1) 1은 자연수이다.

2) n이 자연수일 때, n의 계승자 n′도 자연수이다.

3) n′=1 인 자연수 n은 없다.

4) m′=n′ 이면 m=n 이다.

5) P(1)이 참이고 모든 자연수 k에 대해 P(k)가 참일 때 P(k′)이 참이면 P는 모든 자연수에 대해 참이다.

이 집합의 원소들에게 각각 다음과 같이 이름을 붙여줍시다.

1' = 2

1'' = 3

1''' = 4

1'''' = 5

1'''''= 6

...

따라서 5개의 공리와 적절한 이름 붙이기를 통해 드디어 우리가 익숙히 알고 있는 자연수 집합이 정의됩니다. 

이렇게 1과 2를 페아노 공리계로 정의했습니다. 이제 +를 정의해 봅시다. +의 정의는 생각보다 간단합니다. 다음 두가지 성질을 만족시키는 연산을 +로 정의하죠.  

1) 모든 자연수 n에 대하여 n+1=n′ 이다.

2) 모든 자연수 n,m에 대하여 n+m′=(n+m)′ 이다. 

생각보다 엄청 간단하죠? 그런데 신기하게도 요 두 성질만 있으면 자연수의 덧셈은 모두 정의가 가능합니다. 

1+1=2의 증명

그래서 1도 정의하고 2도 정의하고 +도 정의했겠다, 한번 1+1=2를 증명해 보도록 합시다.

먼저 덧셈의 정의에 의해 1+1=1′과 같습니다. 그런데 페아노 공리계를 통해 1′=2로 정의했습니다. 따라서 1+1=1′=2 이므로 1+1=2가 성립합니다.