PITAGORA-n acțiune! by Andriana Cernei

Cine a fost PITAGORA?

adriana_cernei — 2022-12-11 11:34:29 UTC

Pitagora sau Pythagoras a fost un filozof și matematician grec, originar din insula Samos întemeietorul pitagorismului, care punea la baza întregii realități, teoria numerelor și a armoniei. Tradiția îi atribuie descoperirea teoremei geometrice și a tablei de înmulțire, care îi poartă numele. Ideile și descoperirile lui nu pot fi deosebite cu certitudine de cele ale discipolilor apropiați. Pitagora a fost un mare educator și învățător al spiritului grecesc și se spune că a fost și un atlet puternic, așa cum stătea bine atunci poeților, filosofilor și comandanților militari.

Pitagora era ionian originar din insula Samos dar a emigrat la Crotone în Italia de sud, unde a întemeiat școala ce-i poartă numele, cea dintâi școală italică a Greciei antice.

Celebrele texte "pitagoriciene" Versurile de aur ale lui Pitagora și Legile morale și politice ale lui Pitagora, existente și în traduceri românești, aparțin unei epoci ulterioare. Ideea filosofică principală a pitagorismului este că numerele reprezintă esența lucrurilor, iar universul este un sistem ordonat și armonios de numere și raporturi numerice. Aristotel spune că în concepția pitagoreică „numărul constituie substanța tuturor lucrurilor” (Metafizica, 987a) și că „lucrurile constau din imitația numerelor” (ibid., 987b), adică numărul este un fel de paradigm a cărei imitație sunt lucrurile.

Sursa: https://ro.wikipedia.org/wiki/Pitagora

Teorema lui Pitagora

adriana_cernei — 2022-12-11 11:39:29 UTC

Teorema lui Pitagora afirmă că în orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei (latura opusă unghiului drept). Teorema poate fi scrisă sub forma unei relații între cele trei laturi AB, BC și CA, câteodată denumită relația lui Pitagora, care este scrisă mai sus.

Sursa: https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Pitagora#:~:text=Suma%20suprafe%C8%9Belor%20triunghiurilor%20mai%20mici,%2B%20b2%20%3D%20c2.

DEMONSTRAȚII (5)

adriana_cernei — 2022-12-11 11:47:25 UTC

În mare parte, acesta este modul în care demonstrația lui Euclid din Elemente are loc. Pătratul mare este divizat în două dreptunghiuri, unul în stânga, iar altul în dreapta. Apoi, alt triunghi este construit astfel încât acesta să aibă jumătate din suprafața pătratului din partea stângă. Aceste două triunghiuri sunt congruente, ceea ce demonstrează faptul că acest pătrat are aceeași suprafață ca și dreptunghiul din stânga. O versiune analogă este valabilă și pentru dreptunghiul din partea dreaptă și pentru pătratul rămas. Recombinând cele două dreptunghiuri pentru a forma pătratul pe ipotenuză, suprafața sa este aceeași cu suma suprafețelor celor două pătrate. În continuare se află detaliile.

sursa: https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Pitagora#:~:text=Suma%20suprafe%C8%9Belor%20triunghiurilor%20mai%20mici,%2B%20b2%20%3D%20c2.

DEMONSTRAȚII (1)

adriana_cernei — 2022-12-11 11:48:20 UTC

În orice mod, demonstrația atribuită lui este foarte simplă, și apelează la o rearanjare a figurilor.

Cele două pătrate mari reprezentate în figură conțin fiecare patru triunghiuri identice, iar singura diferență dintre cele două pătrate mari este faptul că triunghiurile sunt aranjate într-un mod diferit. Astfel, spațiul alb din interiorului fiecărui pătrat mare trebuie să aibă aceeași suprafață. Egalând suprafețele spațiilor albe reiese teorema lui Pitagora, c.c.t.d.

sursa: https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Pitagora#:~:text=Suma%20suprafe%C8%9Belor%20triunghiurilor%20mai%20mici,%2B%20b2%20%3D%20c2.

DEMONSTRAȚII (2)

adriana_cernei — 2022-12-11 11:50:11 UTC

sursa: https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Pitagora#:~:text=Suma%20suprafe%C8%9Belor%20triunghiurilor%20mai%20mici,%2B%20b2%20%3D%20c2.

DEMONSTRAȚII (4)

adriana_cernei — 2022-12-11 11:57:57 UTC

Demonstrația prin cvadratură

Suprafețele ambelor pătrate mari sunt egale cu (a+b) la a doua. Dacă suprafețele pătratelor roz, ce reprezintă pătratele numerelor (figura din stânga) sunt substituite cu un pătrat ce reprezintă numărul c la pătrat, făcându-se simultan o rearanjare a jumătăților celor două dreptunghiuri (fiecare fiind format inițial din câte două triunghiuri dreptunghice, congruente cu cel inițial), se obține figura din dreapta. Suprafețele celor două pătrate mari sunt identice, întrucât laturile acestora sunt congruente.

Calculând în fiecare caz suprafețele celor două pătrate, se obține, ca în desen, ceea ce duce direct la relația din teorema studiată.

sursa: https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Pitagora#:~:text=Suma%20suprafe%C8%9Belor%20triunghiurilor%20mai%20mici,%2B%20b2%20%3D%20c2.

DEMONSTRAȚII (3)

adriana_cernei — 2022-12-11 12:02:13 UTC

Această demonstrație prin rearanjare este reprezentată de animația din mijloc. Un pătrat mare este format din suprafața c²,din patru triunghiuri dreptunghice identice de laturi a, b și c, amplasate în jurul unui pătrat central mic. Apoi, se formează două dreptunghiuri cu laturile a și b prin mutarea triunghiurilor. Combinând pătratul mai mic cu aceste dreptunghiuri se formează două pătrate de suprafețe a² și b², care vor avea aceeași suprafață cu pătratul mare inițial.

sursa: https://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Pitagora#:~:text=Suma%20suprafe%C8%9Belor%20triunghiurilor%20mai%20mici,%2B%20b2%20%3D%20c2.

Curiozități

adriana_cernei — 2022-12-11 12:10:49 UTC

Relaţia matematică ce se poate stabili între lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic, cunoscută şi sub denumirea de teorema lui Pitagora, a fost descoperită de mai toate civilizaţiile antice cu mult timp înainte de a se naşte marele matematician şi filozof grec, Pitagora.
Meritul acestuia a fost acela că a dat pentru prima dată o demonstraţie riguroasă teoremei, însă tripletele de numere ce pot fi lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic erau cunoscute de către vechii egipteni, babilonieni, indieni sau chinezi. Ei foloseau aceste numere, cunoşteau reguli prin care determinau triplete de numere ce se bucurau de această proprietate, dar din păcate niciuna dintre aceste civilizaţii nu a dat vreo demonstraţie riguroasă a teoremei. Vechii egipteni foloseau pentru construcţia unghiului drept o funie legată la capete având 12 noduri echidistante.
Funia era fixată cu ajutorul a 3 ţăruşi astfel încât să ia forma unui triunghi dreptunghic cu dimensiunile laturilor de 3, 4 şi 5 unităţi măsurabile.

Teorema lui PITAGORA, poate fi aplicată în situații reale din viața cotidiană?

adriana_cernei — 2022-12-11 14:41:22 UTC

adriana_cernei — 2022-12-11 14:42:02 UTC

adriana_cernei — 2022-12-11 14:43:29 UTC

adriana_cernei — 2022-12-11 15:39:41 UTC

adriana_cernei — 2022-12-11 15:43:25 UTC

adriana_cernei — 2022-12-11 16:03:01 UTC

adriana_cernei — 2022-12-11 16:03:52 UTC

adriana_cernei — 2022-12-11 16:09:36 UTC

adriana_cernei — 2022-12-11 16:32:14 UTC

adriana_cernei — 2022-12-11 16:38:41 UTC

adriana_cernei — 2022-12-11 16:39:21 UTC

adriana_cernei — 2022-12-11 16:43:24 UTC

adriana_cernei — 2022-12-11 16:43:42 UTC

adriana_cernei — 2022-12-11 16:44:08 UTC

adriana_cernei — 2022-12-11 16:44:29 UTC

adriana_cernei — 2022-12-11 17:22:12 UTC

Aprofundarea și consolidarea cunoștințelor cu privire la Teorema lui Pitagora folosind aplicațiile cotidiene, dezvoltând competențe matematice, digitale, lingvistice, artisitice, istorice și de lucru în grup.

adriana_cernei — 2022-12-11 17:23:58 UTC

O.1 : să se implice în desfășurarea unor investigații științifice practice și de cercetare.

O.2 : să dezvolte competențe matematice, curiozitatea, adresarea de întrebări, căutarea unui răspuns, rezolvarea problemelor și formularea de concluzii.

O.3 : să prezente rezolvarea de probleme în cotidian, aplicând teorema lui Pitagora.

O.4 : să prezinte rezultatele investigaționale folosind diferite aplicații.

Muzica lui PITAGORA

adriana_cernei — 2022-12-11 22:03:32 UTC

Cupa lui PITAGORA

adriana_cernei — 2022-12-11 22:04:47 UTC

Roata lui PITAGOTA

adriana_cernei — 2022-12-11 22:07:19 UTC

sursa: https://numerologiavip.blogspot.com/2014/12/roata-lui-pitagora-sau-roata-norocului.html

adriana_cernei — 2022-12-11 22:21:29 UTC

adriana_cernei — 2022-12-11 22:51:09 UTC

Apariția teoremei

adriana_cernei — 2022-12-11 23:00:10 UTC

În tinerețe, Pitagora s-a mutat în Egipt pentru a-i întâlni pe celebrii înțelepți egipteni de acolo. După întâlnirea cu ei, a fost admis la studii, unde a învățat toate marile realizări ale filozofiei, matematicii și medicinei egiptene.

Probabil, în Egipt, Pitagora a fost inspirat de măreția și frumusețea piramidelor și a creat marea sa teorie. Acest lucru poate șoca cititorii, dar istoricii moderni cred că Pitagora nu și-a dovedit teoria. Dar el a transmis cunoștințele sale doar adepților săi, care ulterior au finalizat toate calculele matematice necesare.

Oricum ar fi, astăzi nu se cunoaște o tehnică de demonstrare a acestei teoreme, ci mai multe deodată. Astăzi putem doar ghici cum exact grecii antici și-au făcut calculele, așa că aici vom lua în considerare diferite moduri de a demonstra teorema lui Pitagora.

https://learningapps.org/watch?v=p95tuw1za22

adriana_cernei — 2022-12-12 19:30:18 UTC

https://learningapps.org/display?v=pwr276zuk22

adriana_cernei — 2022-12-12 19:31:15 UTC

adriana_cernei — 2022-12-12 21:17:10 UTC

adriana_cernei — 2022-12-12 21:51:28 UTC

adriana_cernei — 2022-12-13 18:04:14 UTC

1. Schimba ceasul de pe o mana pe cealalta

Daca esti ca mine, inseamna ca folosesti ceasul pe mana stanga. In momentul in care vrei sa vezi cat e ceasul, creierul tau nu face nici un efort pentru a „executa” aceasta sarcina. E pur si simplu un reflex… si tot ce facem din reflex nu mai trece prin constient.

La fel este si cand conducem. La inceput ne gandim la tot. Trebuie sa ridic piciorul stang usor, sa incep sa apas pedala cu piciorul drept, trebuie sa ma uit in oglinda stanga sa vad daca e liber, trebuie sa schimb viteza etc…

Dupa ce luam carnetul de sofer si cineva vorbeste cu noi in masina ii spunem: te rog taci, pentru ca acum conduc. 🙂

Dupa un timp devine un reflex si nu mai procesezi aceste lucruri in mod constient.

De aceea, iti recomand sa schimbi periodic ceasul de pe o mana pe cealalta. In acest fel vei obliga creierul tau sa gandeasca inainte sa proceseze. Poti face aceste schimbari la fiecare inceput de luna. 🙂

2. Mergi pe drumuri diferite in fiecare zi

Antreneaza-ti creierul printr-un alt exercitiu simplu, dar util: mergi pe trasee diferite in fiecare zi. Daca mergi zilnic pe acelasi drum, creierul tau este deja pe „pilot automat”.

De aceea, se mai intampla sa ajungi la birou si copilul sa fie inca in masina… pentru ca ai uitat sa treci pe la gradinita. 🙂 Forteaza-ti creierul sa gandeasca… sa munceasca.

Daca faci parte din lumea vanzarilor, aceasta strategie poate sa fie utila si pentru rezultatele tale. Mergand pe drumuri diferite in fiecare zi, vei vedea noi potentiali clienti. Deci, e un exercitiu cu mai multe beneficii. 🙂

3. Nu folosi GPS-ul

Majoritatea lucrurilor pe care le avem in viata noastra au fost create cu scopul de a ne usura viata. Dar sa nu uitam ca aceste lucruri ne afecteaza si creierul. Exersand din ce in ce mai putin, se atrofiaza.

Uita-te pe o harta, citeste numele strazilor pe cladiri, cere informatii… descurca-te. Macar din cand in cand. 😀

4. Invata ceva diferit in fiecare zi

Propune-ti sa inveti ceva nou in fiecare zi. O poti face citind sau folosind Wikipedia ori Google pentru acest lucru. Cauta un cuvant, un concept, o firma, un nume sau o tara si invata ceva nou zilnic. In acest fel nu numai ca iti antrenezi creierul, dar il si alimentezi.

Creierul tau seamana foarte mult cu o masina. Daca nu o alimentezi, nu merge. Dar ai grija si cu ce o alimentezi. Rezultatul nu va fi acelasi daca alimentezi cu „motorina premium” sau cu apa. 🙂

5. Fa exercitiu fizic

Gimnastica mintii nu exclude gimnastica muschilor. Nu mai este nici un secret ca exercitiul fizic ajuta nu doar corpul, ci si mintea.

Departamentul de Stiinte ale Miscarii al University of Georgia a ajuns la concluzia ca pana si o miscare de 20 de minute poate ajuta creierul uman.

Exercitiul fizic ridica ritmul cardiac si astfel se pompeaza mai mult oxigen in creier. In acelasi timp, pe durata exercitiului corpul elibereaza hormoni, lucru care contribuie atat la relaxarea noastra, cat si la invatare si transmiterea mai buna a semnalelor in cadrul sistemului nervos.

6. Hidrateaza-te din abundenta

Creierul este 90% apa, asa ca bea cat mai multa! Doza optima zilnica de apa este de minim 5% din greutatea corpului tau.

Atunci cand simti senzatia de sete, creierul tau deja nu mai functioneaza optim (de cateva zeci de minute). Constientul percepe setea mult mai tarziu decat este resimtita de creier la nivel celular. Asa ca bea apa inainte de a simti senzatia de sete.

7. Renunta la televizor

S-a demonstrat deja stiintific ca televizorul tampeste. Este o cale de comunicare prin care mesajul intra in creierul tau fara niciun efort… sa nu mai zic ca de multe ori acest mesaj nu este unul potrivit.

Ca o mica paranteza, sunt de acord ca unele emisiuni pot fi extrem de educative si pot contribui la dezvoltarea creierului (National Geographic, Discovery etc…).

8. Renunta la obiceiurile „proaste”

Si legat de acest subiect exista nenumarate studii care arata ca alcoolul incetineste functiile creierului.

Chiar si celor care spun ca „un pahar de vin pe zi este recomandat”, le sugerez sa bea apa in loc de vin. 🙂

9. Invata o limba noua

Probabil cea mai buna metoda de a-ti antrena creierul este sa inveti o limba noua. Statisticile arata ca o persoana care invata doua sau trei limbi cu usurinta poate invata la fel de bine sase-sapte limbi.

Stiai, de exemplu, ca poti invata o limba in doar cateva saptamani? Metoda Lozanov este una fantastica in acest sens. Mai multe despre acest model intr-un articol viitor. 🙂

10. Dezvolta-ti vocabularul

Un alt exercitiu pentru gimnastica mintii este sa iti dezvolti vocabularul in limba ta materna. Nu doar cuvinte noi intr-o limba noua, ci si cuvinte noi in limba romana. Ia DEX-ul si in fiecare zi invata un cuvant nou. Aceasta strategie o voi aplica si eu incepand de astazi. 🙂

11. Joaca jocuri pentru antrenarea creierului

Nu in ultimul rand, iti poti antrena creierul foarte bine in timp ce te relaxezi. Iti sugerez sa joci acele jocuri care te provoaca sa gasesti diferentele sau cele de memorie.

Program care afișează toate tripletele de numere pitagoreice până la un număr n dat mai mare decât 12.

adriana_cernei — 2022-12-13 21:03:50 UTC

PROGRAM NRPITAGORICE;
uses crt;
VAR n, S, a,b,c,k : integer;
BEGIN
WRITELN('Se tiparesc tripletele(a,b,c) de numere pitagorice');
WRITELN('cu proprietatea: a+b+c<=n, pentru n dat');
WRITE('Dati valoarea lui n:'); READLN(n);
For k:=1 to 4 do writeln;
k:=0;
IF n<12
THEN WRITELN('Nu exista numerele cerute')
ELSE FOR S:=12 TO n DO
FOR a:=3 TO S DIV 3 DO
FOR b:=a+1 TO (S-a) DIV 2 DO
BEGIN
c:=S-a-b;
IF c*c=a*a+b*b THEN BEGIN
k:=k+1;
WRITELN('Tripletul (a,b,c)',k:3,'= ',a:3, b:3,c:3);
END
END;
READLN;
END.

Program care afișează tipul triunghiului după lungimile laturilor introduse.

adriana_cernei — 2022-12-13 21:12:04 UTC

Program TipTriunghi;
uses crt;
Var a,b,c: Real;
echilateral, isoscel, dreptunghic: Boolean;
Begin
Write('Introduceti laturile triunghiului a, b, c : ');
Readln(a, b, c);
If (c Begin
echilateral:=(a=b) And (a=c);
isoscel:=(a=b) Or (a=c) Or (b=c);
dreptunghic:=c*c=a*a+b*b;
If echilateral then Write('Triunghi echilateral')
Else
If isoscel then Write('Triunghi isoscel')
Else
If dreptunghic then Write('Triunghi dreptunghic')
Else
Write('Triunghi oarecare')
End
Else Write('Date intrare incorecte');
Readln;
End.

Program ce calculează lungimea ipotenuzei după teorema lui Pitagora.

adriana_cernei — 2022-12-13 21:15:22 UTC

Program th_pit;
uses crt;
var a, b, c : real;
begin
writeln('Introduceti lungimea catetelor: ');
Write('a=');
readln(a);
write('b=');
readln(b);
c:=sqr(a)+sqr(b);
writeln('Lungimea ipotenuzei este ',sqrt(c):0:2, ' cm');
end.

Compilator online pentru programele PASCAL

adriana_cernei — 2022-12-16 19:48:33 UTC

https://www.onlinegdb.com/online_pascal_compiler

Jocul Mario - Platforma Pitagoreică

adriana_cernei — 2022-12-16 19:59:40 UTC

Pitagora - cine,unde, când?

adriana_cernei — 2022-12-16 20:01:51 UTC

https://www.flipbookpdf.net/web/site/9a7d34ddcc072c79529310f62ba157503978ea73202212.pdf.html#page/1

„Pantalonii Pitagoreici”

adriana_cernei — 2022-12-16 20:15:32 UTC

Un mic vers la această teoremă, care a fost inventat la scurt timp după demonstrație, demonstrează direct proprietățile ipotezei: „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”. Această două rânduri a fost depusă în memoria multor oameni - până astăzi poemul este amintit în calcule.

Această teoremă a fost numită „Pantaloni pitagoreici” datorită faptului că la desenul în mijloc s-a obținut un triunghi dreptunghic, pe ale cărui laturi erau pătrate. În aparență, acest desen semăna cu pantalonii - de unde și numele ipotezei.

Pitagora era mândru de teorema dezvoltată, deoarece această ipoteză diferă de cele similare prin cantitatea maximă de dovezi.

Important: ecuația a fost listată în Cartea Recordurilor Guinness datorită a 370 de dovezi veridice.

adriana_cernei — 2022-12-16 20:29:22 UTC

Demonstrație artistică

adriana_cernei — 2022-12-16 20:43:41 UTC

https://www.geogebra.org/m/uW9Rcmmj#material/QsMXqpZA