Las medidas de dispersión son:

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.

La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

La desviación media se representa por

Ejemplo

Calcular la desviación media de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Desviación media para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

Ejemplo

Calcular la desviación media de la distribución:

  | xi | fi | xi · fi | |x - x| | |x - x| · fi
[10, 15) | 12.5 | 3 | 37.5 | 9.286 | 27.858
[15, 20) | 17.5 | 5 | 87.5 | 4.286 | 21.43
[20, 25) | 22.5 | 7 | 157.5 | 0.714 | 4.998
[25, 30) | 27.5 | 4 | 110 | 5.714 | 22.856
[30, 35) | 32.5 | 2 | 65 | 10.174 | 21.428
  |   | 21 | 457.5 |   | 98.57

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

La varianza se representa por

.

Varianza para datos agrupados

Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Varianza para datos agrupados

Ejercicios de varianza

Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

 xifixi · fixi2 · fi
[10, 20) | 15 | 1 | 15 | 225
[20, 30) | 25 | 8 | 200 | 5000
[30,40) | 35 | 10 | 350 | 12 250
[40, 50) | 45 | 9 | 405 | 18 225
[50, 60 | 55 | 8 | 440 | 24 200
[60,70) | 65 | 4 | 260 | 16 900
[70, 80) | 75 | 2 | 150 | 11 250
  |   | 42 | 1 820 | 88 050

Propiedades de la varianza

1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por elcuadrado de dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular lavarianza total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño:

1 La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.

3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación típica se representa por σ.

Desviación típica para datos agrupados

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviación típica para datos agrupados

Ejercicios de desviación típica

Calcular la desviación típica de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

 xifixi · fixi2 · fi
[10, 20) | 15 | 1 | 15 | 225
[20, 30) | 25 | 8 | 200 | 5000
[30,40) | 35 | 10 | 350 | 12 250
[40, 50) | 45 | 9 | 405 | 18 225
[50, 60) | 55 | 8 | 440 | 24 200
[60,70) | 65 | 4 | 260 | 16 900
[70, 80) | 75 | 2 | 150 | 11 250
  |   | 42 | 1 820 | 88 050

Propiedades de la desviación típica

1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño:

1 La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación típica.

3 Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración de datos alrededor de la media.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (varianza).

Contenido

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Rango

Indica la dispersión entre los valores extremos de una variable. se calcula como la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable. Se denota como R.

Para datos ordenados se calcula como:

Donde: x(n): Es el mayor valor de la variable. x(n): Es el menor valor de la variable.

Desviación media

Es la media aritmética de los valores absolutos de las diferencias de cada dato respecto a la media.

Donde:

xi:valores de la variable.

n: número total de datos

Desviación estándar

La desviación estándar mide el grado de disersión de los datos con respecto a la media, se denota como s para una muestra o como σ para la población. Se define como la raiz cuadrada de la varianza según la expresión:

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Obsérvese que el denominador es n - 1, a diferencia de la desviación media donde se divide entre n; también existe la formula de desviación típica donde el denominador es n pero se prefiere n-1.

Mientras menor sea la desviación estándar, los datos son más homogéneos, es decir existe menor dispersión, el incremento de los valores de la desviación estándar indica ina mayor variabilidad de los datos.

Varianza

Es otro parámetro utilizado para medir la dispersión de los valores de una variable respecto a la media. Corresponde a la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. Su expresión matemática es:

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Coeficiente de Variación

Permite determinar la razón existente entre la desviación estándar (s) y la media. Se denota como CV. El coeficiente de variación permite decidir con mayor claridad sobre la dispersión de los datos.

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También puede ser expresado en por ciento.

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