*Краток преглед на предходните методи (BFS, Dijkstra).

тежина.

Dijkstra- најкраткиот пат од едно теме до останатитe.

Floyd-Warshall:  најкраткиот пат помеѓу сите парови на темиња во графот (а не само од едно теме –  како кај Dijkstra).

Bellman-Ford е сличен на Dijkstra, но  се користи кога во графот може да постојат и ребра со негативни тежини.

• Dijkstra: Се користи за наоѓање на најкратки патишта од едно изворно теме до сите други.

• Floyd-Warshall: Се користи за наоѓање на најкратки патишта од сите темиња до сите темиња.

Принцип:

• Dijkstra: Гради најкратки патишта постепено.

• Floyd-Warshall: Користи динамичко програмирање со матрица на растојанија.

Структура на податоци:

• Dijkstra: Обично користи приоритетна опашка (heap или queue).

• Floyd-Warshall: Користи матрица со димензии n × n.

Негативни тежини:

• Dijkstra: Не дозволува негативни тежини.

• Floyd-Warshall: Дозволува негативни тежини, но не дозволува негативни циклуси.

Сложеност (време):

• Dijkstra: Има временска сложеност O((V + E) log V) за едно извршување.

• Floyd-Warshall: Има временска сложеност O(V³).

Примена:

• Dijkstra: Се користи за наоѓање на најкратки патишта од една одредена локација.

• Floyd-Warshall: Се користи за целосна анализа на сите патишта во графот.

Повеќекратно користење:

• Dijkstra: Мора да се повика посебно за секое изворно теме.

• Floyd-Warshall: Доволно е еднаш да се изврши, и потоа дава одговор за сите парови на темиња.

-----------------------------------

Кога ти треба најкраткиот пат од едно теме (на пр. во GPS навигација).

Кога графот е голем и нема негативни тежини.

Floyd-Warshall

------------------------------------

Кога ти требаат сите најкратки патишта (на пр. во мрежна анализа, комуникациски мрежи).

Кога графот е густ (многу ребра), и бројот на темиња не е преголем.

Чекори на алгоритмот:

-------------------------------

1. Иницијализација:

   • Креирај матрица dist[n][n] каде секоја вредност dist[i][j] е:

     • 0 ако i == j

     • тежината на директната врска од i до j, ако постои

     • бесконечност (∞), ако нема директна врска

2. псевдо код;

   за секој јазол k од 0 до n-1:

   за секој јазол i од 0 до n-1:

   за секој јазол j од 0 до n-1:

   ако dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]:

   тогаш dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]

3. Ова значи: ако патот од i до j преку k е пократок од досега познатиот, го подобруваме.

4. Резултат:

   • По извршувањето, матрицата dist ќе содржи најкратки растојанија меѓу сите парови i, j.

   
   

• 0 → 1 = 4

• 0 → 2 = 11

• 1 → 2 = 2

Иницијална матрица:

dist = [ [0, 4, 11], [∞, 0, 2], [∞, ∞, 0] ]

По извршување:

• dist[0][2] ќе се подобри на 4 + 2 = 6 (од 0 до 1 до 2)

Финална матрица:

[ [0, 4, 6], [∞, 0, 2], [∞, ∞, 0] ]

***

Решение: пред да го пресметаш збирот, проверуваш дали обете вредности се помали од ∞.

***

Ако графот содржи негативен циклус (пат кој почнува и завршува во ист јазол со негативна вкупна тежина), Floyd-Warshall не може да се користи за да се најдат најкратки патишта, затоа што  -Растојанието може да се намалува бесконечно секогаш кога се минува низ циклусот.

***

За откривање негативен циклус: ако по извршување на алгоритмот, dist[i][i] < 0 за некое i, тоа значи дека има негативен циклус во графот. ***

•Алгоритмот никогаш нема да стигне до стабилно решение, бидејќи секогаш постои пократок пат ако циклусот се повтори.

•На крајот, не можеш да кажеш кој е најкраткиот пат, бидејќи вредноста може да оди до -∞.

Со негативен циклус, можеш повторно и повторно да поминуваш низ истиот циклус и да го намалуваш вкупното растојание;

Алгоритмот ќе мисли дека секогаш постои подобар, пократок пат, и никогаш нема да заврши со конечни вредности

Пример:

Јазол 1 → Јазол 2 (тежина 2) 

Јазол 2 → Јазол 3 (тежина -5) 

Јазол 3 → Јазол 1 (тежина 1) 

Вкупно: 2 + (-5) + 1 = -2

Се иницијализираат сите растојанија како ∞, освен почетниот јазол (0).

Се вршат V-1 итерации (V = број на јазли)

На крај, се прави уште една итерација за да се провери дали постои негативен циклус (ако растојанието пак се подобрува → постои негативен циклус).

Ако во таа итерација се најде дека растојанието може дополнително да се намали, тоа значи дека има негативен циклус во графот.

Во таков случај, најкраткиот пат не може да се дефинира, бидејќи може да кружи бесконечно низ тој негативен циклус и да го намалува растојанието.

Пример на негативен циклус:

Да речеме дека имаме граф со циклус:

A → B (тежина -1)

B → C (тежина -1)

C → A (тежина -1)

Севкупната тежина на циклусот е -3, што значи дека можеш бесконечно да кружиш и да го намалуваш растојанието.

Пример:

Пат   A → B чини 10 денари.

Пат   B → C чини 5 денари.

Пат   C → A дава поврат од -20 денари (негативна тежина).

Негативен циклус:  A → B → C → A, патникот би можел да прави профит

10 + 5 – 20 = –5 денари

Тип на граф:  Ориентиран, со тежини (може и негативни).

Клучна карактеристика: Работи со негативни тежини, но не смее да има негативен циклус.

Сложеност:     O(V × E), каде V - јазли, а E- ребра.

Примена:    Ако графот има негативни тежини.

Предности:    Јасен и добар за помали графови

----------------------------

 Floyd-Warshall алгоритам

Тип на граф:  Ориентиран, тежински, за сите парови на јазли.

Клучна карактеристика: Матрица која ја пресметува најкратката растојание помеѓу сите парови на јазли.

Сложеност:     O(V³)

Примена:    Кога сакаш да ги знаеш сите најкратки патеки меѓу сите јазли.