Números

1.     Calcular operaciones con números racionales en forma simbólica.

2.     Mostrar que comprenden las potencias de base racional y exponente entero:

·       Transfiriendo propiedades de la multiplicación y división de potencias a los ámbitos numéricos correspondientes.

·       Relacionándolas con el crecimiento y decrecimiento de cantidades.

·       Resolviendo problemas de la vida diaria y otras asignaturas.

Álgebra y funciones

3. Desarrollar los productos notables de manera concreta, pictórica y simbólica:

·       Transformando productos en sumas y viceversa.

·       Aplicándolos a situaciones concretas.

·       Completando el cuadrado del binomio.

·       Utilizándolos en la reducción y desarrollo de expresiones algebraicas.

4. Resolver sistemas de ecuaciones lineales (2x2) relacionados con problemas de la vida diaria y de otras asignaturas, mediante representaciones gráficas y simbólicas, de manera manual y/o con software educativo.

5. Graficar relaciones lineales en dos variables de la forma f (x,y) = ax+by; por ejemplo: un haz de rectas paralelas en el plano cartesiano, líneas de nivel en planos inclinados (techo), propagación de olas en el mar y la formación de algunas capas de rocas:

·       Creando tablas de valores con a, b fijo y x, y variable.

·       Representando una ecuación lineal dada por medio de un gráfico, de manera

manual y/o con software educativo.

·       Escribiendo la relación entre las variables de un gráfico dado; por ejemplo,

variando c en la ecuación ax + by = c; a, b, c ∈ Q (decimales hasta la décima).

Geometría

6.     Desarrollar la fórmula de los valores del área y del perímetro de sectores y segmentos circulares respectivamente, a partir de ángulos centrales de 60°, 90°, 120° y 180°, por medio de representaciones concretas.

7.     Desarrollar las fórmulas para encontrar el área de la superficie y el volumen del cono:

·       Desplegando la red del cono para la fórmula del área de superficie.

·       Experimentando de manera concreta para encontrar la relación entre el volumen del cilindro y el cono.

·       Aplicando las fórmulas a la resolución de problemas geométricos y de la vida diaria.

8.     Mostrar que comprenden el concepto de homotecia:

·       Relacionándola con la perspectiva, el funcionamiento de instrumentos ópticos

y el ojo humano.

·       Midiendo segmentos adecuados para determinar las propiedades de la homotecia.

·       Aplicando propiedades de la homotecia en la construcción de objetos, de manera manual y/o con software educativo.

·       Resolviendo problemas de la vida cotidiana y de otras asignaturas.

9.     Desarrollar el teorema de Tales mediante las propiedades de la homotecia, para

aplicarlo en la resolución de problemas.

10.   Aplicar propiedades de semejanza y de proporcionalidad a modelos a escala y otras situaciones de la vida diaria y otras asignaturas.

11.   Representar el concepto de homotecia de forma vectorial, relacionándolo con el producto de un vector por un escalar, de manera manual y/o con software educativo.

Probabilidad y estadística

12.   Registrar distribuciones de dos características distintas, de una misma población, en una tabla de doble entrada y en una nube de puntos.

13.   Comparar poblaciones mediante la confección de gráficos “xy” para dos atributos de muestras, de manera concreta y pictórica:

·       Utilizando nubes de puntos en dos colores.

·       Separando la nube por medio de una recta trazada de manera intuitiva.

14.   Desarrollar las reglas de las probabilidades , la regla aditiva , la regla multiplicativa y la combinación de ambas, de manera concreta, pictórica y simbólica, de manera manual y/o con software educativo, en el contexto de la resolución de problemas.

15.   Mostrar que comprenden el concepto de azar:

·       Experimentando con la tabla de galton y con paseos aleatorios sencillos de

manera manual y/o con software educativo.

·       Realizando análisis estadísticos, empezando por frecuencias relativas.

·       Utilizando probabilidades para describir el comportamiento azaroso.

·       Resolviendo problemas de la vida diaria y de otras asignaturas.

1. Resolver problemas de adición, sustracción, multiplicación y división de números complejos C, en forma pictórica, simbólica y con uso de herramientas tecnológicas.

2. Tomar decisiones en situaciones de incerteza que involucren el análisis de datos estadísticos con medidas de dispersión y probabilidades condicionales.

3. Aplicar modelos matemáticos que describen fenómenos o situaciones de crecimiento y decrecimiento, que involucran las funciones exponencial y logarítmica, de forma manuscrita, con uso de herramientas tecnológicas y promoviendo la búsqueda, selección, contrastación y verificación de información en ambientes digitales y redes sociales.

4. Resolver problemas de geometría euclidiana que involucran relaciones métricas entre ángulos, arcos, cuerdas y secantes en la circunferencia, de forma manuscrita y con uso de herramientas tecnológicas.

Números

1. Realizar cálculos y estimaciones que involucren operaciones con números reales:

• Utilizando la descomposición de raíces y las propiedades de las raíces.

• Combinando raíces con números racionales.

• Resolviendo problemas que involucren estas operaciones en contextos diversos. 2. Mostrar que comprenden las relaciones entre potencias, raíces enésimas y logaritmos:

• Comparando representaciones de potencias de exponente racional con raíces enésimas en la recta numérica.

• Convirtiendo raíces enésimas a potencias de exponente racional y viceversa.

• Describiendo la relación entre potencias y logaritmos.

• Resolviendo problemas rutinarios y no rutinarios que involucren potencias, logaritmos y raíces enésimas.

Álgebra y funciones

3. Mostrar que comprenden la función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c: (a≠0)

• Reconociendo la función cuadrática f(x) = ax2 en situaciones de la vida diaria y otras asignaturas.

• Representándola en tablas y gráficos de manera manual y/o con software educativo.

• Determinando puntos especiales de su gráfica.

• Seleccionándola como modelo de situaciones de cambio cuadrático de otras asignaturas, en particular de la oferta y demanda.

4. Resolver, de manera concreta, pictórica y simbólica o usando herramientas

tecnológicas, ecuaciones cuadráticas de la forma:

• ax2 = b

• (ax + b)2 = c

• ax2 + bx = 0

• ax2 + bx = c (a, b, c son números racionales, a ≠ 0).

5. Mostrar que comprenden la inversa de una función:

• Utilizando la metáfora de una máquina.

• Representándola por medio de tablas y gráficos, de manera manual y/o con

software educativo.

• Utilizando la reflexión de la función representada en el gráfico en un plano

cartesiano.

• Calculando las inversas en casos de funciones lineales y cuadráticas.

6. Explicar el cambio porcentual constante en intervalos de tiempo:

• Por medio de situaciones de la vida real y de otras asignaturas.

• Identificándolo con el interés compuesto.

• Representándolo de manera concreta, pictórica y simbólica, de manera

manual y/o con software educativo.

• Expresándolo en forma recursiva f(t+1) – f(t) = a · f(t).

• Resolviendo problemas de la vida diaria y de otras asignaturas.

Geometría

7. Desarrollar las fórmulas del área de la superficie y del volumen de la esfera:

• Conjeturando la fórmula.

• Representando de manera concreta y simbólica, de manera manual y/o con

software educativo.

• Resolviendo problemas de la vida diaria y de geometría.

8. Mostrar que comprenden las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente

en triángulos rectángulos:

• Relacionándolas con las propiedades de la semejanza y los ángulos.

• Explicándolas de manera pictórica y simbólica, de manera manual y/o con

software educativo.

• Aplicándolas para determinar ángulos o medidas de lados.

• Resolviendo problemas geométricos y de otras asignaturas.

9. Aplicar las razones trigonométricas en diversos contextos en la composición y

descomposición de vectores y determinar las proyecciones de vectores.

Probabilidad y estadística

10. Mostrar que comprenden las variables aleatorias finitas:

• Definiendo la variable.

• Determinando los posibles valores de la incógnita.

• Calculando su probabilidad.

• Graficando sus distribuciones.

11. Utilizar permutaciones y la combinatoria sencilla para calcular probabilidades

de eventos y resolver problemas.

12. Mostrar que comprenden el rol de la probabilidad en la sociedad:

• Revisando informaciones de los medios de comunicación.

• Identificando suposiciones basadas en probabilidades.

• Explicando cómo una probabilidad puede sustentar suposiciones opuestas.

• Explicando decisiones basadas en situaciones subjetivas o en probabilidades.

En 4º medio en Chile, durante el año se abarcan los siguientes contenidos matemáticos:

• Toma de decisiones en situaciones de incerteza: Se exploran estrategias para tomar decisiones cuando hay incertidumbre o riesgo.

• Modelamiento matemático para describir y predecir: Los estudiantes aprenden a utilizar modelos matemáticos para describir fenómenos del mundo real y predecir resultados.

• Relaciones métricas en la circunferencia: Se estudian propiedades geométricas relacionadas con círculos y circunferencias, como longitudes de arcos, ángulos inscritos y áreas.

• Números complejos: Se profundiza en el álgebra y se introduce el concepto de números complejos, incluyendo operaciones y representaciones gráficas.

1. Mostrar que comprenden la multiplicación y la división de números enteros:

• Representándolas de manera concreta, pictórica y simbólica.

• Aplicando procedimientos usados en la multiplicación y la división de números naturales.

• Aplicando la regla de los signos de la operación.

• Resolviendo problemas rutinarios y no rutinarios.

2. Utilizar las operaciones de multiplicación y división con los números racionales en el contexto de la resolución de problemas:

• Representándolos en la recta numérica.

• Involucrando diferentes conjuntos numéricos (fracciones, decimales y

números enteros).

3. Explicar la multiplicación y la división de potencias de base natural y exponente natural hasta 3, de manera concreta, pictórica y simbólica.

4. Mostrar que comprenden las raíces cuadradas de números naturales:

• Estimándolas de manera intuitiva.

• Representándolas de manera concreta, pictórica y simbólica.

• Aplicándolas en situaciones geométricas y en la vida diaria.

5. Resolver problemas que involucran variaciones porcentuales en contextos diversos, usando representaciones pictóricas y registrando el proceso de manera simbólica; por ejemplo: el interés anual del ahorro.

Álgebra y funciones

6. Mostrar que comprenden la operatoria de expresiones algebraicas:

• Representándolas de manera pictórica y simbólica.

• Relacionándolas con el área de cuadrados, rectángulos y volúmenes de paralelepípedos.

• Determinando formas factorizadas.

7. Mostrar que comprenden la noción de función por medio de un cambio lineal:

• Utilizando tablas.

• Usando metáforas de máquinas.

• Estableciendo reglas entre x e y.

• Representando de manera gráfica (plano cartesiano, diagramas de Venn), de manera manual y/o con software educativo.

8. Modelar situaciones de la vida diaria y de otras asignaturas, usando ecuaciones lineales de la forma: ax = b; x/a = b, a ≠ 0; ax + b = c; x/a + b = c; ax = b + cx; a(x+b) = c; ax + b = cx + d | (a, b, c, d, e ∈ Q).

9. Resolver inecuaciones lineales con coeficientes racionales en el contexto de la resolución de problemas, por medio de representaciones gráficas, simbólicas, de manera manual y/o con software educativo.

10. Mostrar que comprenden la función afín:

• Generalizándola como la suma de una constante con una función lineal.

• Trasladando funciones lineales en el plano cartesiano.

• Determinando el cambio constante de un intervalo a otro, de manera gráfica y simbólica, de manera manual y/o con software educativo.

• Relacionándola con el interés simple.

• Usándola para resolver problemas de la vida diaria y de otras asignaturas.

Geometría

11. Desarrollar las fórmulas para encontrar el área de superficies y el volumen de prismas rectos con diferentes bases y cilindros:

• Estimando de manera intuitiva área de superficie y volumen.

• Desplegando la red de prismas rectos para encontrar la fórmula del área de superficie.

• Transfiriendo la fórmula del volumen de un cubo (base por altura) en prismas diversos y cilindros.

• Aplicando las fórmulas a la resolución de problemas geométricos y de la vida diaria.

12. Explicar, de manera concreta, pictórica y simbólica, la validez del teorema de Pitágoras y aplicar a la resolución de problemas geométricos y de la vida cotidiana, de manera manual y/o con software educativo.

13. Describir la posición y el movimiento (traslaciones, rotaciones y reflexiones) de figuras 2D, de manera manual y/o con software educativo, utilizando:

• Los vectores para la traslación.

• Los ejes del plano cartesiano como ejes de reflexión.

• Los puntos del plano para las rotaciones.

14. Componer rotaciones, traslaciones y reflexiones en el plano cartesiano y en el espacio, de manera manual y/o con software educativo, y aplicar a la simetría de polígonos y poliedros y a la resolución de problemas geométricos relacionados con el arte.

Probabilidad y estadística

15. Mostrar que comprenden las medidas de posición, percentiles y cuartiles:

• Identificando la población que está sobre o bajo el percentil.

• Representándolas con diagramas, incluyendo el diagrama de cajón, de manera manual y/o con software educativo.

• Utilizándolas para comparar poblaciones.

16. Evaluar la forma en que los datos están presentados:

• Comparando la información de los mismos datos representada en distintos tipos de gráficos para determinar fortalezas y debilidades de cada uno.

• Justificando la elección del gráfico para una determinada situación y su correspondiente conjunto de datos.

• Detectando manipulaciones de gráficos para representar datos.

17. Explicar el principio combinatorio multiplicativo:

• A partir de situaciones concretas.

• Representándolo con tablas y árboles regulares, de manera manual y/o con software educativo.

• Utilizándolo para calcular la probabilidad de un evento compuesto.

Números

1. Mostrar que comprenden la adición y la sustracción de números enteros:

• Representando los números enteros en la recta numérica. • Representándolas de manera concreta, pictórica y simbólica.

• Dándole significado a los símbolos + y – según el contexto (por ejemplo: un movimiento en una dirección seguido de un movimiento equivalente en la posición opuesta no representa ningún cambio de posición).

• Resolviendo problemas en contextos cotidianos.

2. Explicar la multiplicación y la división de fracciones positivas:

• Utilizando representaciones concretas, pictóricas y simbólicas.

• Relacionándolas con la multiplicación y la división de números decimales.

3. Resolver problemas que involucren la multiplicación y la división de fracciones y de decimales positivos de manera concreta, pictórica y simbólica (de forma manual y/o con software educativo).

4. Mostrar que comprenden el concepto de porcentaje:

• Representándolo de manera pictórica.

• Calculando de varias maneras.

• Aplicándolo a situaciones sencillas.

5. Utilizar potencias de base 10 con exponente natural:

• Usando los términos potencia, base, exponente, elevado. • Definiendo y usando el exponente 0 en el sistema decimal.

• Expresando números naturales en notación científica (sistema decimal).

• Resolviendo problemas, usando la notación científica.

Matemática Álgebra y funciones

6. Utilizar el lenguaje algebraico para generalizar relaciones entre números, para establecer y formular reglas y propiedades y construir ecuaciones.

7. Reducir expresiones algebraicas, reuniendo términos semejantes para obtener expresiones de la forma ax+ by + cz a, b, c, ∈ Z. 8. Mostrar que comprenden las proporciones directas e inversas:

• Realizando tablas de valores para relaciones proporcionales.

• Graficando los valores de la tabla.

• Explicando las características de la gráfica.

• Resolviendo problemas de la vida diaria y de otras asignaturas.

9. Modelar y resolver problemas diversos de la vida diaria y de otras asignaturas que involucran ecuaciones e inecuaciones lineales de la forma:

• ax + b = c; x/a =b

• ax + b < c; ax + b > c ; x/a < b; x/a > b Geometría

10. Descubrir relaciones que involucran ángulos exteriores o interiores de diferentes polígonos.

11. Mostrar que comprenden el círculo:

• Describiendo las relaciones entre el radio, el diámetro y el perímetro del círculo.

• Estimando de manera intuitiva el perímetro y el área de un círculo.

• Aplicando las aproximaciones del perímetro y del área en la resolución de problemas geométricos de otras asignaturas y de la vida diaria.

• Identificándolo como lugar geométrico.

12. Construir objetos geométricos de manera manual y/o con software educativo:

• Líneas, como las perpendiculares, las paralelas, las bisectrices y alturas en triángulos y cuadriláteros.

• Puntos, como el punto medio, el centro de gravedad, el centro del círculo inscrito y del circunscrito de un triángulo. • Triángulos y cuadriláteros congruentes.

13. Desarrollar y aplicar la fórmula del área de triángulos, paralelogramos y trapecios.

14. Identificar puntos en el plano cartesiano, usando pares ordenados y vectores de forma concreta (juegos) y pictórica. Probabilidad y estadística

15. Estimar el porcentaje de algunas características de una población desconocida por medio del muestreo.

16. Representar datos obtenidos en una muestra mediante tablas de frecuencias absolutas y relativas, utilizando gráficos apropiados, de manera manual y/o con software educativo. a, b y c ∈ N; a ≠ 0 a, b y c ∈N; a ≠ 0

17. Mostrar que comprenden las medidas de tendencia central y el rango:

• Determinando las medidas de tendencia central para realizar inferencias sobre la población.

• Determinando la medida de tendencia central adecuada para responder un problema planteado.

• Utilizándolos para comparar dos poblaciones.

• Determinando el efecto de un dato que es muy diferente a los otros.

18. Explicar las probabilidades de eventos obtenidos por medio de experimentos de manera manual y/o con software educativo:

• Estimándolas de manera intuitiva.

• Utilizando frecuencias relativas.

• Relacionándolas con razones, fracciones o porcentaje.

19. Comparar las frecuencias relativas de un evento obtenidas al repetir un experimento de forma manual y/o con software educativo, con la probabilidad obtenida de manera teórica, usando diagramas de árbol, tablas o gráficos.