[Ari2] 4. Funzioni e proporzionalità by Istituto Italiano Edizioni Atlas divisione di Zanichelli editore S.p.A.

Tre semplice diretto e tre semplice inverso

edizioniatlas — 2022-08-22 08:17:35 UTC

La regola del tre semplice consente di risolvere tutti quei problemi in cui, date due grandezze direttamente o inversamente proporzionali, sono noti tre valori e si deve calcolare il quarto termine incognito.
Quando le due grandezze sono direttamente proporzionali i problemi prendono il nome di tre semplice diretto. Quando invece le due grandezze sono inversamente proporzionali i problemi prendono il nome di tre semplice inverso.

Prova tu - Leggi la scheda in allegato per scoprire come risolvere i problemi del tre semplice diretto e inverso, dopodiché applica quanto hai imparato per risolvere i seguenti problemi:

Una fruttivendola spende 60 € per acquistare 96 kg di mele; quanto avrebbe speso se avesse acquistato 72 kg di mele della stessa qualità?
Un rubinetto riempie una vasca da bagno in 75 minuti versando 15 litri di acqua al minuto. Quanti minuti impiegherebbe il rubinetto a riempire la stessa vasca se versasse 25 litri di acqua al minuto?

Le funzioni empiriche

edizioniatlas — 2022-08-22 08:17:35 UTC

Che tempo fa? - Misura con un termometro (o monitora con un'apposita app) la temperatura esterna, registrando la variazione del valore in gradi centigradi nell'arco di una giornata.
Riporta quindi i valori in una tabella e realizza un grafico cartesiano: puoi lavorare sul tuo quaderno oppure inserire i dati in un foglio elettronico e utilizzare gli appositi comandi per trasformarli in un grafico. Guarda il video per scoprire come realizzare un grafico in Excel!

La variazione della temperatura nell'arco della giornata ha un andamento irregolare e non vi è un legame matematico tra l'ora del giorno e la temperatura rilevata: si tratta di una funzione empirica.

Una funzione è detta empirica se per ottenere i valori della variabile dipendente y, in relazione a un valore della variabile indipendente x, è sempre necessario ricorrere ad una nuova rilevazione sperimentale.

Funzione di proporzionalità diretta

edizioniatlas — 2022-08-22 08:17:35 UTC

Due grandezze variabili x e y, dipendenti una dall’altra, si dicono direttamente proporzionali se diventando una doppia, tripla, metà, .... anche l’altra grandezza segue lo stesso andamento e diventa doppia, tripla, metà, ...

Il grafico della funzione di proporzionalità diretta è una semiretta uscente dall’origine degli assi.
Consideriamo l’insieme di tutti i rettangoli di base costante lunga 5 cm: al variare del valore dell'altezza, varia anche il valore dell'area del rettangolo, come mostrato nella tabella e nel grafico in allegato.
Osservando i valori assunti dalle due variabili notiamo che il rapporto tra due
valori corrispondenti rimane sempre costante, cioè: y/x = 30/6 = 25/5 = 20/4 =15/3 = ... = 5
In generale, se indichiamo con k il valore di tale rapporto, possiamo scrivere:
y / x = k oppure y = k ∙ x
Il coefficiente k, che nel nostro caso vale 5, prende il nome di coefficiente di
proporzionalità diretta e può assumere qualsiasi valore diverso da zero.

Grandezze costanti e variabili

edizioniatlas — 2022-08-22 08:17:35 UTC

Nella vita di tutti i giorni o nella natura che ci circonda possiamo osservare grandezze che nel tempo mantengono inalterato il loro valore, come la lunghezza di un fiume, la massa della Terra o la capacità di una bottiglia. Tali grandezze sono dette grandezze costanti.
Il costo di una merce, la velocità di un veicolo o il peso di una persona possono assumere invece valori che cambiano nel tempo; in questi casi si parla di grandezze variabili.

Mettiti alla prova - Sai distinguere una grandezza costante da una variabile? Testa le tue conoscenze con il gioco in allegato!

Le leghe metalliche

edizioniatlas — 2022-08-22 08:17:35 UTC

Stoviglie, gioielli, elementi di arredo, monete: moltissimi oggetti che abbiamo sotto mano quotidianamente sono realizzati con leghe metalliche. Di cosa si tratta? Una lega metallica è un materiale ottenuto miscelando tra loro due o più elementi, di cui almeno uno è un metallo, per ottenere prodotti di migliore qualità, per esempio meno soggetti all’arrugginimento o più duri o più flessibili.
Alcune delle leghe più comuni sono:

l’ottone, costituito da rame e zinco;
il bronzo, costituito da rame e stagno;
l’acciaio, composto da ferro e carbonio, quest'ultimo in percentuale non superiore al 2,06%;
la ghisa, composta da ferro e carbonio, quest'ultimo in percentuale superiore al 2,06%.

Prova tu - Risolvi i seguenti problemi relativi alle leghe metalliche applicando ciò che hai appreso sulle percentuali.

Un rubinetto di ottone (lega composta per il 58% di rame, il 40% di zinco e il 2% di piombo) pesa 500 g; quanti grammi di rame, zinco e ottone contiene?
Una trave di acciaio pesa 1200 kg; quanti kg di ferro e quanti kg di carbonio contiene? Se la trave contenesse 4,5% di carbonio non sarebbe più di acciaio ma di ghisa; quanti kg di ferro e quanti di carbonio conterrebbe in questo caso?
L’oro lavorato che troviamo solitamente nelle gioiellerie contiene solo il 75% di oro; la parte rimanente è rappresentata da alcuni metalli che permettono di aumentarne la rigidità e modificarne il colore. Se un braccialetto di oro giallo presenta una percentuale del 10% di argento e del 15% di rame e ha una massa di 36 g, quanti grammi di oro puro, rame e argento contiene?

Il concetto di proporzionalità inversa

edizioniatlas — 2022-09-20 07:02:17 UTC

La stanza di Claudio misura 24 m². Per pavimentarla, Claudio può scegliere tra diverse tipologie di mattonelle, aventi differenti dimensioni:

se sceglie mattonelle aventi area di 0,5 m² ne dovrà utilizzare 48;
se sceglie mattonelle aventi area di 1 m² ne dovrà utilizzare 24;
se sceglie mattonelle aventi area di 2 m² ne dovrà utilizzare 12;
se sceglie mattonelle aventi area di 3 m² ne dovrà utilizzare 8.

Anche in questo caso è possibile stabilire una relazione matematica che lega la superficie delle mattonelle utilizzate al numero delle mattonelle necessarie per ricoprire il pavimento dell'intera stanza: le due grandezze sono legate da una relazione di proporzionalità inversa.

Due grandezze variabili x e y, dipendenti una dall’altra, si dicono inversamente proporzionali se diventando una doppia, tripla, metà, .... l’altra grandezza diventa la metà, un terzo, doppia, ...

Osservando l’andamento delle due variabili notiamo che il prodotto tra due valori corrispondenti rimane sempre costante, cioè 24.
In generale, indicando tale prodotto con k, possiamo scrivere:
x · y = k oppure y = k / x.
Il coefficiente k, che nel nostro caso vale 24, prende il nome di coefficiente di proporzionalità inversa e può assumere qualsiasi valore diverso da zero.
Anche per rappresentare una funzione di proporzionalità inversa possiamo utilizzare un diagramma cartesiano.
Osserva la tabella e il relativo grafico in allegato: il grafico della funzione di proporzionalità inversa è una curva particolare che prende il nome di ramo di iperbole equilatera.

Metodo risolutivo

edizioniatlas — 2022-09-20 07:03:16 UTC

Esistono problemi in cui entrano in gioco almeno tre grandezze legate fra loro da leggi di proporzionalità diretta o inversa: sono i cosiddetti problemi tre composto.
Un problema del tre composto può essere risolto scomponendolo in due o più problemi del tre semplice.
Esiste tuttavia una regola pratica che permette di velocizzare la procedura e di giungere più facilmente alla soluzione.

Prova tu - Leggi la scheda in allegato per scoprire come risolvere i problemi del tre composto, dopodiché applica quanto hai imparato per risolvere i seguenti problemi:

In un hotel sono presenti 5 lampadari, in ciascuno dei quali sono presenti 10 lampade da 30 watt. Tenendoli accesi per 3 ore si spendono € 12. Se nella struttura fossero presenti 8 lampadari ciascuno dei quali con 12 lampadine da 25 watt, quanto si spenderebbe tenendoli accesi per 5 ore?
Una panetteria vende 450 pagnotte del peso di 60 g incassando € 270; se avesse venduto 240 pagnotte dello stesso tipo ma di formato più piccolo avrebbe incassato € 180. Quanto pesa in media ciascuna pagnotta del secondo formato?

Le percentuali nella realtà

edizioniatlas — 2022-09-20 07:03:31 UTC

Dai dati statistici ai saldi di fine stagione, dalle operazioni finanziarie alle pratiche fiscali: le percentuali fanno parte della vita di tutti i giorni. Quando, ad esempio, sentiamo frasi come: “In quel negozio stanno applicando uno sconto del 30% su tutta la merce disponibile”, oppure “Per le vacanze estive il 60% della popolazione italiana ha preferito località di mare”, o ancora “Nell'ultimo anno il numero di incidenti stradali è diminuito del 15%”, siamo di fronte all’uso delle percentuali.

La percentuale è un rapporto che ha come conseguente 100.

Se dunque, un negozio applica uno sconto del 30%, ciò equivale a 30 € di sconto ogni 100 €, ovvero 30/100 = 0,30. E se la nostra spesa ammonta a 120 €, quanto possiamo risparmiare? Per calcolarlo è sufficiente risolvere un problema di proporzionalità diretta, impostando la proporzione:
x : 120 = 30 : 100
Di conseguenza, x = (120 ∙ 30) / 100 = 36
Per calcolare una percentuale si può quindi impostare e risolvere una proporzione in cui uno dei termini è 100. Indicando la parte percentuale con p, il totale con T ed il tasso percentuale con r, possiamo sintetizzare la proporzione con la scrittura:

p : T = r : 100

Prova tu - Leggi la scheda in allegato e osserva l'infografica proposta. Basandoti sui dati forniti, prova quindi a calcolare il valore della percentuale di zuccheri presenti in 33 cl di aranciata.

Ripartizione semplice diretta e semplice inversa

edizioniatlas — 2022-09-20 07:04:11 UTC

Nella vita di tutti i giorni capita spesso di dover dividere una grandezza (superfici di terreno, somme di denaro, quantità di merce, ecc.) in parti direttamente o inversamente proporzionali ad uno specifico gruppo di numeri. Questa tipologia di problemi, detti problemi di ripartizione, si risolvono applicando la proprietà del comporre relativa ad una catena di rapporti uguali. I problemi di ripartizione semplice diretta fanno riferimento a grandezze direttamente proporzionali, mentre quelli di ripartizione semplice inversa a grandezze inversamente proporzionali.
Leggi la scheda in allegato per scoprire come risolvere i problemi di ripartizione!

In vacanza insieme

edizioniatlas — 2022-09-20 07:04:27 UTC

Tre famiglie composte rispettivamente da 3, 4 e 5 persone decidono di andare in vacanza insieme. Al termine della vacanza si tirano le somme per dividere in maniera proporzionale le spese. Se sono stati spesi 660 € per il viaggio e 1080 € per il soggiorno in albergo, qual è la quota che dovrà pagare ciascuna famiglia?
Applica quello che hai appreso sulla ripartizione per risolvere il problema!

Matematica finanziaria

edizioniatlas — 2022-09-20 07:04:54 UTC

La matematica finanziaria è quel ramo della matematica che si occupa di questioni aventi per oggetto capitali monetari, applicando gli strumenti della matematica al mondo della finanza e dell’economia.
Leggi la scheda in allegato per scoprire quali sono le grandezze che entrano in gioco nei problemi di matematica finanziaria e le formule che ne esprimono la relazione.

La maggior parte dei problemi di “matematica finanziaria” sono riconducibili a problemi del tre composto fra grandezze direttamente proporzionali.
Per risolverli è sufficiente applicare le seguente formule dirette:

i = (C ∙ r ∙ t)/100 (nel caso si tratti della rendita di un capitale in anni)
i = (C ∙ r ∙ t)/1200 (nel caso si tratti della rendita di un capitale in mesi)
i = (C ∙ r ∙ t)/36 000 (nel caso si tratti di una rendita di un capitale in giorni)

e le relative formule inverse.

Informazioni preliminari

edizioniatlas — 2022-10-19 14:28:33 UTC

- La lezione permette di acquisire e rinforzare conoscenze e competenze fondamentali su funzioni e proporzionalità.
- Il percorso offre la possibilità di approcciare attraverso strumenti multimediali: audio, video, slide, esercizi interattivi in formato Google Moduli, pdf scaricabili e software gratuiti online.
- La lezione segue il metodo induttivo: a partire da una situazione reale, lo studente impara a misurare e utilizzare le grandezze per operare nella realtà.

Obiettivi di apprendimento

edizioniatlas — 2022-10-19 14:28:39 UTC

Conoscenze: conoscere le grandezze direttamente e inversamente proporzionali; conoscere il problema del tre semplice e del tre composto; conoscere il concetto di ripartizione percentuale; conoscere i primi elementi di matematica finanziaria
Abilità: operare con grandezze direttamente e inversamente proporzionali; risolvere problemi del tre semplice, del tre composto e di ripartizione; risolvere problemi con le percentuali e di matematica finanziaria
Competenze: saper utilizzare le proporzioni per risolvere problemi di vario genere legati alla realtà
Competenze digitali: utilizzare i mezzi informatici per cercare ed elaborare informazioni; lavorare in gruppo, anche a distanza, condividendo materiali ed elaborati; comprendere e produrre elaborati digitali

Verifiche in Google Moduli

edizioniatlas — 2022-10-19 14:28:43 UTC

Per usare i Moduli Google nelle proprie Google Classroom e, quindi, ricevere in modo automatico i risultati degli studenti, i moduli vanno copiati nel proprio spazio Google Drive e condivisi da lì mediante link. Il modulo nel vostro Drive sarà anche completamente modificabile. Per copiare i moduli vai ai seguenti link:

edizioniatlas — 2022-11-03 14:54:19 UTC

Il Padlet è abbinato ai corsi MAT 360° e Archimede di Bruno Artuso e Roberto Vacca. La matematica chiara, rigorosa e calata nella realtà.

Coordinamento: Silvia Gadda

Redazione: Giulia Baccanelli, Mario Scalvini

Il Padlet e tutti i suoi contenuti sono di proprietà dell'Istituto Italiano Edizioni Atlas e pubblicati sotto licenza CC BY-NC-SA (uso con obbligo di citazione, fini didattici non commerciali, condividi allo stesso modo).

Il concetto di funzione

edizioniatlas — 2022-11-04 08:31:23 UTC

Spesso due grandezze variabili sono legate l’una all’altra in modo che al variare della prima varia, di conseguenza, anche la seconda.
Se per esempio un fruttivendolo guadagna 1,50 € per ogni kg di mele vendute, è evidente che più mele vende più soldi incassa. Le due grandezze, quantità di mele vendute e soldi incassati, si dicono variabili interdipendenti.
La prima grandezza, quella che può assumere liberamente valori diversi, si dice variabile indipendente e si indica con x (nel nostro caso la quantità di mele vendute), mentre la grandezza che varia in conseguenza dell’altra si dice variabile dipendente e si indica con y (nel nostro caso i soldi incassati).
Si può pertanto dire che una grandezza è funzione dell’altra.

Una funzione è una particolare relazione che si stabilisce fra due grandezze variabili x e y tale che ad ogni valore di x corrisponde uno ed un solo valore di y.

In simboli:
y = f (x)
che si legge “y uguale effe di x”.

Prova tu - Calcola l'incasso del fruttivendolo nei casi in cui venda 3, 6, 8 o 10 kg di mele. Rappresenta quindi la relazione tra i kg di mele venduti e l'incasso corrispondente con un diagramma di Eulero-Venn.

Supera tutti i livelli!

edizioniatlas — 2022-11-04 15:12:56 UTC

Nadia è un'appassionata di rompicapi di ogni genere e per il suo compleanno ha ricevuto il nuovo videogioco Enigma: il gioco prevede 20 livelli composti da rebus e puzzle di difficoltà crescente; al superamento di ciascun livello si guadagnano 3 punti, che di volta in volta si sommano a quelli precedentemente ottenuti.
Riporta in una tabella il punteggio totalizzato da Nadia livello dopo livello, dopodiché rappresenta i dati con un grafico cartesiano, ponendo il numero di livelli sull'asse delle x e il punteggio su quello delle y. Stabilisci quindi il coefficiente di proporzionalità.

Giunta alla fine del gioco, Nadia sblocca una serie di 10 livelli bonus: quale sarà il punteggio totalizzato al livello 27?

Mettiti alla prova - Proporzionalità diretta e inversa

edizioniatlas — 2022-11-07 14:07:44 UTC

Verifica quello che hai imparato su proporzionalità diretta e inversa con questo breve test.

Puliamo le aree verdi

edizioniatlas — 2022-11-07 16:01:42 UTC

Santiago partecipa alla raccolta dei rifiuti nelle aree verdi del comune organizzata dall'associazione di volontariato di cui fa parte. A metà giornata Santiago fa il punto della situazione: i volontari e le volontarie hanno riempito ben 18 sacchi di spazzatura, corrispondenti a circa 45 kg di rifiuti.
Quanti kg di rifiuti sono stati raccolti in totale se a fine giornata i sacchi riempiti sono 27?
Per raccogliere 27 sacchi le 5 persone che hanno partecipato all'attività hanno impiegato 6 ore; calcola quante ore avrebbero impiegato se avessero partecipato 12 persone.
Risolvi il problema utilizzando la regola del tre semplice.

edizioniatlas — 2022-11-08 11:06:47 UTC

Ti è mai capitato di percepire una variazione del tuo umore in funzione del tempo atmosferico? Spesso ci sentiamo più allegri ed espansivi nelle giornate di sole, più quieti e riservati nelle giornate di pioggia. Allo stesso modo, tra due grandezze variabili può instaurarsi una particolare relazione per cui al variare della prima grandezza varia, con uno specifico andamento, anche la seconda.

Rifletti e rispondi - Osserva la vignetta: l’associazione di volontariato di Ahmed e Stella ha partecipato quest’anno all’iniziativa dell’AIRC (Associazione Italiana per la Ricerca sul Cancro) riuscendo a vendere, tra amici e parenti, ben 300 reticelle di arance. L’importo è stato devoluto alla ricerca. Ora però bisogna consegnare le reticelle con relativa ricevuta alle persone che le hanno acquistate. Il numero di reticelle da consegnare per ogni persona deve essere suddiviso per evitare pesi troppo pesanti! Calcola quante reticelle spettano per ogni persona nei casi in cui le persone coinvolte siano 1, 2, 3 oppure 4.

Mettiti alla prova - Tre semplice e tre composto

edizioniatlas — 2022-11-08 11:48:08 UTC

Verifica quello che hai imparato sui problemi del tre semplice e del tre composto con questo breve test.

Quiz a squadre

edizioniatlas — 2022-11-09 13:27:40 UTC

A una serata di giochi di società viene organizzato un quiz a squadre. Al termine del gioco vengono assegnati 26 punti in maniera inversamente proporzionale rispetto al numero di errori commessi da ciascuna squadra. Sapendo che le tre squadre coinvolte hanno commesso rispettivamente 3, 4 e 2 errori, quanti punti spettano a ciascuna?

Mettiti alla prova - Percentuali e matematica finanziaria

edizioniatlas — 2022-11-11 13:49:07 UTC

Verifica quello che hai imparato percentuali e matematica finanziaria con questo breve test.