a) (G,∗)  é não vazio. 

b) (G,∗) é fechada, isto é, para quaisquer a,b ∈ G, vale: a∗b ∈ G

c) (G,∗) é associativa, isto é, para quaisquer a,b,c ∈ G, vale: a∗(b∗c)=(a∗b)∗c

d) (G,∗) possui um elemento neutro, isto é, existe e ∈ G tal que para todo a ∈ G: e∗a=a

e)  Cada elemento a ∈ G possui um inverso b ∈ G com relação à operação ∗, isto é, a∗b=e 

f) Se a estrutura de grupo (G,∗) é comutativa, temos um grupo comutativo ou grupo abeliano.

 

Determinar se a estrutura descrita é grupo e em caso negativo, apresentar quais axiomas de grupo não são verdadeiros.

 

1 – G = {a₀,a₁} com a operação definida por a_i ∗ a_j = a_i + _j  se i + j < 2 e a_i ∗ a_j = a_i + j − 2 se i + j ≥ 2. Esta operação pode ser simplificada pela tabela: 

 

 | * | a₀ | a₁
| a₀ | a₀ | a₁
| a₁ | a₁ | a₀

 

a) Pela tabela segue que, para quaisquer a_i, a_j ∈ G, temos que a_i ∗ a_j ∈ G, assim, a operação ∗ é fechada em G

b)  Existe um elemento neutro a₀ ∈ G tal que para todo a_j ∈ G vale a igualdade a_j ∗ a₀ = a_j

c)  (G,∗) é comutativo, pois para quaisquer ai,aj∈G, segue que ai∗aj=aj∗ai. Realmente: 

a₀ ∗ a₀ = a₀ = a₀ ∗ a₀

a₀ ∗ a₁ = a₁ = a₁ ∗ a₀

a₁ ∗ a₁ = a₀ = a₁ ∗ a₁

d) Outro modo de observar que (G,∗) é comutativo é visualizar que a tabela das operações é simétrica com relação à diagonal principal. (G,∗) é associativo, pois para quaisquer a_i, a_j ∈ G, temos que: 

a₀ ∗ (a₀ ∗ a₀) = a₀ ∗ a₀ = a₀ = a₀ ∗ a₀ = (a₀∗ a₀) ∗ a₀ 

a₀ ∗ ( a₀ ∗ a₁) = a₀ ∗ a₁ = a₁ = a₀ ∗ a₁= (a₀ ∗ a₀) ∗ a₁

a₀ ∗ (a₁∗ a₀) = a₀ ∗ a₁ = a₁ = a₁∗ a₀ = (a₀ ∗ a₁) ∗ a₀

a₀ ∗ (a₁∗ a₁) = a₀ ∗ a₀ = a₀ = a₁∗ a₁ = (a₀ ∗ a₁) ∗ a₁

a₁∗ (a₀ ∗ a₀) = a₁∗ a₀ = a₁ = a₁∗ a₀ = (a₁∗ a₀) ∗ a₀ 

a₁ ∗ (a₀ ∗ a₁) = a₁∗ a₁ = a₀ = a₁∗ a₁ = (a₁∗ a₀) ∗ a₁

a₁∗ (a₁∗ a₀) = a₁∗ a₁ = a₀ = a₀ ∗ a₀ = (a₁∗ a₁) ∗ a₀

a₁∗ (a₁∗ a₁) = a₁∗ a₀ = a₁ = a₀ ∗ a₁ = (a₁∗ a₁) ∗ a₁

e)  Cada a_i∈ G possui um inverso a_j ∈ G tal que a_j = a_i, isto é, cada elemento é o inverso dele mesmo. 

f) tem uma estrutura de grupo abeliano (comutativo).