La meva manera d'estudiar és estar el màxim que hi pugi atenta a classe perquè el més important és entendre les coses i a part d'això repassar fer apunts/exercicis per l'examen.

2- Divisió de polinomis aplicants ruffini.

3- Factorització i arrels de polinomis.

4- Teorema residu.

5- Identitas notables.

6- K? m? Paràmetre.

7- Simplificar fraccions algebraiques.

8- Apunts.

9- Equacions polinòmiques

10- Equacions biquadrades.

11- Equacions racionals

12- Equacions irracionals

13- Experiència personal 3r trimestre.

14- Nivell d'esforç dedicat i aspectes a millorar.

P(x) - Q(x) = P(x) + (-Q(x))

De este modo, llamamos exacta a la división cuando R(x) es igual a 0. Para realizar la división debemos actuar del mismo modo que la división entera de números naturales.

2.Col·loquem els coeficients del dividend en una línia.

3.A baix a l'esquerra col·loquem l'oposat del terme independent del divisor: .

4.Trasem una ratlla i baixem el primer coeficient.

5.Multipliquem aquest coeficient pel divisor i el col·loquem sota el terme següent.

6.Sumem els dos coeficients.

7.Repetim el procés anterior. Tornem a repetir el procés tantes vegades com calgui.

8.L'últim número obtingut, , és la resta.

9.El quocient és un polinomi de grau inferior en una unitat al dividend i els coeficients dels quals hem obtingut.

2) Sent 𝑎𝑖 les 𝑖 arrels d'un polinomi, podem expressar aquest polinomi com a producte i de polinomis de la forma 𝑥−𝑎𝑖.

3) Un polinomi es diu irreductible o primer si no té cap nombre racional que sigui arrel.

Hi ha diferents tècniques per trobar les arrels d'un polinomi. A continuació explicarem les més destacades:

1- Ús d'identitats notables

2- Ús de les fórmules per solucionar equacions quadràtiques

3- Ús de les fórmules per solucionar equacions biquadràtiques

4- Ús del teorema del factor

El valor numèric d'un polinomi P(x) quan x=a és el valor que s'obté en substituir la x pel valor a i fer-ne les operacions que queden indicades. Aquest valor numèric l'indicarem per P(a).

Exemples:

P(x)=x⁴ - 3x³ - 2x + 1

El valor numèric de P(x) per x=1 es calcula:

P(1)=1⁴ -3·1³ - 2·1 + 1= 1-3-2+1=2-5= -3

El valor numèric de P(x) per x= - 1 es calcula:

P(-1)=(-1)⁴ -3·(-1)³ - 2·(-1 )+ 1= 1-3·(-1)+2+1=1+3+2+1= 7

P(a)= Residu de dividir P(x) per (x-a)

Justificació: En dividir P(x) entre x-a el residu serà un nombre (recordem que el grau del residu sempre és menor que el del divisor)

Si li diem Q(x) i R al quocient i residu d'efectuar la divisió, tenim la següent igualtat

P(x)= (x-a)·Q(x)+R Si ara substituïm la x per calcular el valor numèric tenim: P(a)=(a-a)·Q(a)+R= 0·Q(a) + R= R

Aquest teorema per tant ens proporciona una nova manera de calcular el valor numèric d'un polinomi, és a dir o bé substituïm la x pel valor que ens indiquin i operem o bé efectuem la divisió i ens quedem amb el residu, les dues coses coincidiran.

El residu el podem calcular fent la divisió clàssica o pel mètode de Ruffini.

·Per demostrar que això es compleix, només cal multiplicar:

(a − b) 2 = (a − b) · (a − b) = a2 − ab − ba + b2 = a2 − 2ab + b2 , ja que ab = ba.

Això es llegeix com “el quadrat d'una diferència és igual que el quadrat del primer sumand, menys el doble del primer pel segon, més el quadrat del segon”.

2 = a2 + 2ab + b2

. Per demostrar que això es compleix, només cal multiplicar:

(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab +b2, ja que ab = ba.

Això es llegeix com “el quadrat d'una suma és igual al quadrat del primer sumand, més el doble del primer pel segon, més el quadrat del segon”.

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

·Per demostrar que això es compleix, només cal multiplicar:

(a + b) · (a − b) = a2 − ab + ba − b2 = a2 − b2 , ja que

ab = ba.

Això es llegeix com “la suma de dos monomis per la diferència és igual a la diferència dels quadrats”.

També podem saber si dues fraccions algebraiques són equivalents si a partir d’una de les dues s’obté l’altra per simplificació, o bé si en simplificar-les ambdues donen la mateixa fracció.

Les operacions bàsiques amb les fraccions algebraiques (la suma, la resta, la multiplicació i la divisió) segueixen les mateixes normes que les operacions amb fraccions numèriques (si bé cal tenir en compte que numerador i denominador no són nombres enters, sinó polinomis).

La jerarquia d’operacions també continua essent la mateixa:

1) Si hi ha parèntesis, cal resoldre’ls primerament.

2) Potències i arrels.

3) Multiplicacions i divisions.

4) Sumes i restes.

Pel que fa a la suma i a la resta, cal recordar que s’haurà de reduir les fraccions que es volen sumar i/o restar a comú denominador, i per tant caldrà calcular prèviament el MCM dels denominadors.

Moltes vegades caldrà simplificar fraccions algebraiques, i per fer-ho s’haurà de factoritzar els polinomis; de manera que utilitzarem el mètode de Ruffini, el factor comú i les fórmules de les igualtats notables.

Per resoldre'ls, caldrà aplicar l'estudiat a la primera entrega relativa a les raíces dels polinomis, tenint en compte que trobar raïls d'un polinomi és el mateix que resoldre l'equació que s'obté d'igualar a 0 un polinomi .

No sempre serà fàcil o possible trobar les solucions de les equacions de grau 3 o superior amb els mètodes de què disposem. Una equació de grau n té com a màxim n raíces reals. Utilitzarem diverses estratègies per intentar trobar solucions:

·Aplicarem les tècniques explicades a la primera entrega per trobar raïls de polinomis:

1-Extraurem factor comú en cas que en tingui.

2-Cercarem possibles raíces senceres (si en te) recordant que aquestes haurien de dividir el terme independent (aplicarem Ruffini)

3- Així anirem factoritzant el polinomi inicial fins que arribem a un factor de grau 2 que ja podrem resoldre amb la fórmula.

4-Recordem que els valors que anul·len cada factor són les raíces del polinomi, és a dir, les solucions de l'equació.

És a dir, són equacions de quart grau en les que apareixin, com a màxim, tots els monomis que tenen la incògnita amb exponent parell (és a dir, x4𝑥4, x2𝑥2 i x0𝑥0)

·Deiem com a màxim ja que els coeficients b𝑏 i c𝑐 poden ser 0, però no pot ser-ho el coeficient a𝑎.

Com que una equació biquadrada és un cas d'equació de quart grau, l'equació té, com a màxim, 4 solucions.

Es pot resoldre una equació biquadrada, per exemple, per la regla de Ruffini, però sol ser més ràpid aplicar un canvi de variable .

1) El terme que conté l’arrel es deixa aïllat en un dels membres. Si n’hi ha dues se’n situarìa una a cada membre.

2) S’eleva al quadrat els dos membres de l’equaci´o per fer desapareixer l’arrel. En el cas que hi hagui dues arrels caldrà repetir aquests dos passos.

3) Es resol l’equació que queda.

4) Es comproven les solucions obtingudes en l’equació inicial.