Modelos Lineales by Graciela Serrano

serranograciela3a — 2021-02-10 19:19:24 UTC

En estadística, el término modelo lineal es usado en diferentes maneras de acuerdo al contexto. La manera más frecuente es en conexión con modelos de regresión y el término a menudo se toma como un sinónimo del modelo de regresión lineal.

serranograciela3a — 2021-02-10 19:24:28 UTC

La relación matemática que describe la relacion lineal entre las dos variables se la puede encontrar mediante el método de mínimos cuadrados.

serranograciela3a — 2021-02-10 19:29:23 UTC

Es una técnica mediante la cual es posible determinar el grado de dependencia lineal entre una variable dependiente Y, las variables independientes X, y un término aleatorio.

Ecuación

serranograciela3a — 2021-02-10 19:44:10 UTC

y = bx + a
a: ordenada al origen
b: pendiente de la recta

Segundo

serranograciela3a — 2021-02-10 19:45:52 UTC

Damos por sentado que no hay error en los valores de "x"

Primero

serranograciela3a — 2021-02-10 19:47:08 UTC

Hay una relación lineal entre las variables "x" y "y"

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN (r)

serranograciela3a — 2021-02-10 20:01:53 UTC

Es una medida de dependencia lineal entre dos variables, se lo utiliza para determinar qué tan cerca están los puntos de la recta. Este coeficiente puede tomar valores en el intervalo de -1< r<1 tomando en cuenta que:
-Si r=1, la correlación lineal es directa.
-Si r=0, no existe correlación

-Si r=-1, la correlación lineal es inversa

Se calcula de la siguiente forma:

ORDENADA AL ORIGEN (a)

serranograciela3a — 2021-02-10 20:01:54 UTC

Es la ordenada del punto, donde la recta interseca al eje de las ordenadas. Se la calcula de la siguiente forma:

PENDIENTE (b)

serranograciela3a — 2021-02-10 20:01:56 UTC

La pendiente indica la inclinación de la recta con respecto al eje de las abscisas, se la utiliza para estimar un cambio promedio donde a mayor magnitud de la pendiente mayor inclinación poseerá la linea por lo tanto su variación será mayor. Se la calcula de la siguiente forma:

serranograciela3a — 2021-02-10 21:21:21 UTC

Los valores promedio para "X" y"Y" se calculan con las siguientes fórmulas:

SUMA DE CUADRADOS

serranograciela3a — 2021-02-10 21:21:23 UTC

Se usa para simplificar el cálculo de la pendiente y la intersección mediante Sxx, Syy, Sxy de la siguiente forma:

DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA PENDIENTE

serranograciela3a — 2021-02-10 21:21:24 UTC

Está dada por el cociente entre Sy/x y la raíz cuadrada de la sumatoria del cuadrado de la diferencia entre la Xi y la X media.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA ORDENADA

serranograciela3a — 2021-02-10 21:21:25 UTC

Esta se la puede determinar mediante Sy/x por la raíz cuadrada de la sumatoria de Xi al cuadrado para el número de datos (n) multiplicado para la sumatoria del cuadrado de la diferencia entre la Xi y la X media.

ERRORES ALEATORIOS EN LA DIRECCIÓN "y"

serranograciela3a — 2021-02-10 21:21:26 UTC

Calcula el error aleatorio en los valores de la pendiente y la ordenada mediante la raíz cuadrada de la sumatoria del cuadrado de la diferencia entre la Yi y la Yi corregida con respecto a los grados de libertad que en este caso es (n-2).

DESVIACIÓN ESTÁNDAR ALREDEDOR DE LA REGRESIÓN

serranograciela3a — 2021-02-10 22:09:30 UTC

Se determina mediante la raíz cuadrada de la diferencia entre Syy y la pendiente al cuadrado por Sxx para N-2.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA PENDIENTE

serranograciela3a — 2021-02-10 22:13:11 UTC

Se determina mediante la raíz cuadrada de Sr al cuadrado para Sxx.

FUNCIÓN EXPONENCIAL

serranograciela3a — 2021-02-10 22:34:07 UTC

Función: y=be^mx
Transformación para linealizar: y´=log(y)
Ecuación resultante: y´=ln(b)+mx

FUNCIÓN POTENCIA

serranograciela3a — 2021-02-10 22:39:26 UTC

Función: y=bx^m
Transformación para linealizar: y´=log(y)*x´=log(x)
Ecuación resultante: y´=log(b)+mx´

FUNCIÓN RECÍPROCA

serranograciela3a — 2021-02-10 23:38:13 UTC

Función: y=b+m(1/x)
Transformación para linealizar: x´=1/x
Ecuación resultante: y=b+mx´

serranograciela3a — 2021-02-10 23:39:58 UTC

*SKoog, D., Wesr, D., Holler , J., & Crouch , S. (2015). Fundamentos de química analítica. México: Cengage Learning.
*Miller, D. (2002). Estadística y Quimiometría para Química Analítica. Madrid: Pearson Educación.
*Harris, D. (2010). Quantitative Chemical Analysis. New York: W. H. Freeman and Company.

y=mx+b

serranograciela3a — 2021-02-15 14:52:41 UTC

m: pendiente
b: intersección con el eje y

la desviación vertical del punto (xi, yi) es yi-y, donde y es la ordenada de la recta x=xi.

MINIMIZACIÓN DE LAS MAGNITUDES DE LAS DESVIACIONES INDEPENDIENTEMENTE DEL SIGNO

serranograciela3a — 2021-02-15 14:56:54 UTC

Algunas desviaciones son positivas y otras negativas, por lo que elevamos al cuadrado todas la desviaciones para tratar sólo con números positivos.
Con este método se puede demostrar que minimizar los cuadrados de las desviaciones se asume que el conjunto de valores de y es el más probable.

VALORES DE m Y b QUE MINIMICEN LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LAS DESVIACIONES

serranograciela3a — 2021-02-15 15:06:55 UTC

Se calculan las sumatorias de:
-xi
-yi
-xi*yi
-(xi)^2
Posteriormente se plantean matrices con dichos cálculos para obtener expresiones que permitan el cálculo de la pendiente y la ordenada mediante determinantes.

serranograciela3a — 2021-02-15 15:18:31 UTC

Resolviendo las matrices se obtuvo que para calcular m y b se deben usar las siguientes expresiones:

DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE Y

serranograciela3a — 2021-02-15 15:31:16 UTC

Describe los valores de "y" y caracteriza la curva Gaussiana.
Los grados de libertad para esta ecuación será (n-2) debido a que se perdieron dos grados de libertad al determinar la pendiente y la ordenada.
Para dicho cálculo se debe determinar la sumatoria de (di)^2 calculando previamente los (di) correspondientes.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA PENDIENTE Y LA ORDENADA

serranograciela3a — 2021-02-15 15:42:27 UTC

Sm es una estimación de la desviación estándar de la pendiente.
Sb es una estimación de la desviación estándar de la ordenada.