+ Giải tam giác là tính độ dài các cạnh và số đo các góc dựa vào dữ kiện cho trước của bài toán.

+ Trong tam giác vuông, ta dùng hệ thức giữa cạnh và các góc của một tam giác vuông để tính toán
_Dạng 2: Tính cạnh và góc của tam giác

Bằng cách kẻ thêm đường cao (nếu cần) ta làm xuất hiện tam giác vuông để áp dụng các hệ thức giữa cạnh và góc thích hợp.
*Bài Toán Cụ Thể :
_Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 34 độ và bóng của một tháo trên mặt đất dài 86m . Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét)

Kí hiệu đỉnh như hình vẽ. Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông, ta có:

AB = AC.tg34^o = 86.tg34^o ≈ 58 (m)

Vậy chiều cao tòa nhà là 58m

*Các hệ thức:

_Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

+Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

+Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề

Công Thức :

b=a.sinB=a.cosC;

b=c.tanB=c.cotC;

c=a.sinC=a.cosB;

c=b.tanC=b.cotB.

*Chú ý:

Trong một tam giác vuông nếu cho trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông) thì ta sẽ tìm được các yếu tố còn lại.

* Các dạng bài :

_Dạng 1: Giải tam giác vuông

Phương pháp:

+ Giải tam giác là tính độ dài các cạnh và số đo các góc dựa vào dữ kiện cho trước của bài toán.

+ Trong tam giác vuông, ta dùng hệ thức giữa cạnh và các góc của một tam giác vuông để tính toán

Ví dụ 1: Giải tam giác ABC vuông tại A biết AC = 4,1 cm; BC = 5,7 cm

    Xét tam giác ABC vuông tại A:

    Áp dụng định lí Pytago có:

    BC²= AB²+ AC^2
=>  AB=√AB^2- AC² ≈4cm
Sin B= AC/BC = 4,1/5,7 = 0,72 => góc B≈46°
Góc C = 90°-46°=44°

_Dạng 2: Tính cạnh và góc của tam giác

Phương pháp:

Cho tam giác ABC có AB=16cm, AC=14cm, B=60°

a/Tính độ dài cạnh BC

b/Tính diện tích tam giác ABC

Giải:

Kẻ AH vuông góc với BC tam giác AHC có góc H=90°

=>sinB= AH/AB

=>AH=sinB.AH=sin60°. 16 =8√3cm

CosB= BH/AB =>BH=cosB.AB=cos60°.16=8cm tam giác AHC vuông tại H .

Áp dụng định lí Py-ta-gô vào tam giác vuông AHC.

HC²=AC^{2 -} AH²=14²-8√3²=196-192=4

=>HC =2

Vậy BC=CH+HB=2+8=10

b/SABC= 1/2 AH.BC= 1/2. 8√3.10=40√3(cm²)

A. Kiến thức cần nhớ

1. Định líTrong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:• Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề;• Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtanggóc kềTrong hình bên thì:2. Giải tam giác vuôngLà tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vuông B khi biết hai yếu tố của nó (trong đó ít nhất có một yếu tố về độ dài).

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, . Tính giá trị của a để BH = 3CH.

Đặt AH = h.

Xét DABH vuông tại H ta có:

BH = AH.cot B = h.cot a.

Xét DACH vuông tại H ta có:

CH = AH.cot C = AH.tan B = h.tan a.

Nhận xét: Trong bài giải ta đã biểu diễn BH và CH theo AH và theo một tỉ số lượng giác của góc a. Từ mối quan hệ giữa BH và CH ta tìm được giá trị của a.

Ví dụ 2. Giải tam giác ABC biết  và đường cao AH = 5,0cm.

Ta phải tìm, AB, AC và BC.

• Xét DABH vuông tại H ta có:

• Xét DACH vuông tại H ta có:

Do đó

Vậy

Lưu ý: Sau khi tính được AB và AC, có thể tính BH và CH theo AB và AC:

Tuy nhiên, ta nên tính BH và CH theo các số đo đã cho trong đề bài để kết quả được chính xác hơn.

 Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định. Biết BC = 4cm, AB + AC = 8cm. Tính giá trị lớn nhất của góc A.

Vẽ đường phân giác AD. Vẽ BH ^ AD và CK ^ AD.

Xét DABH vuông tại H, DACK vuông tại K, ta có:

Vậy

Mặt khác ,

nên

Do đó

vậy  khi D, H, K trùng nhau Û DABC đểu.

Nhận xét: Nhờ có việc vẽ đường phân giác AD và các đường thẳng BH, CK cùng vuông góc với AD mà ta tìm được sự liên hệ giữa AB, AC với BH, CK; sự liên hệ giữa BH, CK với BC. Do đó giữa AB, AC và BC có sự liên hệ với nhau, từ đó tìm được số đo của góc A.

Ví dụ 4. Chứng minh định lí côsin: Trong một tam giác nhọn, bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của hai cạnh ấy với côsin của góc xen giữa của chúng.

Vẽ đường cao BH. Xét DHBC vuông tại H ta có:

Xét DABH vuông tại H ta có : AH = AB. cosA

Thay vào (1) ta được

Nhận xét: Trong một tam giác nhọn, nếu biết hai cạnh và góc xen giữa thì nhờ định lí côsin ta có thế tính được cạnh thứ ba.

C. Bài tập vận dụng

• Vận dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để chứng minh hoặc tính toán

3.1. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng: 

a) AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C;

b) AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.

a) DACD vuông tại D, có AD = ACsin C.

DABE vuông tại E, có BE = ABsin A.

DBCF vuông tại F, có CF = BCsin B.

Suy ra AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C.

b) DABE vuông tại E, có AE = ABcos A.

DBCF vuông tại F, có BF = BCcos B.

DACD vuông tại D, có CD = ACcos C.

Suy ra AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.
3.2. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao AA', BB', CC’. Chứng minh rằng: 

DABB' vuông tại B', có AB' = ABcos A.

DBCC’ vuông tại C', có BC' = BCcos B.

DCAA' vuông tại A', có CA' = ACcos C.

Suy ra AB'.BC'.CA' = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.

Chứng minh tương tự ta được:

A'B.B'C.C'A = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.

Do đó AB’.BC’.CA' = A'B.B'C.C'A 

= AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.

Nhận xét: Vì ba đường cao tam giác cùng đi qua một điểm nên nếu đề bài chỉ yêu cầu chứng minh AB'.BC’.CA' = A'B.B'C.C’A thì theo định lí Xê-va ta có từ đó suy ra ngay đpcm.

3.3. Cho đường thẳng xy và điểm A cố định cách xy là 2cm. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ tam giác ABM vuông tại M sao cho . Tính độ dài ngắn nhất của AB.

DABM vuông tại M, có

Do đó AB ngắn nhất Û AM ngắn nhất

Vậy  khi

3.4. Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định và. Điểm A di động sao cho AB + AC = 6cm. Tính giá trị lớn nhất của góc A.

Vẽ đường phân giác AD. Vẽ BH ^ AD,

CK ^ AD. Ta có

Suy ra

DABH vuông tại H, có:

DACK vuông tại K, có:

Do đó mà  nên

Do đó  . Suy ra

Vậy  khi  Û DABC vuông cân tại A.

3.5. Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm và . Tính độ dài BC.

* Tìm cách giải

Vẽ đường cao AH để vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. Tính HB và HC từ đó tính được BC.

* Trình bày lời giải

Vẽ đường cao AH. Xét DABH vuông tại H có:

Xét DAHC vuông tại H có:

• Nếu H nằm giữa B và C thì

• Nếu C’ nằm giữa B và H thì

3.6. Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm và . Tính độ dài BC.

Vẽ đường cao AH. Xét DABH vuông tại H có:

Xét DAHC vuông tại H có:

 

Điểm C không thể nằm giữa H và B vì trên tia HB có HC > HB. 

Chỉ còn trường hợp điểm H nằm giữa B và C.

Ta có

3.7. Cho tam giác ABC cân tại A, góc ở đáy bằng a < 90°. Vẽ các đường cao AH và BK. Biết BK = h, tính AH.

Xét DKBC vuông tại K, có:

Vì DABC cân tại A nên

Xét DAHC vuông tại H có:

3.8. Cho tam giác ABC,

a) Tính số đo của góc tạo thành bởi đường cao AH và đường trung tuyến AM (làm tròn đến độ);

b) Cho biết BC = 45cm, tính độ dài AH (làm tròn đến centimet).

Đặt

a) Xét DABH và DAHC vuông tại H ta có:

Ta có

Do đó

Suy ra

Hay

b) Ta có BH + CH = BC hay

Suy ra

3.9. Tam giác ABC là tam giác nhọn hay tam giác tù nếu có:

a) , AB = 2,4cm, AC = 6,2cm;

b) , AB = 3,5cm, AC = 4,5cm.

a) Vẽ CH ^ AB. Xét DACH vuông tại H, ta có:

Trên tia AB có AB < AH nên điểm B nằm giữa A và H.

Suy ra

Vậy DABC là tam giác tù.

b) Vẽ CH ^ AB, BK ^ AC. Xét DACH vuông tại H, ta có:

Xét DABK vuông tại K, ta có:

• Trên tia AB có AH < AB nên điểm H nằm giữa A và B.

Xét DHBC có nên nhọn.

• Trên tia AC có AK < AC nên điểm K nằm giữa A và C.

Xét DKBC có  nên nhọn.

Tam giác ABC có ba góc nhọn nên là tam giác nhọn.

3.10. Cho tam giác ABC vuông tại A, , AB = c, AC = 4,5cm. Xác định giá trị của c để tam giác ABC là tam giác tù.

Vẽ CH ^ AB, BK ^ AC. DAHC vuông tại H, ta có:

DAKB vuông tại K, ta có:

DABC tù Û tù hoặc tù.

• Xét trường hợp  tù. 

Ta có và

• Xét trường hợp  tù.

Ta có :

Tóm lại, DABC tù khi  hoặc

– Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề

– Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề

b = a.sinB = a.cosC

c = a.sinC = a.cosB

b = c.tanB = c.cotC

c = b.tanB = b.cotC