Si existe la matriz inversa  de  A, se dice que la matriz  A  es inversible o regular. En caso contrario, se dice que la matriz  A  es singular.

¿Cuándo tiene inversa una matriz? Una matriz  A  de orden  n  (n filas y n columnas) tiene inversa cuando su rango es  n, es decir, cuando el rango de dicha matriz coincide con su orden.

¿Cómo se puede calcular la inversa de una matriz? Básicamente hay tres procedimientos para calcular la inversa de una matriz. Son los siguientes:

1º Aplicando la definición y resolviendo los sistemas de ecuaciones correspondientes. Resulta muy laborioso cuando el orden de la matriz es superior a  2.

2º Por el método de Gauss.

3º Por determinantes y adjuntos (que describiremos en la unidad de determinantes).

Las operaciones que podemos realizar con las filas de la citada matriz son:

a) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de cero.

b) Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.

S_mxn=0

4.|Z_mxn|, donde m=n, multiplicado por una constante h cualquiera es:

5.El determinante del producto de dos matrices Z_mxny X_mxn, donde m=n, es igual al producto de determinantes de Z_mxny X_mxn

La inversa de A se representa por A-1.  Así que A ∙ A-1 = A-1 ∙ A = I.

No toda matriz cuadrada tiene una inversa.

Si A tiene inversa, entonces decimos que A es invertible.
Teoremas:

Sea A una matriz cuadrada n x n, entonces AI = IA = A.

Si A es una matriz invertible, entonces A-1 es invertible y (A-1)-1 = A.

Si una matriz cuadrada A es invertible, entonces la inversa es única.

Sean A y B matrices de orden n x n invertibles.  entonces AB es invertible y (AB)-1 = B-1A-1.

 

Para hallar la inversa de una matriz cuadrada comenzamos con la matriz A/I, donde I representa la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.   Efectuamos operaciones elementales con las filas de A/I hasta que la matriz A se transforme en la matriz identidad I.  Luego la matriz que contiene los componentes a la derecha de la línea vertical es la inversa de A, esto es, A-1.