Numero Complejo by Wilmer Yerri Alvaro Lopez

Números Complejos

yerrialvaro — 2021-09-04 01:39:06 UTC

Es una extensión de los números reales y se escriben generalmente con la letra C. Los números complejos se pueden representar como la de un número real y uno imaginario, conservando sus propiedades como un número real. Su importancia radica en el álgebra, variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras. Es útil cuando resolvemos problemas con números reales que son difíciles o imposibles de solucionar. Por ejemplo, al resolver la ecuación: 
X²+ a =0    donde    a e R⁺Como resultado tendríamos x = ±√(-a), pero esto no es un número real y esta ecuación no tiene solución; sin embargo podemos hacer lo siguiente 

√(-a)= √((-1)(a))= √a √(-1)

Entonces la raíz cuadrada del número negativo -1 se define como 

ί = √(-1)

Donde a ί se le denomina unidad imaginaria.

Características de los números imaginarios

yerrialvaro — 2021-09-05 14:55:01 UTC

Una de las características de los números imaginarios se observa cuando los elevamos a potencias enteras.
Después de la potencia 4 el resultado es cíclico, por lo que podríamos expresar cualquier potencia de i en términos de las primeras 4 (más específicamente, en términos de i o 1).

Plano cartesiano de los números imaginarios

yerrialvaro — 2021-09-05 15:05:16 UTC

También podemos representar al conjunto de números imaginarios como el par ordenado (0, y), con y ϵ R. De esta forma obtenemos gráficamente el plano complejo, en la siguiente forma. En general podemos definir al conjunto de números complejos de la siguiente forma: El conjunto de números complejos C se define como el conjunto de todos los pares ordenados z= (x, y), con x, y ϵ R.

Suma de números complejos

yerrialvaro — 2021-09-05 15:09:43 UTC

Sean z₁ = x₁ + y₁i y z₂= x₂ + y₂i dos números complejos. Para hacer la operación de suma, basta con sumar por separado la real y la parte imaginaria en la siguiente forma:

z₁ + z₂ = (x₁ + y₁i) + (x₂ + y₂i) = (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)i.

Es importante señalar que el resultado sigue siendo un numero complejo en la forma z = x + yi.

Multiplicación de números complejos

yerrialvaro — 2021-09-05 15:11:43 UTC

Consideremos como si fueran polinomios y lo multiplicamos siguiendo el mismo procedimiento como el producto algebraico polinomial, 

es decir; dado los números complejos z₁ = x₁ + yi₁y z₂ = x₂ + y₂i, su producto es

z₁z₂ = (x₁ + y₁i)(x₂ + y₂i) = x₁ x₂ + x₁ y₂i + y₁ x₂i + y₁ y₂i²
luego simplificamos las potencias de i y agrupamos parte real e imaginaria para obtener: 

z₁z₂ = (x₁ x_{2 –}y₁ y₂) + (x₁y₂ + y₁ x₂) i

Módulo o valor absoluto de un número complejo

yerrialvaro — 2021-09-05 15:20:57 UTC

Debido a que los números complejos los identificamos como puntos en el plano complejo, no es posible la comparación, sin embargo, es útil tener algún orden, por lo que podemos definir el modulo o valor absoluto de un numero complejo, el cual nos dara la distancia de este punto al origen en el plano complejo. Así, con la ayuda del teorema de Pitágoras, obtenemos: El modulo o valor absoluto de un numero complejo z = (x + yi) está dado por |z| =  √(x^2+y^2 ). Decimos que un numero complejo z₁ es mas grande que z₂ si z₁ esta mas alejado del origen; es decir, si |z₁| > |z₂|.

Números complejos conjugados

yerrialvaro — 2021-09-05 15:22:19 UTC

Dos binomios que tienen los mismos términos son conjugados si solo diﬁeren en el signo de un término, por ejemplo, los binomios a+b y a−b son conjugados entre sí. Al igual que esta deﬁnición de polinomios reales, podemos deﬁnir el conjugado de un número complejo z como un nuevo número complejo.
El conjugado de un número complejo z=x+yi, se obtiene cambiando de signo la parte imaginaria y se representa por z=x−yi.

División de números complejos

yerrialvaro — 2021-09-05 15:49:34 UTC

Para realizar la división usaremos la conocida idea de multiplicar tanto numerador como denominador por un mismo número. Además, considerando la propiedad 1 del conjugado de un número complejo.
Notemos que en realidad lo que se hace es multiplicar y dividir por el conjugado del denominador (esto se conoce en álgebra elemental como racionalizar el denominador).
Estas operaciones lo que hacen en realidad es eliminar la parte imaginaria del denominador, de tal manera que esta división de números complejos se convierta en una división de números real es y nos facilite efectuar la operación.

Forma polar y exponencial de un número complejo

yerrialvaro — 2021-09-05 16:30:11 UTC

Podemos representar un numero dentro del plano polar complejo (conociendo el ángulo que forma con el eje real y la distancia a la que se encuentra del origen).
De esta gráﬁca, usando funciones trigonométricas, podemos deducir las siguientes ecuaciones para x y y en términos de r y θ.

x=r cosθ    y=r senθ,

lo cual nos permite escribir un numero complejo z=x+yi en su forma polar como:

z=r(cosθ+isenθ) con r ≥0, 0≤θ≤2π

· A r se le conoce como módulo de z y mide la distancia del número complejo al origen; por lo tanto, debe ser positivo.
· El ángulo θ se conoce como Arg z. Se pide que tenga su valor entre cero y 2π porque las funciones trigonométricas son cíclicas con periodo igual a 2π, y se cumple que z=r(cos(θ)+isen(θ))=r(cos(θ+2nπ)+isen(θ+2nπ)) para todo n∈Z

Para escribir un número complejo en forma exponencial, usaremos la fórmula de Euler (presentada por Leonhard Euler), la cual establece que: 

e^iθ =cosθ+isenθ 

Y nos permite escribir un número complejo no nulo en forma exponencial de la siguiente manera: z=re^iθ,

Que es una forma práctica y compacta para trabajar dentro del campo complejo.

Ecuaciones polinomiales complejas

yerrialvaro — 2021-09-05 16:56:11 UTC

Las ecuaciones polinomiales con números complejos, se clasiﬁcan de la misma manera que con los números reales, es decir el grado de la ecuación esta determinado por el exponente de mayor valor numérico presente en la ecuación. Al igual que en el caso de los números reales, es posible resolver ecuaciones con una o más incógnitas. De hecho, las técnicas para resolverlas son las mismas.