Recíprocamente:Un tríangulo con dos ángulos de igual medida es un tríangulo isósceles.

Si dos triángulos rectángulos tiene sus hipotenusas y un par de ángulos agudos tienen la misma medida,entonces los triángulos son congruentes.

Criterio Hipotenuso-Cateto

Si dos triángulos rectángulos tienen sus hipotenusas y un par de catetos tienen la misma medida , entonces los triángulos son congruentes.

• AB=DE

• ∠B=∠E

• BC=EF ¿Son congruentes los triángulos? Si es así, ¿qué criterio de congruencia se aplica?

Respuesta: Sí, los triángulos son congruentes por el criterio LAL. Este criterio establece que si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos en un triángulo son congruentes a los correspondientes en otro, entonces los triángulos son congruentes. En este caso, el lado AB, el ángulo ∠B y el lado BC del primer triángulo son congruentes con el lado DE, el ángulo ∠E y el lado EF del segundo.

Respuesta: Los ángulos ∠Q y ∠R miden 65∘ cada uno. Según el teorema del triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados de igual longitud son congruentes. En este caso, ∠Q=∠R. Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180∘, la suma de ∠Q y ∠R es 180∘−50∘=130∘. Dividiendo este valor entre dos, obtenemos 130∘÷2=65∘.

Problema: Un triángulo tiene tres ángulos interiores de 60∘ cada uno. Si el lado más largo mide 10 cm, ¿cuánto miden los otros dos lados? Explica tu respuesta.

Respuesta: Los otros dos lados miden 10 cm cada uno. Por el teorema del triángulo equilátero, un triángulo es equiangular si y solo si es equilátero. Un triángulo con tres ángulos de 60∘ es equiangular, lo que significa que sus tres lados deben tener la misma longitud. Por lo tanto, si un lado mide 10 cm, los otros dos también miden 10 cm.

Problema: En un triángulo △ABC, el segmento AD es la bisectriz del ángulo ∠A. Si se sabe que el △ABD y el △ACD tienen un lado común AD y que ∠B=∠C, demuestra que los dos triángulos son congruentes.

Respuesta: Los triángulos son congruentes por el criterio ALA.

1. Se nos dice que AD es la bisectriz de ∠A, por lo que ∠BAD=∠CAD.

2. El lado AD es común a ambos triángulos, por lo que AD=AD.

3. Se nos da que ∠B=∠C.

4. Tenemos dos ángulos (∠BAD y ∠B) y el lado comprendido entre ellos (∠BAD y el lado AD no están adyacentes a ∠B). Esto indica que no podemos usar ALA directamente con los datos proporcionados. Sin embargo, sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es 180∘, por lo que ∠ADB=180∘−∠BAD−∠B y ∠ADC=180∘−∠CAD−∠C. Como ∠BAD=∠CAD y ∠B=∠C, entonces ∠ADB=∠ADC.

5. Ahora, sí podemos usar el criterio ALA. Tenemos ∠BAD≅∠CAD (ángulo), el lado común AD≅AD (lado), y ∠ADB≅∠ADC (ángulo). Por lo tanto, △ABD≅△ACD.