a parábola terá a concavidade voltada para baixo se o vértice estiver acima do eixo x, ou terá a concavidade voltada para cima se o vértice estiver abaixo do eixo x.

Os valores de  são as constantes da equação da forma . Após substituir esses valores na expressão do discriminante e obter o valor de delta, calculamos as raízes da equação a partir da seguinte fórmula:

Outra funcionalidade do discriminante é que, mesmo antes de aplicar a fórmula de Bhaskara, ele nos permite saber se a equação do 2° grau possui ou não raízes e, no caso de possuir, se elas são iguais ou diferentes.

A partir do valor do discriminante, podemos ter três situações diferentes em relação às raízes ou soluções de uma equação do 2° grau.

1º caso)   → Possui duas raízes reais diferentes.

Quando calculamos delta e o valor obtido é um número positivo, isso significa que a equação do 2° grau possui duas raízes reais e que, além disso, elas são diferentes.

2° caso) → Possui duas raízes reais iguais.

Se o valor de delta for igual a 0, então a equação do 2° grau também possui duas raízes reais, mas diferente do caso anterior, aqui elas são iguais.

Quando o valor de delta é negativo, significa que não existem raízes reais para a equação do 2° grau.

Observe que na fórmula de Bhaskara delta aparece sob um radical, , e como não existe raiz quadrada de um número negativo dentro do conjunto dos reais, não existem também soluções reais para a equação.

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Exemplo

Para produzirmos x unidades de uma mercadoria, temos que o custo dessa produção em reais é dado pela expressão matemática C = x² – 80x + 3000. Com base nessa expressão, determine a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo e qual o valor mínimo do custo.