Las sucesiones son listas de números ordenados (llamados "términos"), como 2,5,8. Algunas sucesiones siguen un patrón específico que puede usarse para extenderlas indefinidamente. Por ejemplo, 2,5,8 sigue el patrón de "sumar 3", y entonces podemos continuar la sucesión.

Una serie finita es una sucesión que tiene final. Esta característica diferencia a las series finitas de las series infinitas, que no cuentan con un fin y, por lo tanto, puede extenderse o prolongarse indefinidamente.

Estas series tienen un primer y un último término que ya están definidos.

La definición de finito es algo que tiene un limite que no se puede exceder. Un ejemplo de finito es el número de personas que caben en un ascensor al mismo tiempo.

an = a1 + (n – 1) · d

Donde a1 es el primer término, y d, la diferencia.

Es decir, una serie o más bien una suma de los términos de una secuencia de números, resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo, constituiría lo que se denomina serie divergente.

En pocas palabras, una serie se dice convergente si tiene un límite finito (su suma es finita).

Una serie infinita es una expresión de la forma

∞∑n=1an=a1+a2+a3+⋯.

Para cada número entero positivo k, la suma

Sk=k∑n=1an=a1+a2+a3+⋯+ak

se llama kenésimo suma parcial de la serie infinita. Si podemos describir la convergencia de una serie a S, llamamos S la suma de la serie, y escribimos

∞∑n=1an=S.Si la secuencia de sumas parciales diverge, tenemos la divergencia de una serie.

ex ≈ 1 + x + (x2 / 2!) + (x3 / 3!) + (x4 / 4!) + (x5 / 5!) + …

Donde n! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… y se toma 0! = 1.

Para encontrar la suma de una serie geométrica finita, use la fórmula, Sn=a1(1-rn)1-r, r≠1, donde n es el número de términos, at es el primer termino y r es la razón común.

a(1-rⁿ)/(1-r).

Serie infinita que no es convergente,por lo tanto las sumas parciales de la serie no tienen un limite es decir, es una serie infinita que no tiene una suma finita

El radio de convergencia de una serie de potencias es el radio del círculo de convergencia al cual la serie converge. Dicho círculo se extiende desde el valor que anula la base de las potencias hasta la singularidad más cercana de la función asociada a la serie.

a n = dn + c

Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) 

y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón.

Sea f la función definida por f(x)= 2m; m" {1, 2, 3,4}

F (1)= 2x1=2

F (2)= 2x2=4

F (3)= 2x3=6

F (4)= 2x4=8

(2, 4, 6, 8)

F(x)= 2m; m" {1, 2, 3,4} es una serie finita donde m pertenece a cualquier número del intervalo [1, 4]

Los términos incrementan o disminuyen respecto de los anteriores mediante sumas o restas de una cantidad fija. Esta cantidad se llama diferencia y se denota, habitualmente, por la letra d.

Los términos incrementan o disminuyen respecto de los anteriores mediante multiplicaciones o divisiones por una cantidad fija. Esta cantidad se llama razón y se denota, habitualmente, por la letra

r.

r=1 implica que la sucesión está formada por el mismo número, una y otra vez, puesto que se está multiplicando por uno (sería un caso equivalente a una serie aritmética en la que la diferencia es

0).

donde "p" es cualquier número real positivo. Son convergentes cuando p>1

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..., 1/n

Límite = 0

1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, ..., n/n+1

Límite = 1

Fórmula de Cauchy-Hadamard

If, 0) f(x) | <e

3.4.2      Criterios de series convergentes y divergentes. (2020). http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro5/342_criterios_de_series_convergentes_y_divergentes.html

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La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias

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e^x = 1 + x + x²2! + x³3! + x⁴4! + x⁵5! + ...

nos dice que la función:e^x

es igual a la suma infinita de términos:1 + x + x²/2! + x³/3! + ... etc

-Primero, se debe desarrollar la serie de Taylor de la función f(x) alrededor del punto x=0:

ln(1+x) = x – (x^2/2) + (x^3/3) – (x^4/4) + …

-Luego, se procede a integrar la serie de Taylor entre los límites de 0 y 1:

∫₀¹ ln(1+x) dx = ∫₀¹ (x – (x^2/2) + (x^3/3) – (x^4/4) + …) dx

-Después de integrar término a término, se obtiene:

∫₀¹ ln(1+x) dx = [x^2/2 – (x^3/6) + (x^4/12) – (x^5/20) + …]₀¹

-Sustituyendo los límites de integración, se obtiene:

∫₀¹ ln(1+x) dx = [1/2 – (1/6) + (1/12) – (1/20) + …]

Esta suma infinita se puede expresar como la serie de Taylor de la función ln(1+x):

∫₀¹ ln(1+x) dx = ln(2) – 1/2 = 0.38629…

La serie de Taylor es especialmente útil para la aproximación de funciones en el cálculo de integrales. Al descomponer una función en una suma de términos cada vez más pequeños, podemos integrar cada uno de ellos de forma más sencilla y obtener una aproximación precisa del resultado final.

Castro, J. (2023, 11 marzo). Domina el cálculo de integrales con funciones expresadas como serie de Taylor. ECONORADAR. https://econoradar.com/educacion/domina-el-calculo-de-integrales-con-funciones-expresadas-como-serie-de-taylor/

Solución

Puesto que aqui u,, es el decimoquinto término,n es igual a 15.

El primer término (5, en este caso) siempre se corresponde con a

La diferencia común entre todos los términos es de 7 

U_1-a=12-5=7, U₂-U_1=19-12=7y asi sucesivamente)

U_15=5+(15-1) 7

U_15=103

Sucesiones y Series: Explicación con Ejemplos | StudySmarter. (s. f.). StudySmarter ES. https://www.studysmarter.es/resumenes/matematicas/analisis-matematico/sucesiones-y-series/

La serie de Taylor es una serie de potencias que se prolonga hasta el infinito, donde cada uno de los sumandos está elevado a una potencia mayor al antecedente.

Westreicher, G. (2022, 24 noviembre). Serie de Taylor. Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/serie-de-taylor.html

Strang, G., & Herman, E. “. (2022, 24 marzo). 5.2 Serie infinita - Cálculo volumen 2 | OpenStax. https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/5-2-serie-infinita

García, M. Á. R. (2022, 18 marzo). Cálculo Diferencial e Integral II: Series de potencia. El Blog de Leo. https://blog.nekomath.com/calculo-diferencial-e-integral-ii-series-de-potencia/

e^x = 1 + x + x²2! + x³3! + x⁴4! + x⁵5! + ...

nos dice que la función:e^x

es igual a la suma infinita de términos:1 + x + x²/2! + x³/3! + ... etc

La sucesión 3, 5, 7, 9 ... es aritmética porque la diferencia entre términos consecutivos es siempre dos.