Generarea şirurilor recurente. Șirul lui Fibonacci by Diana-Cristiana Ojoc

ojocdiana — 2023-10-31 14:42:37 UTC

Leonardo Pisano Bogollo a fost un matematician italian considerat de unii drept “cel mai talentat matematician din Occidentul Evului Mediu”. El este remarcat în lumea modernă prin răspândirea sistemului de numărare hindu-arab în Europa, dar și prin intermediul unui șir de numere, care i-a purtat ulterior numele, și anume șirul lui Fibonacci, pe care el nu l-a descoperit, dar pe care l-a folosit ca un exemplu în cartea sa, Liber Abaci.

ojocdiana — 2023-10-31 14:57:53 UTC

Șirul Fibonacci este un șir de numere, unde fiecare element se generează pe baza ultimelor două numere, astfel:

->primele două numere ale șirului sunt egale cu 1: f1 = 1, f2 = 1

->pentru celelalte numere: fn = fn-1 + fn-2 (n ≥ 3)

Unele persoane consideră și elementul 0 ca fiind elementul f0 al șirului.

ojocdiana — 2023-10-31 15:04:37 UTC

Primele 20 de numere ale șirului sunt 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, …, care verifică condiția fn = fn-1 + fn-2

Mod de gândire

ojocdiana — 2023-10-31 15:17:13 UTC

Pentru a implementa șirul Fibonacci, ne vom folosi de trei variabile a, b și c, cu următorul algoritm:

-> La început, a și b sunt egale cu 1 (primele două elemente Fibonacci)

->La fiecare pas, c primește a + b (devenind astfel noul termen Fibonacci generat), iar a devine b și b devine c (ca să generăm următorul element, care ar fi fost egal cu b + c)

Implementarea în limbajul Pascal

ojocdiana — 2023-10-31 15:23:54 UTC

a ← 1

b ← 1

scrie a, b

pentru i ← 3,n execută

c ← a + b

scrie c

a ← b

b ← c

sfarsit_pentru

Implementarea în limbajul C++

ojocdiana — 2023-10-31 15:29:12 UTC

#include

using namespace std;

int main() {

int n;

cin >> n; //Numărul de elemente de afișat

int a = 1, b = 1, c;

cout << a << " " << b << " "; //Afișăm primii 2 termeni

for(int i = 3; i <= n; i++) {

//Afișăm restul de termeni, de la 3 la n

c = a + b; //Conform algoritmului descris anterior

a = b;

b = c;

cout << c << " "; //Afișăm noul element generat

}

return 0;

}

Șiruri recurente

ojocdiana — 2023-10-31 15:35:52 UTC

Un șir recurent este acel șir în care un anumit termen se obține utilizând valorile termenilor anteriori și este definit de o relație de forma 𝑥𝑛 = 𝑓(𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , … , 𝑥𝑛−𝑘 ), 𝑛 > 𝑘 cu 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 termeni cunoscuti. În acest caz k𝜀 ℕ se numește ordinul relației de recurență.

Un exemplu clasic fiind șirul lui Fibonacci.

Petalele de flori

ojocdiana — 2023-10-31 15:48:03 UTC

Numărul petalelor la o floare urmează consistent șirul lui Fibonacci. Exemple faimoase includ crinul, care are trei petale, piciorul-cocoșului, care are cinci, cicoarea cu 21, margareta cu 34, și așa mai departe.

Apare în petale datorită aranjamentului ideal de împachetare, așa cum este selectat de procesele darwiniene

Conurile de pin/brad

ojocdiana — 2023-10-31 15:50:19 UTC

În mod similar, semințele de pe un con sunt aranjate într-un tipar în spirală. Fiecare con constă într-o pereche de spirale, fiecare răsucindu-se spre în sus și în direcții opuse. Numărul de pași se va potrivi aproape întotdeauna unei perechi de numere Fibonacci consecutive. De exemplu, un con 3-5 este unul pe care spiralele se vor reîntâlni în spate după trei pași pe spirală stânga și 5 pași pe cea dreapta.

Cochilie

ojocdiana — 2023-10-31 16:10:54 UTC

Proprietățile unice ale dreptunghiului de aur oferă mai multe exemple. Această formă, un dreptunghi în care raportul laturilor A/B este egal cu proporția de aur, poate avea ca rezultat un proces de cuibarire care poate fi repetat la infinit – și care ia formă unei spirale. Este numită spirală logaritmică și abundă în natură.

Cochiliile melcilor urmează spirală logaritmică, cum face și labirintului urechii interne. Mai poate fi văzută și la coarnele anumitor specii de capra și la formă unor pânze de păianjen.

ojocdiana — 2023-10-31 16:16:54 UTC

Pentru a înțelege mai în profunzime șirul lui Fibonacci puteți viziona videoclipul de mai sus.