الدالة الأسية تكاد تكون أفقية عند القيم السلبية للأس عندما يكون الأساس >1، ثم تتزايد بسرعة في القيم الإيجابية، وتساوي 1 عندما تساوي قيمة س الصفر.

الدالة الأسية كل دالة من الشكل حيث نرفق بكل عدد موجب تماما a العدد وx عدد حقيقي(إذا كان a موجب تماما واصغر من 1 فان الدالة تكون متناقصة.إذا كان a أكبر من 1 فان الدالة تكون متزايدة وهو ما يسمى بالتزايد الأسي أوالتناقص الأسي.

* الدوال الاسية الأخرى

مثال آخر للدالة الأسية :

ص = ل مرفوعة للقوة س ، وتكتب رياضيا كالآتي:

ص=لس

حيث ل > صفر.

أي أن الدالة الأسية بصفة عامة :

X=yn

ملحوظة : تستخدم في الحاسوب معادلة أسية خاصة ، واسمها :

(exp(n وهي تعادل حالة خاصة للمعادلة الأسية التي هي أصلا حيث e هو الثابت الطبيعي المسمى عدد أويلر. ذلك لأن الحالة الخاصة لها استخدامات واسعة في

الفيزياء والكيمياء والهندسة الكهربائية الميكانيكية والإحصاء وغيرها من العلوم.

التعريف الجبري للدالة الأسية هو أنها تحول المجموع إلى جداء.

من خواص الدالة الأسية :

a0=1

a1=a

الدالة العكسية للدالة الأسية هي اللوغاريتم (log) ذو الأساس a حيث تحول إلى x وهي تحول الجداء إلى مجموع :

حيث x عدد حقيقي (ملاحظة الرمز log في هذه المقالة ينطبق على اللوغاريتم للأساس 10 ).

يمكن تحويل الدالة الأسية إلى أي أساس آخر

وتنطبق تلك القوانين على كل الأساسيات الحقيقية الموجبة و وعلى جميع الأساسيات الحقيقية والمركبة .

من أهم الدوال الأسية المستعملة في العلوم مثل كالفيزياء النووية والفيزياء الذرية والكهرباء والهندسة الكهربائية هي الدالة ذات الأساس e أي واللوغاريتم المنتسب إليها يرمز له بالرمز ln ، ويسمى “اللوغاريتم الطبيعي”.

1-      مجال د(س) هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

2-المجال المقابل لـ د(س) هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة فقط (لماذا؟

3- د(س) تقطع خط الصادات في (0,1) أي عندما س=0 فإن ص أو د(س) =1 دائماً

4-الدالة د(س) عبارة عن تطبيق متقابل أو تقابلي (لا أذكر الاسم العربي بالضبط ) one-to-one function .

5-عندما (ب)>1 فإن: د(س)——>0 عندما س——> سالب ما لا نهاية.

6- عندما 0<(ب)<1 فإن: د(س) ——->0 عندما س——> ما لا نهاية.

7- د(س) هي دالة متزايدة عندما (ب>1 ودالة متناقصة عندما ب<1.

§         الدالة الاسية للثابت الطبيعي e/

هناك الحالة الخاصة عندما يكون الأساس هو الثابت الطبيعي e (تستخدم بعض البلاد العربية الثابت الطبيعي “هـ” بدلا عن المعترف به عالميا)

وتكتب باللغة الإنجليزية:

(x=exp(n

تزايد جهد المكثف مع الزمن يتبع دالة أسية للأساس e.

حيث n هو الأُس للأساس الثابت الطبيعي الثابت «ه» والذي يساوي 2.718281828

وتوجد في الآلات الحاسبة لكثرة استعمالها.

أو بالتفصيل :

x=en

وذلك لجميع وجميع الحقيقية والمركبةln a )هو اللوغاريتم الطبيعي للأساس الطبيعي e وليس اللوغاريتم للأساس 10

للدالة الأسية للأساس الطبيعي e أهمية كبرى في الفيزياء (مثل :تناقص الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض [أنظر أسفله]) ، وفي الكيمياء(مثل : اعتماد سرعة التفاعل على درجة الحرارة)

وفي الفيزياء بالنسبة إلى الدارة الإلكترونية حيث تتزايد مثلا شحنة مكثف طبقا للدالة الأسية مع الزمن x=en حيث n=t.c حتى تكتمل سعة المكثف . وإذا عملنا على تفريغ المكثف من شحنته يتبع معدل تفريغ الشحنة مع الزمن نفس الدالة الأسية الطبيعية مع جعل الأس بالسالب ، أي x=e-t.c.

ويكون الأس n دائما عددا لا بعديا ، لكنه يتكون عادة من جزئين ، ففي حالة المكثف الكهربائي على سبيل المثال يكون n=t.c حيث t الزمن ثانية و c خاصية للمكثف وحدتها [1/ثانية] ، وينتج عن حاصل ضربهما عددا لا بعديا.

يعطينا الشكل المجاور الشكل المميز للدالة الأسية للأساس e. وطبقا لها تتغير الشحنة الكهربائية الواردة على المكثف مع الزمن حتى يمتلئ تماما.

مثال للدالة الأسية بصفة عامة

تزايد الميكروبات : ينقسم الميكروب إلى نصفين مكونا ميكروبين ، وينقسم كل منهما إلى نصفين فيصبحوا أربعة ميكروبات. ثم تنقسم الأربعة ميكروبات وتصبح ثمانية ميكروبات.

أي يبلغ عدد الميكروبات بعد 3 انقسامات :

N=23

N=8

فإذا أردنا معرفة عدد الميكروبات بعد 6 انقسامات ، صغنا المعادلة كالآتي:

N=26

N=64

أي أن عدد الميكروبات الناتجة عن ميكروب واحد بعد ستة انقسامات يبلغ 64 ميكروبا.

مثال/

عندما د(س)= 2^س، فإن:

2^3=8 ، 2^2=4 ، 2^1=2 ، 2^0=1 ، 2^-1=2/1 ، 2^-2=4/1 ، وهكذا تصغر القيمة حتى تصل إلى الصفر عند س= سالب ما لا نهاية .

ب- عندما تكون القاعدة بين الصفر والواحد فإن قيمة الدالة تنقص كلما ازدادت قيمة السين وتزداد كلما نقصت، حتى تصل إلى الصفر

مثال 3 :

قيمة د(س)= (-5)^س, عندما س=2/1، هي:

د(2/1) = (-4)^(2/1) = الجذر التربيعي لـ (-4) وهو غير معرف في مجموعة الأعداد الحقيقية.

كما لاحظتم من التعريف أيضاً أن القاعدة لا يمكن أن تساوي 1 لأن 1^س=1 لكل قيم (س)، فتكون هنا دالة خطية وليست أسية، ولا تنطبق عليها بعض خواص الدوال الأسية.

كما لاحظتم أيضاً أن القاعدة (ب) لا يمكن أن تساوي صفراً لأن 0^س=0 عندما تكون س>0 , ولأن 0^س غير معرفة عندما تكون قيم (س) أصغر من أو يساوي الصفر

 

 

 

 

 

 

عمل الطالب : بدر محمد حامد الثبيتي