Els Vectors by Fran Mora Melendez

Vectors

franmoramelendez — 2025-05-27 09:57:53 UTC

Una magnitud escalar és aquella la mesura de la qual s’expressa per mitjà d’un nombre i una unitat.

Tindrem una magnitud vectorial si, a més a més del nombre i la unitat, s’ha d’indicar una direcció i un sentit.

Un vector és un segment orientat.

Característiques dels vectors

franmoramelendez — 2025-05-27 10:04:39 UTC

Mòdul. És la longitud entre l’origen i l’extrem. Es representa per |u->| i es calcula segons el teorema de Pitàgores en el triangle format pels eixos:

|u->|=√u₁²+u₂²,

Direcció. És la recta que passa per l’origen i l’extrem del vector o qualsevol que hi sigui paral·lela.

Sentit. És el recorregut de la recta en anar de l’origen a l’extrem.

Angle de vectors

franmoramelendez — 2025-05-27 10:10:25 UTC

Fórmula del cosinus:
cos(α) = (u · v) / (|u| · |v|)

Exemple:

Donats els vectors:
u = (12, -5)
v = (3, 4)

|u| = √(12² + (-5)²) = √(144 + 25) = √169 = 13
|v| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
u + v = (12 + 3, -5 + 4) = (15, -1)
u · v = (12 · 3) + (-5 · 4) = 36 - 20 = 16
cos(α) = 16 / (13 · 5) = 16 / 65 ≈ 0,2462
α ≈ 75,75º

Equacions d'una recta

franmoramelendez — 2025-05-28 13:29:10 UTC

1. Equació paramètrica:

Donat P(x₀, y₀) i vector director v = (a, b):

x = x₀ + a·t
y = y₀ + b·t
(t ∈ ℝ)

2. Equació contínua:

(x - x₀)/a = (y - y₀)/b

3. Equació general:

Ax + By + C = 0

Exemple:

P(1, 5) i vector director v = (2, -10)
x = 1 + 2t
y = 5 - 10t

→ (x - 1)/2 = (5 - y)/10
→ 10(x - 1) = 2(5 - y)
→ 10x - 10 = 10 - 2y
→ 10x + 2y = 20

Posició relativa de dues rectes

franmoramelendez — 2025-05-28 13:33:47 UTC

Les posicions relatives de dues rectes en el pla són les següents:

Secants. Es tallen en un punt.
Paral·leles. Tenen la mateixa direcció i no tenen cap punt en comú (apart UR).
Coincidents. Tenen tots els punts comuns.

Donades dues rectes:
r: Ax + By + C = 0
s: A'x + B'y + C' = 0

1. Secants:

A/A' ≠ B/B'

2. Paral·leles:

A/A' = B/B' ≠ C/C'

3. Coincidents:

A/A' = B/B' = C/C'