5E T/M

-Para cualquier función lineal, tanto el dominio como el rango son todos los números reales R

-Ejemplo de una función lineal: f(x)=2x+3

-Una función constante se puede expresar como f(x)=cf(x) = cf(x)=c, donde c es un número real fijo y no depende de x.

-El dominio de una función constante son todos los números reales

-El rango de una función constante es el conjunto que contiene un solo valor, c.

-Ejemplo de una función constante: f(x)=5

-se expresa generalmente como f(x)=ax2+bx+c, donde a, b, y c son constantes, y a es diferente de cero.

-El dominio de una función cuadrática es R (todos los números reales)

-Si la parábola se abre hacia arriba el rango es [f(Xvertice),∞)

-Si la parábola se abre hacia abajo el rango es(-∞,f(xvértice)]

-Ejemplo de una función cuadrática:f(x)=2x2−4x+1

-Una función cúbica se puede expresar como: f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, donde a, b, c, y d son constantes, y a es diferente de cero.

-El dominio de una función cúbica es R (todos los números reales)

-El rango de una función cúbica también es R (todos los números reales)

-Ejemplo de una función cúbica:f(x)=2x3−3x2+x−5:

-Una función de valor absoluto se expresa como f(x)=[x] o también como f(x)=[ax+b] donde a y b son constantes.

-El dominio de una función de valor absoluto es R(todos los números reales)

-El rango de una función de valor absoluto es el conjunto de todos los valores reales no negativos. En la función básica f(x)=[x], el rango es [0,∞]

-Ejemplo de función valor absoluto: f(x)=∣2x−4∣

-La función parte entera se expresa como f(x)=[x],donde [x] representa el mayor número entero que es menor o igual a x

-El dominio de la función parte entera es R(todos los números reales)

-El rango de la función parte entera es el conjunto de todos los números enteros Z

-Ejemplo de función parte entera:f(x)=⌊x⌋

(para 0<b<1)

-Una función exponencial se expresa como f(x)=a·b^x, donde a es una constante que representa el valor inicial, b es la base de la exponencial, y x es el exponente.

-El dominio de una función exponencial es R(todos los números reales)

-El rango de una función exponencial depende del valor de a:

si a >0, el rango es (0,∞)

si a <0, el rango es (-∞,0)

-Ejemplo de función exponencial: f(x)=2⋅3^x

Grado 0 (constante): Es una línea horizontal.

Grado 1 (lineal): Es una línea recta.

Grado 2 (cuadrática): Es una parábola.

Grado 3 (cúbica): Tiene una forma de "S" o curva con inflexión.

Grados superiores: Tienen formas más complejas con más puntos críticos.

-Se expresa como: f(x)=anx^n+an-1x^n-1+···+a1x+a0

-El dominio de cualquier función polinómica es R(todos los números reales)

-El rango de una función polinómica depende del grado y los coeficientes:

Para polinomios de grado impar, el rango es R (todos los números reales).

Para polinomios de grado par, el rango puede estar acotado y depende del valor mínimo o máximo de la función

-Ejemplo de una función polinómica: f(x)=x3−3x2+2

-Una función logarítmica se expresa como:

f(x)=a·logb(x-h)+k, donde a es un coeficiente que escala la función, b es la base del logaritmo, h es un desplazamiento horizontal, y k es un desplazamiento vertical.

-El dominio de una función logarítmica es el conjunto de valores de x para los cuales el argumento del logaritmo es positivo. Es decir, el dominio es x>h, donde h es el desplazamiento horizontal.

-El rango de una función logarítmica es R (todos los números reales)

-Ejemplo de función logarítmica: f(x)=2·log3(x-1)+5

Asíntotas verticales: Donde el denominador Q(x) se hace cero.

Asíntotas horizontales o inclinadas: Dependiendo del grado de P(x) y Q(x).

Puntos de discontinuidad: En las asíntotas verticales y posibles agujeros si hay factores comunes en P(x) y Q(x)

-Una función racional se expresa como el cociente de dos polinomios:

f(x)=P(x)/Q(x)

-El dominio de una función racional es el conjunto de todos los valores de x para los cuales Q(x)≠0.

-El rango de una función racional puede ser más complicado de determinar y generalmente se analiza en función de las asíntotas y el comportamiento de la función.

-Ejemplo de función racional:f(x)=x^2-1/x-1

-Una función irracional tiene la forma general f(x)=n√g(x), donde n√· representa una raíz enésima y g(x) es una función polinómica o cualquier otra expresión que esté bajo la raíz.

-Para funciones con raíces pares, el radicando debe ser mayor o igual a cero.

-El rango de una función irracional depende del tipo de raíz y del dominio:

Raíces Pares: La función puede tomar valores positivos, cero o negativos dependiendo de la forma general.

Raíces Impares: La función puede tomar todos los valores reales si el radicando puede ser cualquier número real.

-Ejemplo de función irracional: f(x)=√x-1

Raíz cuadrada: Generalmente tiene una forma de curva que empieza en el punto de origen (si no hay desplazamientos) y se extiende hacia la derecha.

Raíz cúbica: Puede extenderse hacia ambos lados del eje y y tiene una forma que se asemeja a una curva que pasa por el origen.

-La forma general de una función radical es: f(x)=n√g(x)

-El rango de una función radical también depende del índice de la raíz y de la expresión bajo la raíz.

Raíces pares: La función puede tomar valores no negativos.

Raíces impares: La función puede tomar todos los valores reales

-El dominio de una función radical depende del índice de la raíz y de la expresión bajo la raíz.

Raíces pares : El radicando debe ser mayor o igual a cero

Raíces impares: El radicando puede ser cualquier número real

-Ejemplo de función radical: f(x)=3√x+1

-La función está definida en todos los números reales.

-Dominio: R(todos los números reales).