Sean los polinomios: {\displaystyle P(x)=(2x_{}^{3}+4x+1)}

y {\displaystyle Q(x)_{}^{}=(5x^{2}+3)}

, entonces el producto es:

{\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=}

{\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2}+3)=}

{\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2})+(2x^{3}+4x+1)(3)=}

{\displaystyle (10x_{}^{5}+20x^{3}+5x^{2})+(6x^{3}+12x+3)=}

{\displaystyle 10x_{}^{5}+26x^{3}+5x^{2}+12x+3}

{\displaystyle P(X)Q(X)_{}^{}=}

{\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{m}a_{i}X^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}X^{j}\right)=}

{\displaystyle \sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{p=0}^{k}a_{p}b_{k-p}\right)X^{k}}

{\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=}

{\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2}+3)=}

{\displaystyle (1\cdot 3)x_{}^{0}+(4\cdot 3)x^{1}+(1\cdot 5)x^{2}+(4\cdot 5+2\cdot 3)x^{3}+(0)x^{4}+(5\cdot 2)x^{5}=}

{\displaystyle 10x_{}^{5}+26x^{3}+5x^{2}+12x+3}

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios {\displaystyle \scriptstyle P(X)}

y {\displaystyle \scriptstyle Q(X)}

y el polinomio producto {\displaystyle \scriptstyle P(X)Q(X)}

:

(*)

{\displaystyle {\mbox{gr}}(P(X)Q(X))={\mbox{gr}}(P(X))+{\mbox{gr}}(Q(X))\,}

Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que {\displaystyle \scriptstyle {\mbox{gr}}(0)=-\infty }

(junto con la operación {\displaystyle \forall p:-\infty +p=-\infty }

) por lo que la expresión puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulo.