Joanna de Oliveira Castro - Esquema de estudos - Parte teórica função by Joanna de Oliveira Castro

O que é uma função:

joannaoliveira — 2020-11-09 13:02:26 UTC

Quando o valor de uma grandeza muda de acordo com a variação de outra grandeza, temos uma função.
As funções possuem diversas aplicações no cotidiano, sempre relacionando grandezas, valores, índices, variações entre outras situações.

Lei de formação de uma função:

joannaoliveira — 2020-11-09 13:03:08 UTC

A lei de formação de uma função é a equação que representa a função e relaciona as suas grandezas.
Exemplos:
P = 0,9x +6
A = x²
A = 110 + 20x
y = 2000 + 20x

Gráficos de funções

joannaoliveira — 2020-11-09 13:04:30 UTC

Representa o comportamento das funções

Plano Cartesiano

joannaoliveira — 2020-11-09 13:05:32 UTC

O plano cartesiano é formado por duas retas reais perpendiculares, ou seja, o ângulo entre elas é de 90°. Essas retas determinam um único plano, que é denominado sistema ortogonal de coordenadas cartesianas ou somente plano cartesiano.
Criado no ano de 1637 por René Descartes

Como localizar um ponto no plano cartesiano?

joannaoliveira — 2020-11-09 13:06:31 UTC

Um ponto qualquer do plano cartesiano é indicado a partir de suas coordenadas, que são representadas por um par ordenado, ou seja, um ponto é formado por um conjunto de dois números que possui uma ordem a ser seguida (ordenado).
A notação do par ordenado ou ponto P é:
P (x, y)
x → Abscissay
y → Ordenada

joannaoliveira — 2020-11-09 13:08:40 UTC

A função afim, também chamada de função do 1º grau, é definida como
y = ax + b, sendo a e b números reais.
O gráfico de uma função do 1º grau será sempre uma reta.
Se a > 0 ( a for positivo), a função é crescente e seu gráfico é uma reta “subindo”.
Se a < 0 ( a for negativo), a função é decrescente e seu gráfico é uma reta “descendo”.
Todo gráfico de função do tipo y = ax + b cortará o eixo y no ponto de coordenadas ( 0,b)
Sempre que y =0 , x = b
A reta que representa qualquer função do tipo y = ax +b corta o eixo x na raiz da função e corta o eixo y no ponto (0,b).

Exemplos:

y = x + 2 y = 0,5x - 4 V = 2d + 1

y = 2x + 5 y = 8 - 2x P = 3L

FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE

joannaoliveira — 2020-11-09 13:10:12 UTC

Função crescente: gráfico é uma reta “subindo”
Função decrescente: gráfico é uma reta “descendo”.

Anotação importante:

joannaoliveira — 2020-11-09 13:11:16 UTC

Temos valores de y em função dos valores de x. Portanto, podemos representar y também como f(x), o que representa um número em função de x.

y = 2x - 1 ou f(x) = 2x - 1
y = -x + 4 ou f(x) = -x +4

Raiz de uma função (zero de uma função)

joannaoliveira — 2020-11-09 13:12:02 UTC

Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta corta o eixo x, y = 0.

Observe a representação gráfica a seguir:

Raiz de uma função

joannaoliveira — 2020-11-09 13:12:49 UTC

Exemplo 1:
Calcule a raiz da função y = 2x + 6

Raiz da função : Valor de x quando y = 0.

0 = 2x + 6
-2x = 6
x = -3

O gráfico dessa função cortará o eixo x no ponto de coordenadas (-3, 0)

Raiz de uma função:

joannaoliveira — 2020-11-09 13:13:46 UTC

Exemplo 2:
Calcule a raiz da função y = 2x - 5

Raiz da função : Valor de x quando y = 0.

0 = 2x - 5

-2x = -5

x = 5/2 ou 2,5

O gráfico dessa função cortará o eixo x no ponto de coordenadas (5/2, 0)

EXEMPLOS

joannaoliveira — 2020-11-09 13:36:03 UTC

Exemplo 1:
1) Um motorista de táxi cobra R$ 4,00 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 0,70 por quilômetro rodado (valor variável). Determine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de:
a) 2 km
b) 5 km
c) 10 km
d) x km

a) 2 km = 4 + 0,7 x 2 = 4 + 1,40 = R$ 5,40

b) 5 km = 4 + 0,7 x 5 = 4 + 3,50 = R$ 7,50

c) 10 km = 4 + 0,7 x 10 = 4 + 7 = R$ 11,00

x km = 4 + 0,7x

0 km = R$ 4,00

1 km = R$ 4,70

2 km = R$ 5,40

3 km = R$ 6,10

4 km = R$ 6,80

P = 4 + 0,7x

P = preço em reais

x = distância em km

Preço muda se a distância mudar
Preço está em função da distância

EXEMPLOS:

joannaoliveira — 2020-11-09 13:39:11 UTC

Exemplo 2:
2) O salário de um funcionário é composto por um valor fixo de R$ 2000,00 mais R$ 50,00 por produto vendido durante o mês. Calcule o salário desse funcionário se ele vender:
a) 0 produtos = R$ 2000
b) 10 produtos = R$ 2000 + 10 x 50 = R$ 2500
c) 20 produtos = R$ 2000 + 20 x 50 = R$ 3000
d) 100 produtos = R$ 2000 + 100 x 50 = R$ 7000
e) x produtos = 2000 + 50x

S = 2000 + 50x
S = salário
x = Quantidade de produtos vendidos

Salário muda de acordo com a quantidade de produtos vendidos.
Salário está em função da quantidade de produtos vendidos.

EXEMPLOS:

joannaoliveira — 2020-11-09 13:40:39 UTC

Exemplo 3:
3) Determine a área de um quadrado de lado igual a:

a) 2 cm - 4 cm
b) 4 cm - 16 cm
c) 5 cm - 25 cm²
d) 8 cm - 64 cm²
e) x cm - x² cm²

A = x²

A = área do quadrado (cm²)

x = lado do quadrado (cm)

Área muda de acordo com a medida do lado.
Área está em função da medida do lado.

EXEMPLO:

joannaoliveira — 2020-11-09 13:45:12 UTC

Observe a sequência de figuras e complete:

figura 1 = 0 pontinhos

figura 2 = 3 pontinhos

figura 3 = 8 pontinhos

figura 4 = 15 pontinhos

figura 5 = 24 pontinhos

Figura 6 = 35 pontinhos

figura 7 = 48 pontinhos

figura 10 = 99 pontinhos

Figura n = n² - 1 pontinhos

P = n² - 1

P = quantidade de pontinhos

n = número da figura

Quantidade de pontinhos está em função do número da figura

joannaoliveira — 2020-11-09 13:56:20 UTC

EXEMPLO:

joannaoliveira — 2020-11-09 13:57:42 UTC

A (2,3)

B (0,0)

C (-3,1)

D (-1,-2)

EXEMPLOS:

joannaoliveira — 2020-11-09 14:09:57 UTC

EXEMPLO 1:

1) O gráfico de uma função do tipo y = ax + b passa pelos pontos (-2, -3) e ( 1, 6).

A) Encontre a lei da função.
B) A função é crescente ou decrescente?
C) Encontre o valor da raiz da função.
D) Indique as coordenadas do ponto que o gráfico da função corta o eixo y.

A)
y = ax + b
-3 = -2a + b
6 = a + b

Resolvendo o sistema:
a = 3 e b = 3

Lei da função:
y = 3x + 3

B) Função crescente (a >0)

C) Raiz da função:
0 = 3x + 3
x = -1

gráfico corta o eixo y no ponto (0, 3)

EXEMPLOS:

joannaoliveira — 2020-11-09 14:13:19 UTC

EXEMPLO 2:
2) Em uma função do primeiro grau do tipo f(x) = ax + b temos:

f(1) = 15 ( quando x = 1, f(x) ou y = 15)

f(-1) = 5 ( quando x = -1, f(x) ou y = 5)

A) Encontre a lei da função.
B) Calcule o valor de f(3)
C) Encontre a raiz da função

f(x) = ax + b

15 = a + b

5 = -a + b

a = 5 , b = 10

f(x) = 5x + 10

B) f(3) = 5* 3 + 10 = 25

C) Raiz da função:
0 = 5x + 10
-5x = 10
x = -2

LEMBRETE

joannaoliveira — 2020-11-09 14:15:32 UTC

y = ax + b ou f(x) = ax + by = f(x)

Como construir gráficos de funções?

joannaoliveira — 2020-11-09 14:24:48 UTC

1° PASSO: Escolher valores para X

2° PASSO: Encontrar seus correspondentes Y

3° PASSO: Traçar a reta que contenha os pontos (X e Y)

RESUMO GERAL:

joannaoliveira — 2020-11-09 14:42:22 UTC

joannaoliveira — 2020-11-09 14:47:44 UTC

A função quadrática, também chamada de função polinomial de 2º grau, é uma função representada pela seguinte expressão:
y = ax² + bx + c

Exemplos:

y = -x² + 20x
y = x² + 10x + 16
f(x) = 2x² + 32
f(x) = x² + 10 x

Raízes da função

joannaoliveira — 2020-11-09 14:51:25 UTC

As raízes da função do segundo grau representam aos valores de x tais que y= 0.
As raízes da função são determinadas pela resolução da equação de segundo grau:
y = ax² +bx + c = 0
Para resolver a equação do 2º grau podemos utilizar vários métodos, um dos mais utilizados é aplicando a Fórmula de Bhaskara.

Gráfico da função quadrática

joannaoliveira — 2020-11-09 14:52:10 UTC

O gráfico das funções do 2º grau são curvas que recebem o nome de parábolas. Diferente das funções do 1º grau, onde conhecendo dois pontos é possível traçar o gráfico, nas funções quadráticas são necessários conhecer vários pontos.

Gráfico da função quadrática

joannaoliveira — 2020-11-09 14:57:09 UTC

O que define se a concavidade da parábola fica virada para cima ou para baixo é o valor de a.

Gráfico da função quadrática

joannaoliveira — 2020-11-09 15:03:15 UTC

Dica:

Se a for positivo, temos uma carinha feliz. Se a for negativo, temos uma carinha triste.

EXEMPLO:

joannaoliveira — 2020-11-09 15:09:12 UTC

Considere a função y = x² + 10x + 16

Calcule os valores das raízes desta função. ( valores de x, quando y =0)

x = -2 ou x = -8

A função possui duas raízes, logo o seu gráfico corta o eixo x em dois pontos.

O gráfico desta função é uma carinha feliz ou triste?

joannaoliveira — 2020-11-12 12:31:36 UTC

Em que ponto o gráfico desta função corta o eixo y?

( 0, 16)

O gráfico de uma função do segundo grau do tipo y = ax² +bx +c sempre corta o eixo y no ponto (0, c)

GRÁFICO:

Como determinar o ponto máximo ou mínimo de uma função quadrática?

joannaoliveira — 2020-11-12 12:34:03 UTC

vértice da parábola:

Como determinar o ponto máximo ou mínimo de uma função quadrática?

joannaoliveira — 2020-11-12 12:38:26 UTC

Para encontrarmos as coordenadas desse ponto temos a seguinte fórmula:

A fórmula vale tanto para valor máximo quanto para valor mínimo.

O vértice está no “meio’’ da parábola

OBSERVAÇÃO: E se o delta for igual a zero?

joannaoliveira — 2020-11-12 12:45:20 UTC

EXEMPLO: Vamos fazer o gráfico da função y = x² + 4x + 4

O gráfico corta o eixo y no ponto (0,4)

∆ = 16 - 4 x 1 x 4 = 0
x = (-4 + 0)/2 = -2

O gráfico passa pelo ponto (-2,0)

Xv = -4/2 = -2
Yv = 0
- vértice = (-2,0)

GRÁFICO:

OBSERVAÇÃO: E se o delta for negativo?

joannaoliveira — 2020-11-12 13:00:32 UTC

EXEMPLO: Vamos fazer o gráfico da função y = x² + 2x + 4

A função não possui raízes
A parábola corta o eixo y no ponto (0,4)
Vértice da parábola:

∆ = 4 - 4 x 1 x 4 = -12

Xv = -2/2 = -1
Yv = -(-12)/4 = 3
Vértice = (-1,3)

GRÁFICO:

joannaoliveira — 2020-11-12 13:15:34 UTC

PROBLEMAS

joannaoliveira — 2020-11-12 13:15:47 UTC

1) Lucas quer construir um galinheiro retangular. Para isso, ele possui 40 metros de tela para cercar o galinheiro. Quais devem ser as medidas da largura e comprimento do galinheiro para que ele tenha a maior área possível?

Vamos chamar a largura do galinheiro de x. Como o perímetro tem que ser igual a 40 metros, o comprimento pode ser representado por 20 - x.

A área do galinheiro pode ser calculada assim:

A = x (20 - x)

A = -x² + 20x

A = -x² + 20x

Área em função da medida x
Função do segundo grau
Como “a” é negativo o gráfico da função é uma “carinha triste”
A função possui um valor máximo no vértice.

Xv: -B : 2A
Yv = - ∆ : 4A
Xv = 10
Yv = 100

A maior área é igual a 100 m². Isso acontece quando x for igual a 10 m.

2) Em uma apresentação aérea de acrobacias, um avião a jato descreve um arco no formato de uma parábola de acordo com a seguinte função y = –x² + 60x. Determine a altura máxima atingida pelo avião. Os valores estão em metros.

y = –x² + 60x

Xv: -B : 2A
Yv = - ∆ : 4A
Xv = 30

Yv = 900

Yv = 900 ( Altura máxima em metros)

3) Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função C(x) = x² – 80x + 3000. Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo.

C(x) = x² – 80x + 3000

Xv = 40

yv = 1400

O custo mínimo é de R$ 1400,00 quando são produzidas 40 peças.