Unidad 3 by Alan Osiris Hernandez Lopez

CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNETICAMENTE

azraelaaoh — 2021-04-14 07:13:32 UTC

13.1 INDUCTANCIA MUTUA

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Cuando definimos la inductancia en el cap 7 se especifico la relación entre la tensión y la corriente de terminales

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donde se tomó en cuenta la convención pasiva de signos. Las bases físicas de tal característica de corriente-tensión se sustentan en dos aspectos:

1. La producción de flujo magnético por una corriente, que es proporcional a la corriente en inductores lineales.

2. La producción de una tensión por un campo magnético variable en el tiempo, proporcional a la tasa de cambio del campo magnético o del flujo magnético.

Coeficiente de inductancia mutua

azraelaaoh — 2021-04-14 07:20:17 UTC

La inductancia mutua se debe a una ligera extensión de los argumentos anteriores. Una corriente que fluye en una bobina establece un campo magnético en torno a la misma y alrededor también de una segunda bobina cercana. El flujo variable en el tiempo que rodea a la segunda bobina produce una tensión en sus terminales, proporcional a la tasa de cambio en el tiempo de la corriente que fluye por la primera bobina

FIGURA 13.1 (a) Una corriente i1 en L1 produce una tensión, en circuito abierto, v2 en L2.(b) Una corriente i2 en L2 produce una tensión, en circuito abierto, v1 en L1.

azraelaaoh — 2021-04-14 07:21:23 UTC

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El orden de los subíndices en M₂₁ indica que se produce una respuesta de tensión en L₂ a raíz de una fuente de corriente en L₁. Si se invierte el sistema, como se indica en la figura 13.1b, tenemos

di₂(t) dt

v₁(t) = M₁₂

Convención del punto

azraelaaoh — 2021-04-14 07:24:27 UTC

El inductor es un elemento de dos terminales y podemos utilizar la convención pasiva de signos para elegir el signo correcto de la tensión L di/dt o jωLI. Si la corriente entra en la terminal donde se ubica la referencia de tensión positiva, se usa el signo positivo. Sin embargo, no se puede tratar la inductancia mutua exactamente de la misma manera, porque implica cuatro terminales. La elección de un signo correcto se establece mediante el empleo de una de varias posibilidades que incluyen la “convención del punto”, o mediante la inspección de la forma particular en la que se devana cada bobina. Utilizaremos la convención del punto y tan sólo observaremos con brevedad la construcción física de las bobinas; el empleo de otros símbolos especiales no se requiere cuando sólo se acoplan dos bobinas.

azraelaaoh — 2021-04-14 07:25:23 UTC

Una corriente que entra a la terminal con punto de una bobina, produce una tensión en circuito abierto con una referencia de tensión positiva en la terminal con punto de la segunda bobina

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Una corriente que entra a la terminal sin punto de una bobina proporciona una tensión que se mide positivamente en la terminal sin punto de la segunda bobina

Tensión combinada de la inducción mutua y de la autoinducción

azraelaaoh — 2021-04-14 07:26:43 UTC

Sólo hemos considerado la tensión mutua presente en una bobina en circuito abierto. En general, una corriente distinta de cero fluirá en cada una de las dos bobinas, así que se generará una tensión mutua en una bobina debido a la corriente que fluye en la otra. Esta tensión mutua se presenta independientemente y aparte de cualquier tensión de autoinducción. En otras palabras, la tensión en las terminales de L₁ estará compuesta por dos términos, L₁ di₁/dt y M di₂/dt, cada uno con un signo que depende de las direcciones de la corriente, la tensión medida y la ubicación de los dos puntos

Bases físicas de la convención del punto

azraelaaoh — 2021-04-14 07:27:34 UTC

Podemos comprender mejor el simbolismo del punto si consideramos las bases físicas de la convención; el significado de los puntos se interpreta ahora en términos del flujo magnético.

azraelaaoh — 2021-04-14 07:29:40 UTC

En la figura 13.6 se presentan dos bobinas devanadas sobre una forma cilíndrica y resulta evidente la dirección de cada devanado. Si suponemos que la corriente i₁ es positiva y que crece con el tiempo, el flujo magnético que i₁ produce dentro de la forma cilíndrica tiene una dirección que se podría conocer mediante la regla de la mano derecha: cuando esa mano rodea la bobina con los dedos apuntando en la dirección del flujo de corriente, el pulgar indica la dirección del flujo dentro de la bobina. Así, i₁ produce un flujo que se dirige hacia abajo; dado que i₁ aumenta con el tiempo, el flujo, que es proporcional a i₁, también se incrementa con el tiempo. Considerando ahora la segunda bobina, imaginemos que i₂ es positiva y creciente; la aplicación de la regla de la mano derecha muestra que i₂ produce también un campo punto tal que las corrientes que entran a las terminales así marcadas produzcan flujos aditivos. Resulta claro que siempre hay dos posibles ubicaciones para los puntos, pues siempre podrían moverse a los otros extremos de las bobinas y seguirse presentando los flujos aditivos.

azraelaaoh — 2021-04-14 07:35:09 UTC

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■ FIGURA 13.6 Construcción física de dos bobinas mutuamente acopladas. A partir de considerar la dirección del flujo magnético que produce cada bobina, se demuestra que los puntos pueden ubicarse en la terminal superior de cada bobina, o en su terminal inferior.

13.2 CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS

azraelaaoh — 2021-04-14 07:40:13 UTC

Pensemos en la energía que se almacena en un par de inductores mutuamente acoplados. El resultado será de utilidad de diferentes maneras. Justifiquemos primero el supuesto de que M, y luego podremos determinar el máximo valor posible de la inductancia mutua entre los dos inductores dados.

La energía almacenada dentro de la red cuando i es, por lo tanto

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Mantenemos ahora i₁ constante (i), y permitimos que i₂ cambie desde cero en t hasta algún valor constante I₂ en t . En ese caso, la energía que entrega la fuente del lado derecho es igual a

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Sin embargo, aun cuando el valor de i₁ permanece constante, la fuente del lado izquierdo también entrega energía a la red durante tal intervalo:

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La energía total almacenada en la red, cuando i₁ e i₂ han alcanzado valores constantes, está dada por

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La única diferencia es el intercambio de las inductancias mutuas M₂₁ y M₁₂. Sin embargo, las condiciones inicial y final en la red son las mismas, y por ello los dos valores de la energía almacenada deben resultar idénticos. Por lo tanto,

m12=m21=m

Establecimiento del límite superior de M

azraelaaoh — 2021-04-15 21:58:22 UTC

Se podría utilizar ahora la ecuación [8] para establecer un límite superior correspondiente al valor de M. Puesto que w(t) representa la energía que se almacena dentro de la red pasiva, no puede ser negativa para cualesquier valor de i₁, i₂, L₁, L₂ o M. Supongamos primero que i₁ e i₂ son positivas o negativas; por lo tanto, su producto resulta positivo. Según la ecuación [8], el único caso en el que la energía tal vez sería negativa es

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Por lo tanto, existe un límite superior de la posible magnitud de la inductancia mutua, que no será mayor a la media geométrica de las inductancias de las dos bobinas entre las cuales existe la inductancia mutua. Si bien hemos obtenido esta desigualdad con el supuesto de que i₁ e i₂ portan el mismo signo algebraico, es factible un desarrollo similar si los signos son opuestos; sólo se requiere elegir el signo positivo en la ecuación

Coeficiente de acoplamiento

azraelaaoh — 2021-04-15 22:02:12 UTC

El grado con el cual M se acerca a su valor máximo se describe mediante el coeficiente de acoplamiento, definido como

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13.3 EL TRANSFORMADOR LINEAL

azraelaaoh — 2021-04-15 22:07:28 UTC

Ya podemos aplicar el conocimiento del acoplamiento magnético a la descripción de dos dispositivos prácticos específicos, cada uno de los cuales puede representarse por un modelo que contiene inductancia mutua. Ambos dispositivos son transformadores, un término que definiríamos como una red que contiene dos o más bobinas que se acoplan magnéticamente (figura 13.15) de manera deliberada.

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En la figura 13.16 se muestra un transformador con dos corrientes de malla identificadas. La primera malla, que a menudo contiene la fuente, recibe el nombre de primario; en tanto que la segunda, que suele contener la carga, se conoce como el secundario. Los inductores marcados como L₁ y L₂ también se conocen como el primario y el secundario, respectivamente, del transformador. Supondremos que el transformador es lineal, lo que implica que no se emplea ningún material magnético (que puede provocar una relación no lineal entre el flujo y la corriente).

azraelaaoh — 2021-04-15 22:18:21 UTC

Antes de manipular más esta expresión, deducimos varias conclusiones muy interesantes. En primer lugar, este resultado es independiente de la ubicación de los puntos sobre cualquier devanado, pues si cualquier punto se mueve al otro extremo de la bobina, el resultado es un cambio en el signo de cada término que incluye a M en las ecuaciones [11] a [14]. Este mismo efecto se obtendría al sustituir M por (−M), aunque un cambio así no tiene posibilidad de afectar la impedancia de entrada, como lo confirma la ecuación [15]. También podríamos observar en la ecuación [15] que la impedancia de entrada es ni más ni menos que Z₁₁, si el acoplamiento se reduce hasta cero. Cuando el acoplamiento aumenta a partir de cero, la impedancia de entrada difiere de Z₁₁ por una cantidad ω²M²/Z₂₂, llamada impedancia reflejada o referida. La naturaleza de este cambio resulta más evidente si desarrollamos esta expresión:

azraelaaoh — 2021-04-15 22:26:09 UTC

Redes equivalentes T

azraelaaoh — 2021-04-15 22:32:19 UTC

A menudo resulta conveniente sustituir un transformador por una red equivalente en la forma de T o . Si separamos las resistencias respectivas del primario y del secundario del transformador, sólo queda el par de inductores acoplados mutuamente, como se muestra en la figura 13.17. Observe que las dos terminales inferiores del transformador se conectan entre sí para formar una red de tres terminales. Efectuamos lo anterior debido a que ambas redes equivalentes son también redes de tres terminales. Las ecuaciones diferenciales que describen este circuito son, también en este caso,
di di₂dt dt
v₁= L + M

di₁di₂= dt + dt
v₂M L₂

azraelaaoh — 2021-04-15 22:34:28 UTC

La forma de estas dos ecuaciones es familiar y se interpreta con facilidad en términos del análisis de malla. Elegimos una i₁ en dirección de las manecillas del reloj y una i₂ en el sentido contrario, de manera que i₁ e i₂ resulten por completo identificables con las corrientes de la figura 13.17. Los términos M di₂/dt en la ecuación [16] y M di₁/ dt en la ecuación [17] indican que ambas mallas deben tener entonces una autoinductancia común M. En razón de que la inductancia total alrededor de la malla izquierda es L₁, se requiere incorporar una autoinductancia de L₁ − M en la primera malla, pero no en la segunda. De modo similar, se necesita una autoinductancia de L₂ − M en la segunda malla, pero no en la primera.

azraelaaoh — 2021-04-15 22:34:54 UTC

Si cualquiera de los puntos en los devanados de un transformador dado se ponen sobre el extremo opuesto de su bobina, será negativo el signo de los términos mutuos de las ecuaciones [16] y [17], lo cual es análogo a reemplazar M por −M. Además, con una sustitución de este tipo en la red de la figura 13.18 obtenemos el equivalente correcto de este caso. (Los tres valores de autoinductancia serían entonces L₁ + M,

−M y L₂ + M.)

azraelaaoh — 2021-04-15 22:35:30 UTC

Las inductancias en el equivalente T son autoinductancias; no se presenta inductancia mutua. Es posible que se obtengan valores negativos de inductancia para el circuito equivalente, aunque esto no tiene importancia si nuestro único deseo es un análisis matemático. Hay ocasiones en las que con los procedimientos relativos a la síntesis de redes para proporcionar una función de transferencia deseada se determinan circuitos que contienen una red en T con una inductancia negativa, la cual podría realizarse mediante un transformador lineal apropiado.

azraelaaoh — 2021-04-15 22:47:52 UTC

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La red en equivalente no se obtiene con tanta facilidad, ya que es más complicada y no se utiliza mucho. La elaboraremos resolviendo la ecuación [17] para di₂/dt y sustituyendo el resultado en la ecuación [16]:

azraelaaoh — 2021-04-15 22:49:40 UTC

Relación de vueltas de un transformador ideal

azraelaaoh — 2021-04-15 22:50:23 UTC

Con el transformador ideal surge un nuevo concepto: la relación de número de vueltas a. La autoinductancia de una bobina es proporcional al cuadrado del número de vueltas de alambre que forman la bobina. Esta relación es válida sólo si todo el flujo establecido por la corriente que fluye en las bobinas enlaza a todas las vueltas. Para formular este resultado de manera cuantitativa se requiere utilizar conceptos de campo magnético, tema que no se incluye en la explicación del análisis de circuitos.

azraelaaoh — 2021-04-15 22:51:20 UTC

. Cuando la corriente y el flujo cambian con el tiempo, se induce una tensión en cada vuelta que es N veces mayor que la ocasionada por una bobina de una sola vuelta. De tal modo, la tensión inducida en la bobina de N vueltas debe ser ^N² veces la tensión de una sola vuelta. A partir de lo anterior, se origina la proporcionalidad entre la inductancia y el cuadrado del número de vueltas. Se concluye que:

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13.4 EL TRANSFORMADOR IDEAL

azraelaaoh — 2021-04-15 22:57:38 UTC

Un transformador ideal constituye una aproximación útil a un transformador acoplado de forma muy estrecha, en el que el coeficiente de acoplamiento es en esencia la unidad y en el que las reactancias inductivas del primario y del secundario son muy grandes en comparación con las impedancias de la terminación. del coeficiente de acoplamiento y la presencia del símbolo 1:a, lo que sugiere una relación de vueltas de N₁ a N₂.

Analicemos este transformador en el estado senoidal permanente. Las dos ecuaciones de malla son

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Además del coeficiente de acoplamiento unitario, otra característica de un transformador ideal es una impedancia demasiado grande tanto en las bobinas del primario como del secundario, sin que importe la frecuencia de operación. Lo anterior sugiere que el caso ideal sería que L₁ y L₂ tendieran al infinito. Sin embargo, su proporción debe permanecer finita, según se especifica mediante la relación de vueltas. De tal manera,

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Si dejáramos ahora que L₁ se volviera infinita, ambos términos del lado derecho de la expresión anterior también lo harían, de modo que el resultado sería indeterminado. Por lo tanto, se requiere combinar primero estos dos términos:

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para Z_L finita.

Este resultado tiene algunas implicaciones interesantes y al menos una de ellas parece contradecir una de las características del transformador lineal. La impedancia de entrada de un transformador ideal es proporcional a la impedancia de carga, con la constante de proporcionalidad igual al recíproco del cuadrado de la relación de vueltas. En otras palabras, si la impedancia de carga es capacitiva, entonces la impedancia de entrada también resulta capacitiva. Sin embargo, en el transformador lineal, la impedancia reflejada o referida sufrió un cambio de signo en su parte reactiva; una carga capacitiva proporciona una contribución inductiva a la impedancia de entrada.

azraelaaoh — 2021-04-15 23:20:44 UTC

La impedancia Z_L/^a² representa un término pequeño que corresponde a la cantidad mediante la que no ocurre una cancelación exacta. La verdadera impedancia reflejada (referida) en el transformador ideal sí cambia de signo en su parte reactiva; sin embargo, cuando las respectivas inductancias del primario y del secundario se vuelven infinitas, el efecto de la reactancia infinita de la bobina del primario y de la reactancia reflejada (referida) infinita, pero negativa, de la bobina del secundario se cancela.

azraelaaoh — 2021-04-15 23:21:21 UTC

Por lo tanto, la primera característica importante del transformador ideal es su capacidad para cambiar la magnitud de una impedancia, o para cambiar el nivel de impedancia. Un transformador ideal que tiene 100 vueltas en el primario y 10 000 vueltas en el secundario presenta una relación de vueltas de 10 000/100, o 100. Cualquier impedancia puesta a lo largo del secundario aparece reducida (o referida) en magnitud en las terminales del primario por un factor de 100² o 10 000. Una resistencia de 20 000 se observa como de 2 , un inductor de 200 mH se mira como 20 μH y un capacitor de 100 pF se ve como de 1 μF. Si se intercambian los devanados del primario y del secundario, entonces a 0.01 y la impedancia de carga al parecer se incrementa en magnitud.

Uso de transformadores para el acoplamiento de impedancia

azraelaaoh — 2021-04-15 23:22:11 UTC

Un ejemplo práctico del uso de un transformador con núcleo de hierro como un dispositivo para cambiar el nivel de impedancia se presenta en el acoplamiento de un amplificador de potencia de audio de bulbo de vacío con un sistema de altavoz (bocinas).

azraelaaoh — 2021-04-15 23:22:54 UTC

Para alcanzar una transferencia de potencia máxima, sabemos que la resistencia de la carga debe ser igual a la resistencia interna de la fuente; el altavoz o bocina suele tener una magnitud de impedancia (supuesta muchas veces como una resistencia) de sólo unos cuantos ohms, en tanto que el amplificador de potencia por lo común posee una resistencia interna de varios miles de ohms. Así, se requiere un transformador ideal en el que N₂ < N₁. Por ejemplo, si la impedancia interna del amplificador (o generador) corresponde a 4 000 y la impedancia del altavoz es 8 , entonces deseamos que

azraelaaoh — 2021-04-15 23:24:22 UTC

Uso de transformadores para ajuste de corriente

azraelaaoh — 2021-04-15 23:24:52 UTC

Existe una relación simple entre las corrientes del primario y del secundario, respectivamente I₁ e I₂ en un transformador ideal. De acuerdo con la ecuación [23], tenemos

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Uso de transformadores en el ajuste del nivel de tensión

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Dado que la potencia que se entrega al transformador ideal es idéntica a la suministrada a la carga, siempre que las corrientes del primario y del secundario se relacionan por la relación (o razón) de número de vueltas, debe parecer razonable que las tensiones respectivas del primario y del secundario también deban vincularse con esa misma relación. Si definimos la tensión del secundario, o tensión de carga, como
V2=i2zl
y la tension del primari como la tension en l1 entonces
II=ZLVV II II ZZEN TIEMPO 0I1 -A2