La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (ver t35), dado que:

log_a x = b Û a^b = x.

Podemos mirar la gráfica de la función logarítmica “estándar”
f(x)=\log(x)f(x)=log(x):
Vemos que la gráfica de la función
f(x)=\log(x)f(x)=log(x) tiene un punto clave en (1, 0). Desde este punto, la gráfica tiene una asíntota en la izquierda que se acerca a
x=0x=0. Además, desde el punto (1, 0), la gráfica asciende gradualmente hacia la derecha con ningún límite superior.

Visualizando a la gráfica, fácilmente podemos determinar el dominio y el rango. Recordemos que el dominio es el conjunto de todos los valores que la variable independiente puede tomar.

Entonces, el dominio de la función logarítmica “estándar” es todos los números mayores que 0 hasta infinito positivo:

El dominio es
0<x<+\infty0<x<+∞

Recordemos que el rango es el conjunto de todos los valores que la variable dependiente puede tomar. En la gráfica, vemos que en la parte izquierda la función se va hacia infinito negativo.

En la parte derecha, vemos que la función asciende gradualmente y se va hacia infinito positivo. Entonces, el rango es igual a todos los números reales desde infinito negativo hasta infinito positivo:

El rango es
-\infty<y<+\infty−∞<y<+∞

Ahora, podemos determinar el rango y el dominio de otras funciones logarítmicas al considerar la manera en la que la función y la gráfica cambian a medida que introducimos varias constantes. Podemos usar las siguientes constantes:

y=a~\log(x-h)+ky=a log(x−h)+k

Usando estas constantes, el punto (1, 0) cambia a
(h, k)(h,k). La h representa a la traslación horizontal y la k representa a la traslación vertical. Lo importante aquí es que la asíntota cambia con el valor de h y esto cambia al dominio.

Sin embargo, el rango no es afectado y sigue siendo todos los números reales.

También, recordemos que el rango es el conjunto de todos los valores de salida para la variable dependiente.

Para cualquier función exponencial con la forma general
f(x)=a{{b}^x}f(x)=ab
x, el dominio es el conjunto de todos los números reales. Es decir, tenemos:

-\infty <x<\infty−∞<x<∞

Para cualquier función exponencial con la forma general
f(x)=a{{b}^x}f(x)=ab
x, el rango es el conjunto de todos los números reales encima o debajo de la asíntota horizontal,
y=dy=d. El rango no incluye al valor de la asíntota, d. Es decir, tenemos:

Si es que
a>0a>0,
f(x)>df(x)>d

Si es que
a<0a<0,
f(x)<df(x)<d