Método de solución:

En algunas ocasiones el empleo de la palabra "de qué" es correcto y otras, solamente "qué". 

Una forma correcta de saber cuando usar cada una de estas palabras es a través de un método sencillo, el cual  consiste en sustituir con la palabra "eso", la parte de la oración que presenta el problema.

-Piensa de que no la descubrimos.

Sustitución: Piensa de eso. (Manera incorrecta).
-Piensa que no la descubrimos. Sustitución: Piensa eso. (Manera correcta)

a) Para relacionar dos nombres, el segundo de los cuales es poseído por el primero.
Ejemplo:

-El alumno cuyo carro es un modelo deportivo, participara en la competencia.

*Puede utilizarse cuyo porque relaciona dos nombres alumno y carro.
*Pudo utilizarse cuyo porque el carro(nombre)es propiedad del alumno *Sino se cumplen ambos requisitos no puede utilizarse este verbo.

b) Puede utilizarse para expresar causa, motivo, razones y otros semejantes. Ejemplo:
*Los alumnos viajaran durante la madrugada , en cuyo caso deberán de desayunar en el avión.

Ejemplo:
-Intentaba convencer al jurado mostrando una fotografía. (acción simultanea)
-Golpeando con todas sus fuerzas quebró la madera. (acción de anterioridad)

Para establecer esto se utiliza la pregunta cómo. La respuesta la dará la oración del gerundio.
Ejemplo: Quebró la madera ¿Cómo? Golpeando con todas sus fuerzas.

Presente Histórico: Se usa al pie de fotografías.
Ejemplo: Los empleados protestando en el centro.
Se denomina así porque la fotografía siempre da la impresión de acción presente, y por ellos, es correcto el uso del gerundio en este caso.

El verbo hervir: Cuando adopta simultáneamente la forma de verbo y de adjetivo.
Ejemplo: Le cayó miel hirviendo.