A primeira coisa que precisamos entender é que probabilidade é a chance de algo acontecer. Se falamos que há uma probabilidade de 10%, por exemplo, é a mesma coisa que dizer que há uma probabilidade de 10 sobre 100, porque é dez por cento. Isso significa que temos UMA chance em DEZ de algo ocorrer.

Medidas de comprimento: Quilômetro, hectômetro, decâmetro, metro, decímetro, centímetro, milímetro.

Medida de capacidade: Quilolitro, hectolitro, decalitro, litro, decilitro, centilitro, mililitro.

Medidas de área: Quilômetro quadrado, hectômetro ", decâmetro ", metro ", decímetro ", centímetro ", milímetro ".

1 hectare= 10000 " "

1 alqueire mineiro/goiano= 48400 " "

1 alqueire paulista= 24200 " "

1 alqueire do norte/fluminense= 27225 " "

b significa base e h significa lado

Na teoria dos números, dois inteiros a e b são primos entre si ou coprimos se o único divisor comum a ambos é 1. Consequentemente, qualquer número primo que divide a não divide b, e vice e versa. Isso é equivalente a dizer que o seu máximo divisor comum é 1.

Divisibilidade por 3: A soma dos algarismos preços ser múltiplo de 3

Divisibilidade de 5:O último número precisa ser ou 5 ou 0

Divisibilidade por 9: A soma dos algarismos precisa ser 9

Divisibilidade por 10: O último algarismos precisa ser 0

Para determinar a quantidade de divisores de um número usando a lei do expoente, devemos obedecer a esta sequência: 1º) Fatorar o número dado. 2º) Adicionar 1 a cada expoente dos fatores primos obtidos. 3º) Multiplicar os resultados.

Explicação

O círculo é uma figura plana delimitada por uma circunferência.

A circunferência é uma figura geométrica plana formada por pontos que estão a uma distância fixa de um ponto central, chamado de centro.

O centro e o raio da circunferência coincidem com o centro e o raio do círculo.

A circunferência é o contorno, a borda, o limite do círculo.

O círculo é formado por uma circunferência e pelos infinitos pontos que preenchem seu interior.

Exemplos

O aro de um anel, uma argola e a borracha da tampa de uma panela de pressão são exemplos de circunferência.

Uma pizza pode representar um círculo.

O estudo da circunferência também está presente na geometria analítica.

Ângulos Complementares:

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°.

Matematicamente, podemos expressar isso como: , onde e são as medidas dos ângulos complementares.

Exemplo: Um ângulo de 30° e outro de 60° são complementares, pois .

Ângulos Suplementares:

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°.

Matematicamente, podemos expressar isso como: , onde e são as medidas dos ângulos suplementares.

Exemplo: Um ângulo de 45° e outro de 135° são suplementares, pois .

Propriedades importantes:

Se dois ângulos são complementares, cada um deles é o complemento do outro.

Se dois ângulos são suplementares, cada um deles é o suplemento do outro.

Em um triângulo retângulo, os dois ângulos agudos são sempre complementares.

Os ângulos opostos pelo vértice são sempre suplementares.

Estas definições são fundamentais para resolver problemas envolvendo ângulos em geometria e trigonometria.

Ângulos adjacentes são dois ângulos que compartilham um vértice e um lado comum, mas não se sobrepõem. Eles têm as seguintes características:

1. Vértice comum: Os dois ângulos têm o mesmo ponto de origem.

2. Lado comum: Um dos lados de cada ângulo é compartilhado.

3. Não sobreposição: Os ângulos não se sobrepõem, ou seja, não ocupam o mesmo espaço.

Propriedades importantes dos ângulos adjacentes:

1. A soma dos ângulos adjacentes em uma linha reta é sempre 180°.

2. Se os ângulos adjacentes formam um ângulo reto, cada um mede 45°.

3. Ângulos adjacentes suplementares somam 180°.

Exemplo:

Considere dois ângulos adjacentes e , onde e .

Para encontrar o valor de :

Portanto, o ângulo mede 110°.

Os ângulos adjacentes são fundamentais em geometria e são frequentemente utilizados em problemas envolvendo figuras geométricas, como triângulos, quadriláteros e polígonos em geral.

Ângulos opostos pelo vértice são pares de ângulos formados quando duas retas se intersectam. Eles possuem as seguintes propriedades:

Compartilham o mesmo vértice (ponto de intersecção das retas)

Não possuem lados em comum

São sempre congruentes (iguais em medida)

Matematicamente, podemos expressar essa relação da seguinte forma:

Se e são ângulos opostos pelo vértice, então:

Prova:

Considere duas retas que se intersectam formando quatro ângulos: , , e .

Sabemos que a soma dos ângulos em torno de um ponto é 360°:

Também sabemos que ângulos adjacentes em uma reta são suplementares (somam 180°):

Subtraindo a segunda equação da primeira:

Cancelando e de ambos os lados:

Portanto, ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.

Esta propriedade é fundamental em geometria e é frequentemente utilizada em provas e construções geométricas mais complexas.

Ângulos consecutivos são ângulos que compartilham um lado comum em uma figura geométrica. Eles são adjacentes um ao outro e têm um vértice em comum. Vamos explorar algumas propriedades importantes dos ângulos consecutivos:

Soma dos ângulos:

Em um polígono, a soma dos ângulos consecutivos internos é sempre menor que 360°. Por exemplo, em um triângulo, a soma de dois ângulos consecutivos é sempre menor que 180°.

Ângulos consecutivos em um círculo:

Quando dois ângulos consecutivos são inscritos em um círculo e compartilham um lado que é um diâmetro do círculo, eles formam um ângulo reto (90°). Isso é conhecido como o teorema do ângulo inscrito em uma semicircunferência.

Ângulos consecutivos em um polígono regular:

Em um polígono regular com lados, a medida de cada ângulo interno é dada pela fórmula:

Os ângulos consecutivos em um polígono regular são congruentes (iguais).

Ângulos consecutivos suplementares:

Quando dois ângulos consecutivos são suplementares, sua soma é 180°. Isso ocorre, por exemplo, em lados opostos de uma linha reta.

Ângulos consecutivos em paralelas:

Quando uma linha transversal cruza duas retas paralelas, os ângulos consecutivos internos formados são suplementares (somam 180°).

Exemplo:

Considere um pentágono regular. Vamos calcular a medida de seus ângulos internos:

Portanto, cada ângulo interno de um pentágono regular mede 108°, e quaisquer dois ângulos consecutivos neste pentágono também medirão 108° cada.

Compreender as propriedades dos ângulos consecutivos é fundamental para resolver problemas em geometria e trigonometria, especialmente aqueles envolvendo polígonos e círculos.

Grau como unidade de medida

Em geometria, um grau é uma unidade de medida de ângulos planos, correspondente a 1/360 de uma circunferência.

O símbolo de grau é °.

Um grau pode ser dividido em minutos (′), que equivalem a 1/60 do grau, e segundos (′′), equivalente a 1/60 do minuto.

Grau como unidade de medida 

• Em geometria, um grau é uma unidade de medida de ângulos planos, correspondente a 1/360 de uma circunferência.

• O símbolo de grau é °.

• Um grau pode ser dividido em minutos (′), que equivalem a 1/60 do grau, e segundos (′′), equivalente a 1/60 do minuto.

O conjunto dos números inteiros ZZ é o conjunto dos números inteiros relativos, ou seja, ele inclui todos os números negativos, zero e positivos. Ele pode ser representado da seguinte forma:

Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,… }Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}

Agora, se você deseja representar subconjuntos desse conjunto, podemos escolher alguns subconjuntos específicos. Aqui estão alguns exemplos de subconjuntos de ZZ:

1. O conjunto dos números inteiros não negativos:

   A={0,1,2,3,… }A={0,1,2,3,…}

2. O conjunto dos números inteiros negativos:

   B={…,−3,−2,−1}B={…,−3,−2,−1}

3. O conjunto dos números inteiros menores que 5:

   C={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}C={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}

4. O conjunto dos números inteiros pares:

   D={…,−4,−2,0,2,4,… }D={…,−4,−2,0,2,4,…}

5. O conjunto dos números inteiros ímpares:

   E={…,−3,−1,1,3,5,… }E={…,−3,−1,1,3,5,…}

Esses são apenas exemplos de subconjuntos do conjunto ZZ. Se precisar de mais algum subconjunto específico ou outro tipo de representação

A notação para o valor absoluto de um número

𝑥

x é

∣

𝑥

∣

∣x∣.

Definição:

Se

𝑥

≥

0

x≥0, então

∣

𝑥

∣

=

𝑥

∣x∣=x.

Se

𝑥

<

0

x<0, então

∣

𝑥

∣

=

−

𝑥

∣x∣=−x (isto é, o oposto de

𝑥

x, para torná-lo positivo).

Exemplos:

Valor absoluto de um número positivo:

∣

5

∣

=

5

∣5∣=5

O número já é positivo, então o valor absoluto é ele mesmo.

Valor absoluto de zero:

∣

0

∣

=

0

∣0∣=0

O valor absoluto de zero é zero.

Valor absoluto de um número negativo:

∣

−

3

∣

=

3

∣−3∣=3

O valor absoluto de

−

3

−3 é

3

3, pois estamos interessados apenas na magnitude do número, sem considerar o sinal.

Resumo:

O valor absoluto de um número inteiro é simplesmente o número

A notação para o oposto de um número xxx é −x-x−x.

Definição:

• O oposto de um número positivo é o número negativo com o mesmo valor absoluto.

• O oposto de um número negativo é o número positivo com o mesmo valor absoluto.

• O oposto de zero é zero.

Exemplos:

1. O oposto de um número positivo:

   • O oposto de 555 é −5-5−5.

     Oposto de 5: −5\text{Oposto de } 5: \, -5Oposto de 5:−5

   • Isso ocorre porque 5+(−5)=05 + (-5) = 05+(−5)=0.

2. O oposto de um número negativo:

   • O oposto de −3-3−3 é 333.

     Oposto de −3: 3\text{Oposto de } -3: \, 3Oposto de −3:3

   • Isso ocorre porque −3+3=0-3 + 3 = 0−3+3=0.

3. O oposto de zero:

   • O oposto de 000 é 000 (o oposto de zero é sempre zero).

     Oposto de 0: 0\text{Oposto de } 0: \, 0Oposto de 0:0

   • Isso ocorre porque 0+0=00 + 0 = 00+0=0.

Resumo:

O oposto de um número é o número com o mesmo valor absoluto, mas com o sinal invertido. Se o número for positivo, o oposto é negativo, e se for negativo, o oposto é positivo. O oposto de zero é zero.

1. Escrever o número maior (minuendo) em cima e o número menor (subtraendo) embaixo 

2. Subtrair os algarismos das unidades, depois os das dezenas, e assim por diante 

3. Se a segunda parcela for negativa, escreva o oposto dela 

4. Organize os termos da subtração, da direita (coluna das unidades) para a esquerda 

5. Coloque um número sobre o outro, com os seus valores posicionais alinhados 

6. O resto fica abaixo do traço da conta 

A subtração entre dois números inteiros é realizada de forma semelhante à adição. 

Exemplo

Para calcular 95 – 12, você: 

1. Monta o algoritmo escrevendo o número de maior valor (minuendo) em cima, e o de menor valor (subtraendo), embaixo

2. Subtrai unidade com unidade, dezena com dezena, centena com centena, e assim sucessivamente

Eventos equiprováveis são eventos que têm a mesma chance de acontecer. Por exemplo, ao lançar um dado comum, a chance de obter o número 1 é a mesma de obter o número 2, 3, 4, 5 ou 6.

O exemplo dos ângulos alternos internos está errado.

Faltou subtração de números inteiros relativos.

Nota 9

a. População e amostra:

• População: é o grupo completo que queremos estudar.

• Amostra: é uma parte da população, usada quando não dá para pesquisar todos.

b. Pesquisa censitária e pesquisa por amostra:

• Pesquisa censitária: coleta dados de toda a população.

• Pesquisa por amostra: coleta dados apenas de uma parte da população.

• 
  

Adição e Subtração:

• Sinais Iguais: Soma os valores e mantém o sinal. Ex: 5 + 3 = 8; -5 - 3 = -8.

• Sinais Diferentes: Subtrai os valores e mantém o sinal do número de maior módulo (valor absoluto). Ex: 5 - 3 = 2; -5 + 3 = -2. 

Multiplicação e Divisão:

• Sinais Iguais:

  O resultado é positivo. Ex: 5 x 3 = 15; -5 x -3 = 15; 5 / 3 = 1.66...; -5 / -3 = 1.66...

• Sinais Diferentes:

  O resultado é negativo. Ex: 5 x -3 = -15; -5 x 3 = -15; 5 / -3 = -1.66...; -5 / 3 = -1.66... 

Números Inteiros:

• Os números inteiros são os números naturais (0, 1, 2, 3...) e seus opostos negativos (-1, -2, -3...).

• É importante lembrar que os números inteiros não incluem frações ou decimais. 

Para calcular um triângulo, você pode somar os três lados para encontrar o perímetro ou multiplicar a base pela altura e dividir por dois para encontrar a área. Para situações específicas, como um triângulo equilátero, existem fórmulas mais diretas, como a área ser calculada com

A=(3*L)/4cap A equals open paren the square root of 3 end-root * cap L close paren / 4

𝐴=(3√*𝐿)/4

. 

Calcular o perímetro 

• Como fazer: Some o comprimento de todos os três lados do triângulo.

• Exemplo: Um triângulo com lados de 5 cm, 7 cm e 8 cm tem um perímetro de

  5+7+8=205 plus 7 plus 8 equals 20

  5+7+8=20

  cm. 

Exemplo:

Vamos dividir a fração 2/3 pela fração 5/6: 

1. Mantenha a primeira fração: 2/3

2. Inverta a segunda fração: 5/6 se torna 6/5

3. Multiplique: (2/3) * (6/5)

4. Multiplique os numeradores: 2 * 6 = 12

5. Multiplique os denominadores: 3 * 5 = 15

6. Resultado: 12/15

7. Simplifique (se possível): 12/15 pode ser simplificado dividindo ambos os números por 3: (12/3) / (15/3) = 4/5

8. Resposta final: 2/3 dividido por 5/6 é igual a 4/5. 

Passo a passo:

1. Identifique a fração que será dividida (dividendo) e a fração pelo qual será dividida (divisor).

2. Mantenha a fração dividida (dividendo).

3. Inverta a fração divisor (inverso multiplicativo).

4. Multiplique a fração dividendo pelo inverso da fração divisor.

5. Simplifique a fração resultante, se possível. 

Observações:

• A divisão por zero é indefinida, portanto, o denominador de uma fração não pode ser zero. 

• A regra da divisão de frações também se aplica à divisão de números decimais, que podem ser facilmente convertidos em frações. 

Números racionais são aqueles que podem ser representados como uma fração de dois números inteiros, onde o denominador (o número de baixo) é diferente de zero. Isso inclui todos os números inteiros, frações e decimais que podem ser expressos como uma fração.

Em detalhes:

Forma Fracionária:

A definição fundamental de um número racional é que ele pode ser escrito como uma fração, ou seja, na forma a/b, onde 'a' é o numerador (o número de cima) e 'b' é o denominador (o número de baixo), e ambos são números inteiros, com b ≠ 0.

Exemplos:

Números inteiros: 7, -3, 0 são todos racionais, pois podem ser escritos como frações (7/1, -3/1, 0/1).

Frações: 1/2, 3/4, -2/5 são exemplos óbvios de números racionais.

Decimais finitos: 0.25, -1.5, 3.14 são racionais, pois podem ser transformados em frações (25/100, -15/10, 314/100).

Decimais infinitos periódicos: 0.3333..., 1.272727... também são racionais, pois podem ser representados como frações.

Não são racionais:

Números irracionais, como √2, π, não podem ser expressos como uma fração de dois inteiros e, portanto, não são racionais.

Conjunto Q:

O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q.

ax+b=0a x mais b é igual a 0

𝑎𝑥+𝑏=0

, onde '

xx

𝑥

' é a incógnita e '

aa

𝑎

' e '

bb

𝑏

' são números reais, com '

aa

𝑎

' diferente de zero. Para resolvê-la, o objetivo é isolar a incógnita '

xx

𝑥

' através da aplicação de operações inversas, mantendo a igualdade verdadeira.
 

Como resolver uma equação do 1º grau

1. Separe os termos:

   Coloque os termos com a incógnita (letras) em um lado da igualdade e os termos constantes (números) no outro. 

2. Inverta as operações:

   Ao mudar um termo de lado do sinal de igualdade, inverta a operação: a soma vira subtração, a subtração vira soma, a multiplicação vira divisão e a divisão vira multiplicação. 

3. Isole a incógnita:

   Finalize a resolução dividindo ambos os lados pelo coeficiente que acompanha a incógnita, se necessário. 

Exemplo prático

Vamos resolver a equação

2x+5=112 x mais 5 é igual a 11

2𝑥+5=11

: 

• Passo 1: Mova o "

  +5positivo 5

  +5

  " para o outro lado. Ele se torna "

  -5negativo 5

  −5

  ".

2x=11−52 x é igual a 11 menos 5

2𝑥=11−5

• Passo 2: Calcule a subtração.

2x=62 x é igual a 6

2𝑥=6

• Passo 3: Como o "

  22

  2

  " está multiplicando o "

  xx

  𝑥

  ", divida ambos os lados por "

  22

  2

  ".

x=62x é igual a 6 over 2 end-fraction

𝑥=62

Resultado.

πpi

𝜋

), divida o comprimento da circunferência pelo seu diâmetro. Uma forma prática é medir o comprimento de um círculo (sua borda) e o diâmetro (a distância de uma ponta à outra passando pelo centro) e, em seguida, dividir esses dois valores. 

Método prático: Medição

1. Escolha um objeto circular:

   Pode ser um prato, uma lata ou uma roda. 

2. Meça o diâmetro:

   Use uma régua ou fita métrica para medir a distância através do centro do círculo, de uma borda à outra. 

3. Meça o comprimento da circunferência:

   Meça o comprimento da borda do círculo. Se usar uma fita métrica, enrole-a ao redor do objeto. Se o objeto for pequeno, você pode usar um barbante, marcá-lo e depois medir o comprimento do barbante com uma régua. 

4. Divida o comprimento pelo diâmetro:

   Divida o valor da circunferência pelo valor do diâmetro. O resultado será uma aproximação de

   πpi

   𝜋

   (aproximadamente 3,14). 

Método matemático: Séries infinitas

• Para cálculos mais precisos, matemáticos usam fórmulas chamadas séries infinitas que convergem para o valor de

  πpi

  𝜋

  . Uma delas é a série de Gregory-Leibniz, que alterna a adição e subtração de frações: 

π=4/1−4/3+4/5−4/7+4/9−...pi é igual a 4 / 1 menos 4 / 3 mais 4 / 5 menos 4 / 7 mais 4 / 9 menos ponto ponto ponto

𝜋=4/1−4/3+4/5−4/7+4/9−...

• Outra série é a de Nilakantha, que começa com 3 e adiciona e subtrai frações de forma alternada:

π=3+4/(2*3*4)−4/(4*5*6)+4/(6*7*8)−...pi é igual a 3 mais 4 / parêntese de abertura 2 3 4 parêntese de fechamento menos 4 / parêntese de abertura 4 5 6 parêntese de fechamento mais 4 / parêntese de abertura 6 7 8 parêntese de fechamento menos ponto ponto ponto

𝜋=3+4/(2*3*4)−4/(4*5*6)+4/(6*7*8)−...

• Média: É a soma de todos os valores dividida pelo número total de valores. É a medida mais comum e é usada para entender o "valor típico".

• Mediana: É o valor do meio de um conjunto de dados quando os números estão organizados em ordem crescente. Se houver um número par de dados, a mediana é a média dos dois valores centrais.

• Moda: É o valor que aparece com mais frequência em um conjunto de dados. Um conjunto pode ter uma moda, várias modas ou nenhuma moda. 

Amplitude

• Amplitude: É a diferença entre o maior e o menor valor em um conjunto de dados. É uma medida simples de dispersão que mostra quão espalhados os dados estão.

• Cálculo: Amplitude = Maior Valor - Menor Valor. 

• 
  

a3a cubed

𝑎3

), enquanto o volume de um paralelepípedo é o produto de sua largura, comprimento e altura (

V=l×c×acap V equals l cross c cross a

𝑉=𝑙×𝑐×𝑎

). A principal diferença é que no cubo, todas as arestas são iguais, simplificando o cálculo para

a3a cubed

𝑎3

, e no paralelepípedo, as dimensões podem ser diferentes. 

m3m ao cubo

𝑚3

). Outras unidades comuns incluem o litro (

Lcap L

𝐿

), o decímetro cúbico (

dm3d m ao cubo

𝑑𝑚3

) e o centímetro cúbico (

cm3c m ao cubo

𝑐𝑚3

).
 

Unidades principais

• Metro cúbico (

  m3m ao cubo

  𝑚3

  ):

  A unidade padrão do SI. Um cubo com 1 metro de lado tem um volume de

  1m31 m ao cubo

  1𝑚3

  . 

• Litro (

  Lcap L

  𝐿

  ):

  Usado principalmente para medir a capacidade de líquidos. É equivalente a um decímetro cúbico (

  1L=1dm31 cap L é igual a 1 d m ao cubo

  1𝐿=1𝑑𝑚3

  ). 

• Decímetro cúbico (

  dm3d m ao cubo

  𝑑𝑚3

  ):

  Uma unidade derivada do metro cúbico, igual a 1 litro. 

• Centímetro cúbico (

  cm3c m ao cubo

  𝑐𝑚3

  ):

  Uma unidade menor, frequentemente usada para líquidos menores ou objetos pequenos. É equivalente a 1 mililitro (

  1cm3=1mL1 c m ao cubo é igual a 1 m cap L

  1𝑐𝑚3=1𝑚𝐿

  ). 

Relações importantes

1 m^3 = 1000 L, 1 L = 1 dm^3, 1 mL = 1 cm^3

Características

• Variação conjunta:

  Quando uma grandeza dobra, a outra também dobra; se uma é dividida pela metade, a outra também é. 

• Razão constante:

  A divisão de um valor da primeira grandeza pelo valor correspondente da segunda grandeza é sempre o mesmo número (a constante de proporcionalidade). 

• Gráfico:

  A representação gráfica dessas grandezas é uma reta que passa pela origem (0,0). 

Exemplos no cotidiano

• Preço e quantidade: Quanto mais produtos você compra, maior o preço que você paga. 

• Quantidade de tinta e área a ser pintada: Quanto maior a área, mais tinta será necessária. 

• Velocidade e distância (com tempo constante): Se você dirige mais rápido em um determinado tempo, percorre uma distância maior. 

Como calcular

Para resolver problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais, é comum usar a Regra de Três. 

1. Monte a proporção: Escreva os valores conhecidos e o valor desconhecido (geralmente representado por "x"). 

2. Multiplique cruzado: Multiplique os números na diagonal e iguale os produtos. 

3. Encontre o valor desconhecido: Isole o "x" para encontrar a resposta. 

x⋅y=kx ponto centralizado y é igual a k

𝑥⋅𝑦=𝑘

). Exemplos comuns incluem velocidade e tempo, ou a capacidade de garrafas e o número delas para armazenar um volume fixo de líquido. 

Características

• Variação oposta:

  Quando uma grandeza é multiplicada por um fator, a outra é dividida pelo mesmo fator. 

• Relação constante:

  O produto entre os valores correspondentes das duas grandezas é sempre o mesmo, chamado de constante de proporcionalidade (

  kk

  𝑘

  ). 

• Exemplo prático:

  Se um carro viaja a 40 km/h e leva 5 horas para chegar ao destino, ao dobrar a velocidade para 80 km/h, o tempo necessário é reduzido pela metade, para 2,5 horas. A velocidade dobrou e o tempo dividiu pela metade. 

Como identificar e calcular

• Análise:

  Se você aumentar uma medida e a outra diminuir na mesma proporção (ou vice-versa), as grandezas são inversamente proporcionais. 

• Regra de três:

  Para resolver problemas com grandezas inversamente proporcionais, inverte-se uma das razões antes de multiplicar cruzado. Por exemplo, para resolver o problema de João, que demora 2 minutos a 30 m/s e queremos saber quanto tempo levará a 12 m/s, a relação seria:

  2x=12302 over x end-fraction é igual a 12 over 30 end-fraction

  2𝑥=1230

  . Invertendo-se a segunda fração para

  301230 over 12 end-fraction

  3012

  , a equação se torna:

  2x=30122 over x end-fraction é igual a 30 over 12 end-fraction

  2𝑥=3012

  . 

é um polígono de quatro lados (quadrilátero) cujos lados opostos são paralelos e congruentes (têm o mesmo comprimento). Suas principais propriedades incluem ângulos opostos que também são congruentes, suas diagonais se cruzam no ponto médio e a soma de seus ângulos internos é sempre

360∘360 raised to the composed with power

360∘

. Casos especiais de paralelogramos são o retângulo, o losango e o quadrado. 

Propriedades do paralelogramo 

• Lados opostos paralelos: Esta é a definição fundamental.

• Lados opostos congruentes: Por consequência dos lados opostos serem paralelos, eles também têm a mesma medida.

• Ângulos opostos congruentes: Os ângulos em vértices opostos têm a mesma medida.

• Soma dos ângulos internos: A soma de todos os quatro ângulos internos é sempre

  360∘360 raised to the composed with power

  360∘

  .

• Diagonais: As diagonais se interceptam em seus pontos médios. 

Casos especiais 

• Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos.

• Losango: É um paralelogramo com todos os quatro lados de igual comprimento.

• Quadrado: É um paralelogramo que é simultaneamente um retângulo e um losango (todos os lados iguais e quatro ângulos retos). 

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Como encontrar o ponto simétrico

1. Desenhe a perpendicular: Traçe uma reta perpendicular à reta original que passe pelo ponto P que você quer refletir.

2. Encontre a interseção: Localize o ponto onde essa nova reta perpendicular cruza a reta original. Este é o ponto médio do segmento entre P e sua imagem.

3. Determine o ponto simétrico: A imagem do ponto P (P') estará sobre essa reta perpendicular, na mesma distância da reta original, mas do lado oposto. 

180∘180 raised to the exponent composto com end-exponent

180∘

em torno de um ponto central. Isso significa que para cada ponto da figura original, seu ponto simétrico estará do outro lado do ponto central, à mesma distância e na mesma direção. Para calcular o simétrico de um ponto

(x,y)parêntese de abertura x vírgula y parêntese de fechamento

(𝑥,𝑦)

em relação à origem

(0,0)parêntese de abertura 0 vírgula 0 parêntese de fechamento

(0,0)

, inverte-se os sinais de ambas as coordenadas, resultando em

(−x,−y)parêntese de abertura negativo x vírgula negativo y parêntese de fechamento

(−𝑥,−𝑦)

.
 

Como calcular o ponto simétrico

• Em relação à origem (0,0):

  Para encontrar o ponto simétrico de

  (x,y)parêntese de abertura x vírgula y parêntese de fechamento

  (𝑥,𝑦)

  , basta trocar o sinal de ambas as coordenadas para obter

  (−x,−y)parêntese de abertura negativo x vírgula negativo y parêntese de fechamento

  (−𝑥,−𝑦)

  . 

  • Exemplo: O simétrico de

    (1,-3)parêntese de abertura 1 vírgula negativo 3 parêntese de fechamento

    (1,−3)

    em relação à origem é

    (-1,3)parêntese de abertura negativo 1 vírgula 3 parêntese de fechamento

    (−1,3)

    . 

• Em relação a outro ponto (P):

  Se o ponto de simetria for

  P(a,b)cap P parêntese de abertura a vírgula b parêntese de fechamento

  𝑃(𝑎,𝑏)

  e o ponto original for

  P(x,y)cap P parêntese de abertura x vírgula y parêntese de fechamento

  𝑃(𝑥,𝑦)

  , então o ponto simétrico

  P′(x′,y′)cap P plica parêntese de abertura x plica vírgula y plica parêntese de fechamento

  𝑃′(𝑥′,𝑦′)

  é tal que

  Pcap P

  𝑃

  é o ponto médio entre

  Pcap P

  𝑃

  e

  P′cap P plica

  𝑃′

  . 

  • A fórmula para achar o ponto simétrico é:

    x′=2a−xx plica é igual a 2 a menos x

    𝑥′=2𝑎−𝑥

    e

    y′=2b−yy plica é igual a 2 b menos y

    𝑦′=2𝑏−𝑦

    . 

  • Exemplo: Para encontrar o simétrico do ponto

    (3,1)parêntese de abertura 3 vírgula 1 parêntese de fechamento

    (3,1)

    em relação ao ponto

    (1,2)parêntese de abertura 1 vírgula 2 parêntese de fechamento

    (1,2)

    , usa-se a fórmula:

    • x′=2(1)−3=2−3=-1x plica é igual a 2 parêntese de abertura 1 parêntese de fechamento menos 3 é igual a 2 menos 3 é igual a negativo 1

      𝑥′=2(1)−3=2−3=−1

    • y′=2(2)−1=4−1=3y plica é igual a 2 parêntese de abertura 2 parêntese de fechamento menos 1 é igual a 4 menos 1 é igual a 3

      𝑦′=2(2)−1=4−1=3

    • Portanto, o ponto simétrico é

      (-1,3)parêntese de abertura negativo 1 vírgula 3 parêntese de fechamento

      (−1,3)

      . 

Principais características

• O ponto central de simetria é o ponto médio entre um ponto e seu simétrico. 

• Uma figura inteira é simétrica em relação a um ponto se cada ponto da figura tem seu simétrico também pertencente à figura. 

• Essa simetria é uma transformação geométrica que não altera a forma ou o tamanho da figura, apenas sua posição e orientação

Um triângulo isósceles possui dois lados com medidas iguais, dois ângulos da base congruentes (iguais) e um ângulo no vértice. O segmento da altura relativa à base é também a mediana e a bissetriz do ângulo do vértice. Ângulos internos somam \(180^{\circ }\) e externos \(360^{\circ }\). [1, 2, 3]

𝑥

=−𝑏±Δ√2𝑎

), Teorema de Pitágoras (

𝑎2

=𝑏2

+𝑐2

), áreas de figuras planas (ex:

𝐴círculo

=𝜋𝑟2

) e juros compostos (

𝑀

=𝐶

(

1

+𝑖

)𝑡

)

A amplitude de classe (ou comprimento de classe) é a diferença entre o limite superior (\(L_{s}\)) e o limite inferior (\(l_{i}\)) de um intervalo em uma distribuição de frequência. Ela define a largura de cada categoria, indicando o tamanho do intervalo de dados agrupados. É calculada como \(\text{Amplitude de Classe} = \text{Limite Superior} - \text{Limite Inferior}\).

A soma dos ângulos internos (\(S_{i}\)) de um polígono convexo com \(n\) lados é calculada pela fórmula:
\(\boxed{S_{i}=(n-2)\times 180^{\circ }}\)Onde \(n\) é o número de lados (ou ângulos) do polígono, sendo \(n \geq 3\)

A fórmula para calcular a medida de cada ângulo interno (\(a_{i}\)) de um polígono regular é:
\(a_{i}=\frac{180^{\circ }\times (n-2)}{n}\)onde \(n\) é o número de lados do polígono. Essa fórmula divide a soma total dos ângulos internos, \(S = 180^\circ(n-2)\), pelo número de lados (\(n\)), já que todos os ângulos são iguais

é igual a 360°