Kurvendisskussion by Michael Holzäpfel

2. Globalverhalten

holzaepfel — 2022-08-11 08:12:22 UTC

Unendlichkeitsverhalten

Betrachte den höchsten Exponenten mit dem Vorzeichen seines Koeffizienten.

Beispiel:
f(x)=-2x³+7x-5
höchster Exponent: 3 -> ungerade
Koeffizient: -2 -> negativ

Ableitungen - The Simple Club

holzaepfel — 2022-08-11 08:12:22 UTC

5. Extrema / Extremstellen

holzaepfel — 2022-08-11 08:12:22 UTC

Extrema

(Einzahl: Extremum)

...sind die Stellen, an denen der Graph - allgemein ausgedrückt - in irgendeiner Weise besonders ausgeprägt ist. Man unterteilt die Extremstellen in Hochpunkte und Tiefpunkte bzw. Maxima (=Hochpunkte) und Minima (=Tiefpunkte). Extremstellen sind sozusagen alle kleinen "Gipfel" und "Täler" im Graphen.

1. Symmetrieeigenschaften

holzaepfel — 2022-08-11 08:12:22 UTC

Symmetrieeigenschaften

Achsensymmetrie, alle Exponenten der Funktionsgleichung sind gerade
Punktsymmetrie, alle Exponenten der Funktion sind ungerade
keine Symmetrie, gerade und ungerade Exponenten

Beispiele

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- Ableitung -

holzaepfel — 2022-08-11 08:12:22 UTC

Ableitungsregeln

Potenzregel
1.) Alten Exponenten als Faktor vor die Variable x setzen.

2.) Neuer Exponent ist alter Exponent vermindert um eins.

Beispiel:

f(x)=x^2 \to f´(x)=2\cdot x^1=2x

Konstantenregel
Eine Funktion ist zusammengesetzt aus einer elementaren Funktion multipliziert mit einer Konstanten. Dann ist die Ableitung dieser Funktion gleich der Ableitung der Elemen-tarfunktion multipliziert mit der Konstanten.

Beispiel:

f(x)=2x^3 \to

f´(x)=3\cdot2\cdot x^2=6x^2

Summenregel
Eine Funktion ist zusammengesetzt aus der Summe zweier Funktionen. Dann ist die Ableitung der Funktion gleich der Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen.

Beispiel:

f(x)=2x^3 +x^2 \to

f´(x)=3\cdot2\cdot x^2+2 \cdot x^1

=6 x^2+2x

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6. Wendestellen

holzaepfel — 2022-08-11 08:12:22 UTC

Wendestelle

ist die Stelle eines Funktionsgraphen, an der der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Ein Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt.

Zum Verständniß:
Sie fahren mit einem Fahrrad durch hügeliges Gelände. Nachdem Sie die Talsohle durchfahren haben, beginnt die Straße anzusteigen. Erst sanft, dann immer stärker. Dann nimmt die Steigung wieder ab um oben auf dem Berg den Wert Null zu erreichen.

Irgendwo auf der Strecke war der Anstieg am größten, dort befindet sich der Wendepunkt.

Wendestellen

holzaepfel — 2022-08-11 08:12:22 UTC

Zusammenfassung Kurvendiskussion

holzaepfel — 2022-08-11 08:12:22 UTC

4. Nullstellen

holzaepfel — 2022-08-11 08:12:22 UTC

Nullstellen

Schnittpunkt von Graph und X-Achse

Bedingung: f(x)=0

Die Funktion muss gleich Null gesetzt werden.

Beispiel:

f(x)=-2x³+12x²-7x+1

Gleich Null setzten:

-2x³+12x²-7x+1=0

Methoden zur Bestimmung von Nullstellen:

(Videos verlinkt)

Und hier nochmal ein LERNPFAD zur Nullstellenbestimmung!

3. Y-Achsenabschnitt

holzaepfel — 2022-08-11 08:45:36 UTC

Y-Achsenabschnitt

Schnittpunkt von Graph und Y-Achse
Bedingung: x=0
In die Funktion muss für x Null eingesetzt werden.

Beispiel:
f(x)=-2x³+12x²-7x+1

Für x Null einsetzten:
f(0)=-2^.0³+12^.0²-7^.0+1=1

Der Y-Achsenabschnitt liegt bei (0/1)