<미적분의 마술같은 힘>

케이크를 쪼개 만든 평행사변형의 높이는 케이크의 반지름에서 아주 작은 길이를 뺀 값에 해당한다. 하지만 이 차이는 케이크 조각이 작아질수록 0에 가까워지기 때문에 평행사변형의 높이는 r과 같다고 보아도 무방하다. 또한 평행사변형의 폭은 케이크 원주 길이의 절반이다. 폭에다 높이를 곱하면 파이r * r이므로 r2파이임을 알 수 있다.

케이크의 조각이 작아질수록 우리는 정확한 케이크의 크기에 더 가까이 다가갈 수 있었다. 이것이 바로 미적분의 마술같은 힘이다. 무한에 다가갈 때 어떤 일이 일어날지 상상하는 과정을 수학자들은 극한값을 구한다고 표현하는데, 그 결과로 완성된 방법이 바로 적분이다.

동일한 접근법을 사용하면 다음같은 그래프 아래의 면적도 직사각형을 이용해 구할 수 있다. 더 많은 직사각형으로 쪼갤수록 정확한 면적에 더 가까아 다가갈 수 있다. 그래프 아래의 면적을 계산할 때에는 무한히 많은 근사를 사용하는 적분이라는 방법이 존재하고, 그래프 아래의 면적을 계산하는 것이 유용한 경우가 매우 많다는 것을 알아두자.

넬러는 뉴턴의 초상화를 가장 많이 그린 화가로 유명하다. 넬러의 작품중에 ‘뉴턴의 초상화‘ 가 그려지던 당시 뉴턴은 학자로서 매우 왕성한 활동을 이어가고 있었다. 뉴턴이 출간한 프린키피아는 라틴어 프린키퓸의 복수형으로 우리말로 ‘원리‘를 뜻한다. 이 책의 원제는 ‘자연철학의 수학적 원리’로, 그 유명항 ‘만유인력의 법칙’이 바로 이 책을 통해 세상에 알려졌다.

오래전부터 학자들 사이에 서로 우선권과 표절을 주장하는 논쟁이 있었습니다. 그중 유명한 것이 뉴턴과 라이프니츠의 미적분학에 대한 논쟁입니다.

두 사람은 서로 비슷한 시기에 미적분학을 발견했습니다. 또한 두 사람의 접근 방법이 달랐고 표기도 달랐습니다. 그런데 뉴턴이 라이프니츠가 자신의 미적분학을 표절했다는 주장을 하게되면서 둘의 싸움이 시작되었습니다.

현재는 뉴턴과 라이프니츠가 각자 독립적으로 발명한 것으로 인정하여 뉴턴은 미분을 물체의 운동속도, 가속도를 연구하기 위하여 극한의 개념으로 접근했고 라이프니츠는 곡선의 기울기에서 착안했다고 합니다.

뉴턴은 영국의 작은 마을에서 태어났습니다. 그는 태어나기전에 아버지를 여의었고 어머니 그 충격으로 10개월도 못채우고 뉴턴이 미숙아로 태어났습니다.

그는 독서를 통해 여러가지를 공부했고 특히 코페르나쿠스와 갈릴레이에 논문이 많은 영향을 주었습니다. 1661년부터 뉴턴은 접시닦이 등의 일로 학비를 벌면서 트리니티대학에서 공부했습니다. 하지만 대학에는 자격 미달인 교수가 많아 교육의질이 형펀없었고 그래서 뉴턴은 더 이상 배울겄이 없어 스스로 공부했습니다.

넬러가 그린 초상화 속 뉴턴은 양쪽 어깨를 타고 내려온 자연스럽게 긴 머리카락을 가지고 있었으며, 머리가 몸에 비하여 다소 컸고, 눈살을 찌푸리는 동시에 입을 굳게 다물고 있었다. 일부 미술평론가들은 초상화 속 뉴턴의 성격이 강하고 불친절해 보인다고 평하였다.

블레이크가 그린 초상화 속 뉴턴은 발가벗은 몸을 매우 불편하게 구부린 채 컴퍼스를 쥐고 도형을 응시하고 있었다. 이는 뉴턴을 컴퍼스를 들고 있는 창조주에 빗대어 풍자한 것이다.

<쪽매맞춤>

테셀레이션, 즉 우리말로 쪽매맞춤이 있는데, 쪽매맞춤은 평면을 빈틈없이 겹치지 않게 채우는 작업으로, 정다각형을 이용하여 평행이동, 대칭이동, 회전이동 등의 변환을 통해 다양한 모양을 연출시키기도 한다. 이 쪽매맞춤을 구현할수 있는 정다각형은 정삼각형, 정사각형, 정육각형 뿐인데, 그 이유는 삼각형의 경우를 들어보자, 한 내각의 크기가 60° 이므로 6개가 모이면 360°가 된다, 그럼 정사각형은 90×4=360°, 정육각형은 120×3=360°가 되는 것이다. 반면 정오각형은 한 내각의 크기가 108°이므로 모이면 324° 아니면 432°가 되기 때문에 절대로 달성할 수가 없다.에셔의 쪽매맞춤을 이용한 작품은 <나비 No.70>이 있는데, <나비 No.70>은 세가지 정다각형을 활용해 표현을 쪽매맞춤의 구조를 이루면서 그림을 완성한 걸 알수 있다.

또 다른 쪽매맞춤로는 '반등각등변 쪽매맞춤'이라고 있는데, 이건 서로 다른 모양의 도형을 이어 붙이는 것을 의미한다. 예를 들어 정사각형과 정팔각형을 이용한 쪽매맞춤, 더 복잡하게는 정삼각형, 정사각형, 정육각형 모두를 이용한 쪽매맞춤이다.

에셔가 쪽매맞춤을 이용한 작품이 하나 더 있는데, <도마뱀>이란 작품이다, 이 작품은 신기한 게 입체적인데, 쪽매맞춤이 있다라는 것이다. 에셔가 이걸 표현하기 위해 얼마나 고뇌를 했는지 충분히 보여진다.

미적분은 큰 문제를 작은 문제들로 쪼개서 해결 하는게 최선이라는 개념을 실현

케이크 문제로 보는 미적분

케이크를 쪼개어 평행사변현같은 모습으로 만든다

->미적분의 비결은 케이크를 계속 잘라 조각의 크기를 점점 작게 만드는것

처음엔 구불구불하지만 계속해 쪼개면 실제로 완전한 평행사변형 모양이 된다.

따라서 케이크 윗면의 넓이=평행사변형 넓이

평행사변형 넓이=폭×높이

만능천재 라이프니츠

뉴턴과 평생의 경자자였던 라이프니츠는 1646년

독일 라이프치히에서 태어났습니다. 라이프니츠는 15세때 라이프니치대학을 입학했다 그는 졸업 후 1666년 겨울, 라이프치히로 돌아온 라이프니츠는 법학 과정을 밟으며 실력을 갖추었다.그는 뉘른베르그의 알토도르프대학에서 법률의 새로운 교수방법에 관한 논문으로 학위를 받았다. 이후 그는 교수 자리를 제안 받았으나 거절하고 귀족의 변호사가 되는 길을 택했다.외교 사절로 만난 호이겐스에게 가르침을 받으며 자신이 가진 수학적 능력이 얼마나 뛰어난지 깨달았다.그는 런던에 머물면서 파스칼이 발명한 계산기에곱셈,나눗셈,거듭제곱근을 계산할 수 있는 새롭고 진보된 계산기를 발명했다. 계산기를 비롯한 다른 업적들을 인정받아 영국왕립학회의 외국인 회원으로 선발 되었다.

<다나이드>는 그리스 신화에서 다나오스와 아이집토스라는 쌍둥이 형제를 중심으로 한 이야기다. 다나오스는 아테나 여신의 도움을 받아 50명의 딸들과 함께 아르고스로 도망쳤고, 아이집토스는 자신의 아들 50명과 다나오스의 딸들을 결혼시키려 했다. 다나오스는 딸들에게 결혼 첫날밤에 남편을 죽이라고 명령했고, 대부분의 딸들이 이를 따랐다. 그러나 히페름네스트라는 남편을 살려주었고, 그녀는 아프로디테의 도움으로 무죄 판결을 받았다. 나머지 49명의 딸들은 지옥에서 영원히 물을 채우는 형벌을 받게 되며, 이들은 ‘다나이드’라고 불린다.

*그래프 아래의 면적을 계산*

-무한히 많은 근사를 사용하는 적분이라는 방법

-그래프 아래의 면적을 계산하는 것이 아주 유용한 경우가 많음

*미적분*

-극한값,적분 외에 미분도 존재

-적분의 반대 과정에 해당(미적분의 기본 정리)하며 극한값을 사용해 곡선의 기울기를 알아내는 과정

*예시*

-일본의 탄환열차 여행

탄환열차는 최대 속도가 320km/h.

일본의 탄환열차는 처음에 빠르게 가속되다가 최대 속도 가까이로 다가가면서 가속이 느려짐.

어느 시점에서 열차의 가속도를 측정하려면,열차의 속도가 얼마나 빨리 변하는지 알아야 하는데,이것을 그래프의 기울기로 나타냄.

*구불구불한 그래프의 기울기를 측정하는 방법*

-두 점 사이를 직선으로 연결하고 그 기울기를 측정.

-선택한 두 점 사이의 간극이 작을수록 정확한 기울기에 더 가까이 다가갈 수 있음.

-무한히 작은 간극에서 그 기울기를 구한다면,즉 기울기의 극한값을 구한다면,그래프의 변화율의 정확한 값을 구할 수 있음.(=dv/dt)

➡️시간 변화에 따른 속도의 변화율을 가리킴.

*미분과 적분,극한값을 구하는 이 도구들은 놀랍도록 쓸모가 많다.*

-기업이 최대 이익을 구하는 방법을 계산

-의약품의 효과를 측정

-행성의 움직임을 추적

적분은 수학자들이 무한에 다가갈 때 어떤 일이 일어날지 상상하는 과정을 극한값을 구한다고 표현할 때이러한 결과로 완성된 방법을 말한다. 적분은 그래프의 면적을 구하는데 아주 편리한데, 위와 같은 그래프아래에 있는 면적을 직사각형을 이용해 구할 수 있다.그래프를 더 많은 직사각형으로 쪼갤수록 면적을 더 정확하게 구할 수 있는데 일반적으로 수학자들은 작은 정사각형의 폭을 dx로 표현하는데 이 곡선을 f(x)라고 한다면 그 적분은 ∫f(x)dx라고 쓸 수 있다. 적분은 그래프 아래의 면적을 계산할 때에 무한히 많은 근사를 사용한다는 것과 그래프 아래의 면적을 계산하는 것이 아주 유용한 경우가 많다는 것을 알면 된다.

뫼비우스의 띠 => 경계가 하나 밖에 없는 2차원 도형(어느 지점에서나 띠의 중심을 따라 이동하면 출발한 곳과 정 반대의 곳에 도착하고, 두 바퀴 후에 원상복귀)

[유래]

고대 고마 숫자의 표기 변화=> (최근) 500 -> D, 1000 -> M (옛날) 500 -> IↃ, 1000 -> CIↃ=> 이 표시가 변해서 ∞이 됐을 듯.

우로보로스 => “꼬리를 삼키는 자”

꼬리를 물어 삼키는 형상은 영원성 또는 윤회 사상을 상징 => 무한을 암시

[쪽매맞춤]

평면을 빈틈 없이 겹치지 않게 채우는 작업. 평면을 빈틈 없이 채울 수 있는 도형은 정삼각형, 정사각형, 정육각형 밖에 없다.( ex) 정오각형은 평면 상에서 겹침.)

나비 NO. 70

정삼각형, 정사각형, 정육각형을 활용하였음.

미분은 적분의 반대 과정에 해당하며 극한값을 사용해 곡선의 기울기를 알아내는 과정이다 이 과정의 예시를 일본의 탄환 열차로 든다 탄환열차의 최대 속도는 320km/h이다 목적지에 더 빨리 도착하기 위해최대 속도로 달리다 만약 열차가 너무 빨리 최대 속도에 이른다면, 모든 승객이 뒤쪽으로 쏠리게 될 것이다 이런 불상사를 방지하기 위해 열차 회사는 열차의 속도가 너무 빨리 변하지 않게 하려고 한다 아래 그래프는 열차 속도를 파악하기 위해 한 가지 접근법을 보여주는 그래프이다. 보다시피 이 열차는 처음에 빠르게 가속되다가 최대 속도에 가까워 질수록 가속이 느려진다.어느 특정 시점에서 열차의 가속도를 측정하기 위해선 속도가 얼마나 빨리 변하는지 알아야 한다 이것은 그래프의 기울기로 나타낸다. 하지만 구불구불한 그래프의 기울기를 측정하는 것은 쉽지 않기에 이것을 근사하는 한 가지 방법은 두 점 사이를 직선으로 연결하여 그 기울기를 측정하는 것이다 이후 선택한 두 점 사이의 간격이 작을수록 우리가 관심을 가진 점에서의 정확한 기울기에 더 가까이 다가갈 수 있다 .이것을 dv/dt로 나타내는데 이것은 시간 변화에 따른 속도의 변화율로 가리킴 미분,적분,극한값을 구하는 이 도구들은 의약품의 효과 측정, 행성의 움직임을 추적 등에 이용이 된다

많은 사람들이 미적분을 마냥 어렵게만 생각하고, 두려워하지만 기본적으로 미적분은 큰 문제를 작은 문제들로 쪼개서 해결하는 것이 최선이라는 개념을 실현한 것이다.

반지름이 r인 완벽한 원기둥의 케이크가 있다고 가정했을 때, 미적분을 통해 우리는 케이크의 부피를 구할 수 있다. 큰 문제를 작은 문제들로 쪼갠다는 개념에 따라 케이크를 쪼갠 뒤, 위에서 내려다보면 평행사변형과 비슷하지만 변들이 구불구불한 형태가 된다. 케이크를 계속 잘라 조각의 크기가 작아질 수록 평행사변형의 변의 곡선은 점점 평평해지고, 무한히 많은 조각으로 자른다면 케이크는 완전한 평행사변형이 될 것이다.

따라서 케이크 윗면의 넓이는 평행사변형의 넓이와 같을 것이므로, 평행사변형의 높이 r × 평행사변형의 폭 πr인 πr²이다. 미적분의 원리을 이용해 원의 면적을 구한 것이다. 여기에 케이크의 높이 h를 곱하면 케이크의 부피까지 구할 수 있다.

블레이크는 자신의 그림에 신이 컴퍼스를 가지고 세상을 창조하는 것 같은 장면을 그렸다.블레이크는 그의 작품에서도 드러나듯이 기상천외한 사고방식으로 주변에서 광인 취급을 받았다.그가 사람들에게 인정받기 시작한 것은 그가 죽은지 백년을 지나서였다.

블레이크는 컴퍼스라는 도구로 수학자의 정체성을 묘사했는데 컴퍼스는 성경에도 나올만큼 세상을 창조하는 도구로 소개됐다. 창조주의 하나님이라는 이름모를 화가가 그린 그림에도 컴퍼스를 가지고 천지창조에 몰두하는 창조주가 나와있다.중국에도 복희와 여와라는 그림에 캠퍼스가 나와있다.이처럼 동서양을 막론하고 우주가 수학적으로 설계되었다고 생각했음을 알 수 있다.

자코모 발라의 작품《끈에 묶인 개의 역동성》은 움직임을 추상적으로 표현한 작품으로, 영국 사진작가 에드워드 머이브리지의 사진에서 영향을 받았다. 발라는 개의 움직임을 중심으로 발과 꼬리 등을 추적하며 역동성을 강조했다. 또한, 《칼새들의 비행》에서는 빠른 비행을 연속적으로 묘사해 속도감을 부각시켰다. 발라의 조각상《힘의 방향》은 자동차의 속도감을 추상적으로 표현한 작품으로, 미래파 이론을 극단적으로 발전시켰다. 그의 영향을 받은 보치오니는 산업화된 도시 풍경을 ‘분할주의’ 기법으로 그리고, 《공간에 있어서 연속성의 독특한 형태》에서는 달리는 사람의 역동성을 기계적인 이미지로 표현했다.

1220년 경 "도덕의 성서"라는 책에 삽입된

<창조주 하나님>이라는 세밀화다.

이 그림은 중세시대때 이름 모를 화가가

컴퍼스를 가지고 천지창조에 몰두하는 창조주를 그린 것이다.

이처럼 신이 수학으로 세상을 창조했다는

생각은 동양에서도 마찬가지였다.

이 그림은 중국 창조신화의 두 주인공이자 남매인 복희,여와이다.

미래파 화가들은 연속적으로 변하는 사물을 추상적으로 표현하며, 이는 수학의 ‘함수’ 개념과 비슷하다. 예술에서는 움직임을 미적으로, 수학에서는 이를 논리적으로 나타낸다. 예를 들어, 물체의 위치 변화는 시간에 따라 연속적으로 변하며, 기온이나 풍속 등 환경에 영향을 받는다. 수학적으로 연속적인 변화는 끊어짐 없이 이어지며, 낭떠러지나 벽이 나타나면 ‘불연속’으로 간주된다. 함수가 연속이려면 특정 조건을 만족해야 한다.

그는 어린시절부터 수학은 잘 못 하였지만, 아버지의 과학적 태도와 관찰력을 물려받아, 고등학교 시절부터 그림 그리기를 좋아하며 이후 그림 그리기와 목판 제작을 배우는 활동을 이어나갔다. 그의 작품에서 기하학적 원리를 토대로 2차원의 평면 위에 3차원 공간을 묘사했는데, 평면의 규칙적 분할에 의한 공간의 무한 확장과 순환 그리고 대립을 구현하였다,

작품 <불개미>를 보면 개미들이 목적지를 향해 끊임없이 앞으로 나아가지만 다시 제자리로 돌아오는데, 공간의 무한과 순환, 풀이하여 인생의 굴레에서 벗어나려 하지만 노력해도 끝없이 반복되는 인간의 삶을 비유하는 것 처럼 보이다가도 그 삶에서 의미를 찾길 바란다고도 볼 수있다.

에셔는 뫼비우스 띠말고도 다양한 작품에서 수학적 코드를 담아내었는데, 그건 바로 "쪽매맞춤"이라 하는데 평면을 빈틈없이 겹치지 않게 채우는 작업이다. 여기서 서로 다른 모양의 도형을 이어 붙이는 것을 "반등각등변 쪽매맞춤"이라한다. 이러한 원리가 담은 작품으로는 <도마뱀> 이 있는데, 이 그림은 정육각형을 이용한 쪽매맞춤 작품으로, 꼬리를 물고 움직이는 도마뱀이 쪽매맞춤을 통과할 때는 평면으로, 통과한 후에는 다시 입체가 된다. 또한 여기서 도마뱀이 정 12면체를 지날 때 콧구멍에서 증기가 뿜어져 나오는데 정다면체에는 정4면체 정6면체 정8면체 정12면체 정20면체가 있는데 플라톤은 이를 각각 불,흙,공기,우주로 비유하였으며, 또한 많은 입체 다각형들로 평면인2차원적 캔버스 위에 3차원적 입체를 구현하기 위한 에셔의 수학적 고민이 많이 보이는 작품이다.

f( × )가 ×=a에서 연속이 아닐 때 f(×)는 ×=a에서 불연속이라고 한다 이러한 수학적 개념을 적용시킨 미술 작품인 화가 존 윌리엄 워터하우스가 그린 < 다나이드 >란 작품이다 이 작품의 내용을 살펴보면 다나오스와 아이깁토스는 이집트의 전설적인 왕 벨로스와 안키노에 사이에서 태어난 쌍둥이 형제이다 아버지인 벨로스는 두 아들에게 각각 리비아와 아라비아를 물려주었지만 아이깁토스가 영토의 확장을 시도하면서 형제간에 갈등이 생겨 아이깁토스는 문제를 해결하기 위해 다나오스에게 자신의 아들 50명을 다나오스의 딸 50명과 결혼시키자고 제안하지만 다나오스는 이를 계략으로 받아들였다 생명에 위협을 느낀 다나오스는 아테나 여신의 도움을 받아 50개의 노로 젓는 커다란 배를 만들어 딸들과 함께 아르고스로 도망쳤다 아르고스에 도착한 다나오스는 아르고스 지역의 물 부족 문제를 해결하면서 많은 이들의 신망을 얻어 그곳의 왕이 되었다 하지만 아이깁토스는 아들 50명을 아르고스로 보내 계속해서 결혼을 요구했다 다나오스는 하는 수 없이 이를 수락했지만 딸들에게 단검을 하나씩 주고 결혼 첫날밤에 신랑의 목을 베도록 지시하였다 하지만 그중에 한 명인 히페름네스트라만은 자신의 신랑 린케우스를 죽이지 않았다 이를 계기로 아프로디테 여신은 번론 덕분에 무죄 판결을 받고 풀려날 수 있었다 남편을 죽인 49명의 자매들은 린케우스에 의해 살해되어 지옥에 가 밑 빠진 항아리에 영원히 물을 채워야 하는 가혹한 형벌을 받게 되었다 49명의 다나오스의 딸들은 ' 불연속 '을 매워야하는 영원한 형벌을 받게 되었다.

제임스 다우 앨런은 전 세계 수학자들을 대상으로 ‘최고의 수학자 200명’을 선정하는 작업을 진행 중이며, 뉴턴, 아르키메데스, 가우스가 상위에 자주 등장한다. 뉴턴은 천체물리학자로 잘 알려져 있지만 수학자이기도 했으며, 그의 초상화는 고드프리 넬리와 윌리엄 블레이크가 그린 두 가지 시각으로 매우 인상적이다. 넬리의 초상화는 뉴턴을 강하고 진지한 학자로 묘사한 반면, 블레이크는 그를 기하학적 진리만을 추구하는 단순한 사람으로 비판하며 그린 그림은 그로테스크하고 조롱적인 성격이 있다. 블레이크의 그림을 본뜬 조형물이 런던 도서관에 전시되어 있으며, 이는 과학만능주의에 대한 경고로 해석된다.