f(x)=2x−35f(x) = \frac{2x - 3}{5}f(x)=52x−3​

1. Halla la función inversa

   
   

   f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x).

   
   

2. Verifica que

3. f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = xf(f−1(x))=x y f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = xf−1(f(x))=x.

f(x)=2x+3yg(x)=2x−3​

• Verifica si g(x) es la función inversa de f(x)

• Calcula f(g(x)) y g(f(x))

• ¿Qué se debe obtener si realmente son funciones inversas?

Si f(x)=2x−6​, ¿cuál es la función inversa f−1(x)?

A.f−1(x)=2x−6

B.f−1(x)=2x+6​

C.f−1(x)=2x+6

D.f−1(x)=2x​−3

Asp MATHIAS CABASCANGO

PARA RESOLVER

f(x) = 2x + 3

f(x)=3x-5

Ejercicio resuelto de un compañero:

f(x)=2x+3

y=2x+3

y−3=2x

x=y−3​/2

Respuesta final: f^−1(x)=x-3/2

sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2

Ahora sustituimos x = 0:

sinh(0) = (e^0 - e^(-0)) / 2
sinh(0) = (1 - 1) / 2
sinh(0) = 0 / 2 = 0

Ejercicio para un compañero:

(coseno hiperbólico)

cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2

a) -2

b) 0

c) -1

d) 1

: Hallar la función inversa de

gramo(incógnita)=5incógnita−3g de x es igual a 5 x menos 3

𝑔(𝑥)=5𝑥−3

1. Intercambia las variables

   incógnitaincógnita

   𝑥

   mi

   yy

   𝑦

   :
   

   incógnita=5y−3x es igual a 5 y menos 3

   𝑥=5𝑦−3

2. Despeja la

   yy

   𝑦

   de la nueva ecuación:

   • Suma 3 a ambos lados:

     incógnita+3=5yx más 3 es igual a 5 y

     𝑥+3=5𝑦

   • Divide ambos lados por 5:

     incógnita+35=yLa fracción con numerador x más 3 y denominador 5 es igual a y

     𝑥+35=𝑦

3. Reemplaza

   yy

   𝑦

   por

   gramo-1(incógnita)g elevado a la potencia negativa de x

   𝑔−1(𝑥)

   (la notación de la función inversa):
   

   gramo-1(incógnita)=incógnita+35g elevado a la potencia negativa de x es igual a la fracción con numerador x más 3 y denominador 5 fracción final

   𝑔−1(𝑥)=𝑥+35

    

Verificación (opcional):
Puedes verificar si la función inversa es correcta componiendo

gramo(incógnita)g de x

𝑔(𝑥)

y

gramo-1(incógnita)g elevado a la potencia negativa de x

𝑔−1(𝑥)

. Sí

gramo(gramo-1(incógnita))=incógnitag de g elevado a la potencia negativa de x es igual a x

𝑔(𝑔−1(𝑥))=𝑥

o

gramo-1(gramo(incógnita))=incógnitag elevado a la potencia negativa 1 de g de x es igual a x

𝑔−1(𝑔(𝑥))=𝑥

, entonces la inversa es correcta. 

Gráficamente:
La gráfica de una función inversa es la reflexión de la función original en la recta.

y=incógnitay es igual a x

𝑦=𝑥

. Si graficaras ambas funciones, verías esta simetría. 

Función original: f(x) = 2x + 3

• 1: y = 2x + 3

  x = 2y + 3

• 3: x - 3 = 2y => y = (x - 3)/2

  4: f⁻¹(x) = (x - 3)/2 

Ejemplo

Función original: f(x) = x² (para x ≥ 0)

1: y = x²

2: x = y²

3: y = √x (tomando la raíz cuadrada positiva, ya que x ≥ 0)

4: f⁻¹(x) = √x 

Ejemplo 3:

Función original: f(x) = (2x + 1) / (x + 1)

1: y = (2x + 1) / (x + 1)

• 2: x = (2y + 1) / (y + 1)

  3: x(y + 1) = 2y + 1 => xy + x = 2y + 1 => xy - 2y = 1 - x => y(x - 2) = 1 - x => y = (1 - x) / (x - 2)

  4: f⁻¹(x) = (1 - x) / (x - 2) 

a)f(x)-1= -3(x+1)/2

b)f(x)-1= 3(x+1)/2

c)f(x)-1= 3(x-1)/2

d) f(x)-1= -3(x-1)/2

Asp: Albeiro Alexander Ortiz Lumisaca

f(x)=2x+3

y =2x +3

x =2y+3

2y+3=x

2y=x-3

2y/2=x/2+ (-3/2)

y=x/2-3/2

f-1 (x) = x/2-3/2

Ejercicio a resolver la inversa:

f(x)=5x-8

Ejercicio de un compañero!

F(×)=3×-5

f(x) = 3x - 5

y = 3x - 5

x = 3y - 5

x + 5 = 3y

y = (x + 5)/3

f^(-1)(x) = (x + 5)/3

Mi ejercicio para que resuelvan?

F(×)=2×+1

f(x)=3x−5

x=3y−5

x+5=3y⇒y=x+5/3

f^−1(x)=x+5/3

Respuesta f(f^−1(x)) =3(x+5/3) −5=x+5−5=x

Mi ejercicio es:

f(x)= 4x+2

• Dadas las funciones f(x) = x + 2 y g(x) = x - 2, ¿son inversas?

  • Se verifica si f(g(x)) = x o g(f(x)) = x:

    • f(g(x)) = f(x - 2) = (x - 2) + 2 = x

  • Como f(g(x)) = x, las funciones son inversas.

f(x)=52x−3​

y=2x−35y = \frac{2x - 3}{5}y=52x−3​

x=2y−35x = \frac{2y - 3}{5}x=52y−3​

5x=2y−35x = 2y - 35x=2y−3

5x+3=2y5x + 3 = 2y5x+3=2y

y=5x+32y = \frac{5x + 3}{2}y=25x+3​

f−1(x)=5x+32f^{-1}(x) = \frac{5x + 3}{2}f−1(x)=25x+3​

Ejercicio de un compañero

cosh(x)=(e^x+e^(-x))/2

cosh(−x)=cosh(x)

cosh⁡(x)≥1  x\cosh(x) \geq 1 \ \text{para todo } xcosh(x)≥1 para todo x

cosh⁡(0)=e0+e−02=1+12=1\cosh(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1cosh(0)=2e0+e−0​=21+1​

=1

f(x)=ln⁡(x+x2+1)f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})f(x)=ln(x+x2+1​)

F(x)=6x+8

y=2x+3

x=2y+3

x−3=2y 2x−3​=y

f−1(x)=2x−3​ //.

Ejercicio para resolver:

f(x) = 2x + 3

f(x) = 2x + 1. el ejecicio de mi compañero

y= 2x+1

x=2y+1

x-1=2y

y=(x-1)/2

f^(-1)(x) = (x - 1)(2)

f(x) = 2x + 3. ejercicio de mi compañero.

Ejercicio:

Sea la función

f(x)=2x+5f(x) = 2x + 5f(x)=2x+5

1. Encuentra la función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)

2. Verifica que f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = xf(f−1(x))=x

• 5(y+x)=20

• 2x+2y=122x + 2y = 122x+2y=12

• 3y+3x−9=03y + 3x - 9 = 03y+3x−9=0

• 4x+4y=164x + 4y = 164x+4y=16

• 6x+6y−18=06x + 6y - 18 = 06x+6y−18=0

Solución paso a paso:

Paso 1: Resta 5x5x5x a ambos lados:

2y=20−5x2y = 20 - 5x2y=20−5x

Paso 2: Divide entre 2:

y=20−5x2y = \frac{20 - 5x}{2}y=220−5x​

Paso 3 (opcional): Simplifica:

y=10−52xy = 10 - \frac{5}{2}xy=10−25​x

✅ Resultado final:

y=10−52xy = 10 - \frac{5}{2}xy=10−25​x

Paso 1: Multiplicación

(−4)×2=−8(-4) \times 2 = -8(−4)×2=−8

Ahora sustituimos:

12+(−8)−(−3)12 + (-8) - (-3)12+(−8)−(−3)

Paso 2: Sumar y restar

• 12+(−8)=412 + (-8) = 412+(−8)=4

• 4−(−3)=4+3=74 - (-3) = 4 + 3 = 74−(−3)=4+3=7

Resultado final:

f(x)=2x−35f(x) = \frac{2x - 3}{5}f(x)=52x−3​

¿Cuál es su función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)? Y, ¿cómo se verifica que realmente sea la inversa?

Paso 1: Escribimos la función como una ecuación con "y":

y=2x−35y = \frac{2x - 3}{5}y=52x−3​

Paso 2: Intercambiamos las variables xxx y yyy (esto es lo que hace una inversa):

x=2y−35x = \frac{2y - 3}{5}x=52y−3​

Paso 3: Despejamos la variable yyy:

Multiplicamos ambos lados por 5:

5x=2y−35x = 2y - 35x=2y−3

Sumamos 3:

5x+3=2y5x + 3 = 2y5x+3=2y

Dividimos para despejar:

y=5x+32y = \frac{5x + 3}{2}y=25x+3​

Resultado:

La función inversa es:

f−1(x)=5x+32f^{-1}(x) = \frac{5x + 3}{2}f−1(x)=25x+3​

La función inversa: f-1(x)

Ejercicio:

F(x)= 2x+1

Sustituir F(x) por "y":

y=2x+1

Intercambiar "x" y "y"

x=2y+1

Intercambaimos los lados en la ecuación:

2y+1=x

Movemos la constante al lado derecho para hacerlo negativo:

2y=x-1

Dividimos ambos lados entre 2:

y=\frac{1}{2}x-1/2

Sustituimos "y" por F^-1(x):

F^-1(x)= \frac{1}{2}x-1/2

Resolver el siguiente ejercicio:

f(x)= 2x+ 5

f⁻¹(x) = (x - 2)² + 1, con x ≥ 2

Resuelvan compañeros

Cl: 0504224874

Resuelve el siguiente ejercicio: f(x)= [(x+6)/3]-(x+3)

a)f(x) -1= -3(x+1)/2

b)f(x) -1= 3(x+1)/2

c)f(x) -1= 3(x-1)/2

d) f(x)-1= -3(x-1)/2

Resuelva:

Sea la función f(x) = 2x - 3 y su inversa f-¹(x). ¿Cuál es el valor de f-¹(5)?

a) 1

b) 4

c) 2

d) -1

y=2x+3

x=2y+3

x=2y+3 x-3=2y y=x-3(2

f-1(x)= x-3(2

f(f-1(x))=f(x-3(2=2.x-3(2+3=X-3+3=x

• Reemplaza f(x) por y: y=2x+3

• Intercambia x e y: x=2y+3

• Despeja y: Resta 3 de ambos lados: x−3=2y

  Divide por 2: 2x−3​=y

• Reemplaza y por f−1(x): La función inversa es: f−1(x)=2x−3​

EJERCICIO PARA RESOLVER:

g(x)=5x−7.

RESUEL EL SIGUIENTE EJERRCICIO

f(x)=x+5

Dadas las funciones:

f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3f(x)=2x+3

y su inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x),

1. Encuentra la función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x).

2. Calcula f−1(7)f^{-1}(7)f−1(7).

3. Verifica que f(f−1(7))=7f(f^{-1}(7)) = 7f(f−1(7))=7.

Solución:

1. Encontrar la inversa:

y=2x+3y = 2x + 3y=2x+3

Intercambiamos xxx y yyy:

x=2y+3x = 2y + 3x=2y+3

Despejamos yyy:

2y=x−3y=x−322y = x - 3 \\ y = \frac{x - 3}{2}2y=x−3y=2x−3​

Por lo tanto,

f−1(x)=x−32f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}f−1(x)=2x−3​

2. Calcular f−1(7)f^{-1}(7)f−1(7):

f−1(7)=7−32=42=2f^{-1}(7) = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2f−1(7)=27−3​=24​=2

3. Verificar que f(f−1(7))=7f(f^{-1}(7)) = 7f(f−1(7))=7:

f(2)=2(2)+3=4+3=7f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7f(2)=2(2)+3=4+3=7

F(x) = 5x+ 7

Para resolver este ejercicio, necesito saber qué necesitas encontrar. Por ejemplo, puedes estar buscando:

1. Evaluar la función para un valor de , como:

¿Cuál es ?

f(2) = 5(2) + 7 = 10 + 7 = 17

2. Igualar la función a un número y resolver la ecuación, por ejemplo:

Si , entonces:

5x + 7 = 22 \\

5x = 22 - 7 = 15 \\

x = \frac{15}{5} = 3

3. Graficar la función, identificar pendiente e intersección con el eje Y.

Mi ejercicio para cualquier compañero :

F(x ) = 9x - 5

C.I: 0953819224

Ejercicio:

Dada la función f(x) = 2x + 3, encuentra su función inversa, f⁻¹(x). 

Solución:

1. Reemplaza f(x) con y: 

y = 2x + 3 

1. Intercambia x e y:

x = 2y + 3 

1. Despeja y:

   • Resta 3 de ambos lados: x - 3 = 2y

   • Divide ambos lados por 2: y = (x - 3) / 2

2. Reemplaza y con f⁻¹(x):

f⁻¹(x) = (x - 3) / 2  

f(f⁻¹(x)) = f((x - 3) / 2) = 2 * ((x - 3) / 2) + 3 = (x - 3) + 3 = x f⁻¹(f(x)).

f⁻¹(f(x)) = f⁻¹(2x + 3) = ((2x + 3) - 3) / 2 = 2x / 2 = x

Respuesta:

La función inversa de f(x) = 2x + 3 es f⁻¹(x) = (x - 3) / 2.

Ejercicio:

Sea la función

f(x)=2x+5f(x) = 2x + 5f(x)=2x+5

1. Encuentra la función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)

2. Verifica que f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = xf(f−1(x))=x

(5)-(1)+4-(9)

Problema:

Dadas las siguientes funciones:

• f(x)=3x+2​

• g(x)=5x−4

Encuentra:

1. La función inversa de f(x), denotada como f−1(x).

2. La función inversa de g(x), denotada como g−1(x).

3. El resultado de la operación (f−1∘g−1)(x).

4. El resultado de la operación (g∘f)−1(x).

Para resolver un ejercicio como este, el proceso es el siguiente:

1. Encontrar la función inversa de cada función:

   • Cambia f(x) por y.

   • Intercambia x por y.

   • Despeja la nueva y.

   • El resultado es la función inversa.

2. Realizar la composición de funciones inversas:

   • La notación (f−1∘g−1)(x) significa que debes sustituir la función g−1(x) en cada x de la función f−1(x).

3. Realizar la composición y luego encontrar la inversa:

   • Primero, encuentra la función compuesta (g∘f)(x), que es g(f(x)).

   • Luego, sigue los mismos pasos del punto 1 para encontrar la inversa de esa nueva función compuesta.

Pista importante: El resultado del punto 3 y el punto 4 deben ser iguales, ya que una propiedad de las funciones inversas nos dice que (f∘g)−1(x)=(g−1∘f−1)(x).

f(x) = 3x + 2

1. Encuentra la función inversa f^{-1}(x)

* Paso 1: Sustituye f(x) por y.

y = 3x + 2

* Paso 2: Intercambia x e y.

x = 3y + 2

* Paso 3: Despeja y.

x - 2 = 3y

y = (x - 2) / 3

* La función inversa es:

f^{-1}(x) = (x - 2) / 3

2. Calcula f^{-1}(11)

Para calcular f^{-1}(11), sustituye x por 11 en la función inversa que encontramos:

f^{-1}(11) = (11 - 2) / 3

f^{-1}(11) = 9 / 3

f^{-1}(11) = 3

3. Verifica que f(f^{-1}(11)) = 11

Sabemos que f^{-1}(11) = 3. Ahora, vamos a sustituir este valor en la función original f(x):

f(f^{-1}(11)) = f(3)

f(3) = 3(3) + 2

f(3) = 9 + 2

f(3) = 11

Verificación: Se cumple que f(f^{-1}(11)) = 11.

Respuesta del ejercicio de un compañero

f (x) = 5x-8

y= 5x - 8

x = 5y - 8

x + 8 = 5y

x + 8 / 5 = y

f-1 (x) = x+8/5

Ejercicio a resolver para un compañero

f ( x ) = 4x + 7

f(x)=3x+4​,f−1(x)=3x−4

f(f−1(x))yf−1(f(x))

f(x)=x−1​,g(x)=x2+1

Dada la función f(x) = x³ + 2, encontrar su función inversa g(x) y verificar la composición. 

1. Reemplazar f(x) por y: y = x³ + 2

2. Intercambiar x e y: x = y³ + 2

3. Despejar y:

   • x - 2 = y³

   • y = ∛(x - 2)

4. Reemplazar y por g(x): g(x) = ∛(x - 2)

5. Verificar la composición:

   • f(g(x)) = (∛(x - 2))³ + 2 = x - 2 + 2 = x

   • g(f(x)) = ∛((x³ + 2) - 2) = ∛(x³) = x

respuesta resuelto de mi compañer:

Pasos para encontrar la función inversa:

1. Reemplazar f(x) por y: y = 2x - 1

2. Intercambiar x e y: x = 2y - 1

3. Despejar y:

   • x + 1 = 2y

   • y = (x + 1) / 2

4. Reemplazar y por g(x): g(x) = (x + 1) / 2

5. Verificar la composición:

   • f(g(x)) = 2 * ((x + 1) / 2) - 1 = x + 1 - 1 = x

   • g(f(x)) = ((2x - 1) + 1) / 2 = 2x / 2 = x 

F-1(x)?

REPUESTA DE MI COMPAÑERO DANIEL GEOVANY ZAMORA PANTA: ¿f(x) =2x-6 cuál es la función inversa f-1(x)?

REPUESTA:

F-1(X)=2X-3

y=2x-3

y=2x-3

X+3=2y-3+3

X+3=2y

X+3

------- =y

2

Es (x) más tres sobre dos igual a (Y)

5 ( y + x ) = 20

y + x = 20/5 = 4

y = 4 - x

y= 4 - x

Ejercicio para un compañero :

h(x)= 5 x + 3 ​/ 2 =

a) Inversa de f(x)=2x+3f(x)=2x-3:

1. Cambiamos f(x)f(x) por Y:

   y=2x+3Y=2x-3

2. Intercambiamos x e Y:

   x=2y+3x=2Y-3

3. Despejamos Y:

   x−3=2yx-3=2Yy=x−32Y=2x-3​

4. La inversa es:

   f−1(x)=x−32f- 1(x)=2x-3​​

Resuelva funciones inversa

f(x) = 6x+8

f(x) = 2x + 3

Reemplaza f(x) con y: 

y = 2x + 3 

Intercambia x e y:

x = 2y + 3 

Despeja y:

x - = 2y
y = (x 3- 3) / 2 

Ejercicios

a. f(x)=9x+4, encuentra f−1(x)

b. Encuentra la inversa de la función f(x)=6x−6

Dada la función:
f(x)=x+2

a) Encuentra la función inversa f−1(x)
b) Verifica que f(f−1(x))=x
c) Calcula f−1(7)

Ejercicio resuelto de un compañero

f(x)=3x−5

a) f−1(x)=x+5 sobre3

b) f(f−1(x))=x

c) f−1(10)=5

Ejercicio

Dada la función f(x)=2x+1x−3f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}f(x)=x−32x+1​,

calcula su función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x).

🔑 Pasos para resolverlo (método estándar)

1. Escribimos la función como y=f(x)y = f(x)y=f(x):
   y=2x+1x−3 y = \frac{2x + 1}{x - 3}y=x−32x+1​

2. Intercambiamos xxx y yyy:
   x=2y+1y−3 x = \frac{2y + 1}{y - 3}x=y−32y+1​

3. Despejamos yyy:
   x(y−3)=2y+1  ⟹  xy−3x=2y+1  ⟹  xy−2y=3x+1  ⟹  y(x−2)=3x+1 x(y - 3) = 2y + 1 \implies xy - 3x = 2y + 1 \implies xy - 2y = 3x + 1 \implies y(x - 2) = 3x + 1x(y−3)=2y+1⟹xy−3x=2y+1⟹xy−2y=3x+1⟹y(x−2)=3x+1
   y=3x+1x−2 y = \frac{3x + 1}{x - 2}y=x−23x+1​

4. Cambiamos el nombre de la variable de salida a f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x):
   f−1(x)=3x+1x−2 \boxed{f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}}f−1(x)=x−23x+1​​

a) Encuentra la función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)
b) Verifica que f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = xf(f−1(x))=x

Paso 1: Escribe la función original:

f(x)=2x−35f(x) = \frac{2x - 3}{5}f(x)=52x−3​

Paso 2: Cambia f(x)f(x)f(x) por yyy:

y=2x−35y = \frac{2x - 3}{5}y=52x−3​

Paso 3: Intercambia xxx y yyy:

x=2y−35x = \frac{2y - 3}{5}x=52y−3​

Paso 4: Despeja yyy (esto es hallar la inversa):

Multiplica ambos lados por 5:

5x=2y−35x = 2y - 35x=2y−3

Suma 3 a ambos lados:

5x+3=2y5x + 3 = 2y5x+3=2y

Divide entre 2:

y=5x+32y = \frac{5x + 3}{2}y=25x+3​

Entonces, la función inversa es:

f−1(x)=5x+32f^{-1}(x) = \frac{5x + 3}{2}f−1(x)=25x+3​

Sustituye f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x) en la función original:

f(f−1(x))=f(5x+32)f(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{5x + 3}{2}\right)f(f−1(x))=f(25x+3​)

Recuerda que:

f(x)=2x−35f(x) = \frac{2x - 3}{5}f(x)=52x−3​

Entonces:

f(5x+32)=2(5x+32)−35f\left(\frac{5x + 3}{2}\right) = \frac{2\left(\frac{5x + 3}{2}\right) - 3}{5}f(25x+3​)=52(25x+3​)−3​

Multiplicamos dentro del paréntesis:

=(5x+3)−35= \frac{(5x + 3) - 3}{5}=5(5x+3)−3​=5x5=x= \frac{5x}{5} = x=55x​=x

respuesta: f(f−1(x))=x

f(x)=3x+4

• f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3f(x)=2x+3

• g(x)=x−32g(x) = \frac{x - 3}{2}g(x)=2x−3​

Demuestra que f y g son funciones inversas realizando:
f(g(x))f(g(x))f(g(x)) y g(f(x))g(f(x))g(f(x))

Resolución:

1. Verificamos f(g(x))f(g(x))f(g(x)):

f(g(x))=f(x−32)=2(x−32)+3=(x−3)+3=xf(g(x)) = f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = 2\left(\frac{x - 3}{2}\right) + 3 = (x - 3) + 3 = xf(g(x))=f(2x−3​)=2(2x−3​)+3=(x−3)+3=x

Por tanto, f(g(x))=xf(g(x)) = xf(g(x))=x

2. Verificamos g(f(x))g(f(x))g(f(x)):

g(f(x))=g(2x+3)=(2x+3)−32=2x2=xg(f(x)) = g(2x + 3) = \frac{(2x + 3) - 3}{2} = \frac{2x}{2} = xg(f(x))=g(2x+3)=2(2x+3)−3​=22x​=x

Por tanto, g(f(x))=xg(f(x)) = xg(f(x))=x

Conclusión:
Como f(g(x))=xf(g(x)) = xf(g(x))=x y g(f(x))=xg(f(x)) = xg(f(x))=x, entonces f y g son funciones inversas.

Ejercicio resuelto de otro compañero:

Ejercicio de Ana:
Hallar la función inversa de:
f(x)=5x−1f(x) = 5x - 1f(x)=5x−1

Resolución:

1. Escribimos y=5x−1y = 5x - 1y=5x−1

2. Intercambiamos x y y:
     x=5y−1x = 5y - 1x=5y−1

3. Despejamos y:
     x+1=5yx + 1 = 5yx+1=5y
     y=x+15y = \frac{x + 1}{5}y=5x+1​

Entonces, la inversa es:

f−1(x)=x+15f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{5}f−1(x)=5x+1​

• EJERCICIO PROPUESTO

• EJERCICIO RESUELTO DE UN COMPAÑERO

Y=2X+1

X=2Y+1

2Y+1=X

2Y=X-1

Y1/2X-1/2

F-1(X)=1/2X-1/2

EJERCICO RESUELTO DEUN COMPAÑERO

Ejercicio:

Dada la función f(x) = 2x + 3, encuentra su función inversa, f⁻¹(x). 

Solución:

1. Reemplaza f(x) con y: 

y = 2x + 3 

1. Intercambia x e y:

x = 2y + 3 

1. Despeja y:

   • Resta 3 a ambos lados: x - 3 = 2y

   • Divide ambos lados por 2: y = (x - 3) / 2

2. Reemplaza y con f⁻¹(x):

f⁻¹(x) = (x - 3) / 2 

Verificación:

Para verificar que f⁻¹(x) es la inversa correcta, puedes componer las funciones: f(f⁻¹(x)) = x. 

f((x - 3) / 2) = 2 * ((x - 3) / 2) + 3 = (x - 3) + 3 = x f⁻¹(f(x)) = x. 

f⁻¹(2x + 3) = (2x + 3 - 3) / 2 = 2x / 2 = x

Ambas composiciones resultan en x, lo que confirma que f⁻¹(x) = (x - 3) / 2 es la función inversa correcta.

f(x)=5x-8

y=5x-8

x=5y-8

x-8=5y

(x-8)/5=y

f^-1(x)=(x-8)/5

Problema a resolver

y=x+3/x-2

suma de dos funciones inversas

f(x)=x1​,g(x)=x2​

f(x)+g(x)=x1​+x2​=x3​

ejercicio de compañero resuelto

pregunta

f(x) =5x-8 = f(x)= 1/5x + 8/5

respuesta

y=5-8

x=5y-8

5y=x+8

y=1/5x + 8/5

Dada la función f(x)=3x−7encuentra la función inversa f^−1(x).

.

Opciones:

a) f^−1(x)=x+7​/3

b) f^−1(x)=3x+7

c) f^−1(x)=3x−7​/2

d) f^−1(x)=x−7/2

✅ Ejercicio.

Dada la función:

f(x) = 4x + 1

Solución:

1. Escribimos:

y = 4x + 1

2. Intercambiamos y :

x = 4y + 1

3. Despejamos :

x - 1 = 4y \Rightarrow y = \dfrac{x - 1}{4}

4. Función inversa:

f^{-1}(x) = \dfrac{x - 1}{4}

✍ Ejercicio para resolver

Dada la función:

f(x) = \dfrac{x + 3}{2}

👉 Encuentra su función inversa

f(x)=3x−5

ejercicio resuelto de un compañero:

1. Funciones dadas:

   • f(x)=2x+3f(x)=2x+3

   • g(x)=x−32g(x)=2x−3​

2. Paso 1: Encontrar las funciones inversas.

   • Para f(x)f(x):

     • Intercambiamos xx y yy: y=2x+3y=2x+3 x=2y+3x=2y+3 Resolviendo para yy: 2y=x−3⇒y=x−322y=x−3⇒y=2x−3​ Por lo tanto, f−1(x)=x−32f−1(x)=2x−3​.

   • Para g(x)g(x):

     • Intercambiamos xx y yy: y=x−32y=2x−3​ x=y−32x=2y−3​ Resolviendo para yy: 2x=y−3⇒y=2x+32x=y−3⇒y=2x+3 Por lo tanto, g−1(x)=2x+3g−1(x)=2x+3.

3. Paso 2: Verificar que ff y gg son funciones inversas.

   • Comprobación:

     • f(g(x))f(g(x)): f(g(x))=f(x−32)=2(x−32)+3=x−3+3=xf(g(x))=f(2x−3​)=2(2x−3​)+3=x−3+3=x

     • g(f(x))g(f(x)): g(f(x))=g(2x+3)=(2x+3)−32=2x2=xg(f(x))=g(2x+3)=2(2x+3)−3​=22x​=x

       
       

f(x)=2x−35,f(x) = \frac{2x - 3}{5},f(x)=52x−3​,

encuentra su función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x), y verifica que

f(f−1(x))=xyf−1(f(x))=x.f(f^{-1}(x)) = x \quad \text{y} \quad f^{-1}(f(x)) = x.f(f−1(x))=xyf−1(f(x))=x.

🔹 Paso 1: Encontrar la inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)

Partimos de:

y=2x−35y = \frac{2x - 3}{5}y=52x−3​

Intercambiamos xxx y yyy:

x=2y−35x = \frac{2y - 3}{5}x=52y−3​

Ahora despejamos yyy:

1. Multiplicamos ambos lados por 5:

5x=2y−35x = 2y - 35x=2y−3

2. Sumamos 3:

5x+3=2y5x + 3 = 2y5x+3=2y

3. Dividimos entre 2:

y=5x+32y = \frac{5x + 3}{2}y=25x+3​

Entonces la inversa es:

f−1(x)=5x+32f^{-1}(x) = \frac{5x + 3}{2}f−1(x)=25x+3​

🔹 Paso 2: Verificar que las funciones son inversas

a) Verificar f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = xf(f−1(x))=x

f(f−1(x))=f(5x+32)f(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{5x + 3}{2}\right)f(f−1(x))=f(25x+3​)

Sustituimos en f(x)=2x−35f(x) = \frac{2x - 3}{5}f(x)=52x−3​:

=2(5x+32)−35= \frac{2\left(\frac{5x + 3}{2}\right) - 3}{5}=52(25x+3​)−3​

Multiplicamos:

=(5x+3)−35=5x5=x= \frac{(5x + 3) - 3}{5} = \frac{5x}{5} = x=5(5x+3)−3​=55x​=x

✅ Se cumple.

b) Verificar f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = xf−1(f(x))=x

f−1(f(x))=f−1(2x−35)f^{-1}(f(x)) = f^{-1}\left(\frac{2x - 3}{5}\right)f−1(f(x))=f−1(52x−3​)

Sustituimos en f−1(x)=5x+32f^{-1}(x) = \frac{5x + 3}{2}f−1(x)=25x+3​:

=5(2x−35)+32= \frac{5\left(\frac{2x - 3}{5}\right) + 3}{2}=25(52x−3​)+3​

Multiplicamos:

=(2x−3)+32=2x2=x= \frac{(2x - 3) + 3}{2} = \frac{2x}{2} = x=2(2x−3)+3​=22x​=x

✅ También se cumple.

✅ Resultado final:

• La inversa de f(x)=2x−35f(x) = \frac{2x - 3}{5}f(x)=52x−3​ es

  f−1(x)=5x+32f^{-1}(x) = \frac{5x + 3}{2}f−1(x)=25x+3​

f(x) = x + 3

1. Encuentra su función inversa f⁻¹(x).

2. Verifica que f(f⁻¹(x)) = x.

3. Calcula f⁻¹(10).

Dada la función:
f(x)=2x−3/5​

a) Determina si la función f(x) tiene inversa.
b) Halla la función inversa f^−1(x)

El ejercicio resuelto es:

hallar la función inversa f(x)=3x-5

y=3x−5y

x=3y−5x

x+5=3y

y=x+5/3

f^−1(x)=x+5​/3

\frac{2x - 3} f(x) = 2x - 35f(x) = \{5\} * f(x) = 52x - 3

1. Halla la función inversa

f - (x) * f ^ \{- 1\} (x) * f - (x)

2. Verifica que

3.

f(f - (x)) =xf(f ^{-1}(x)) = xf(f - (x)) = x y f - (f(x)) = xf ^ \{- 1\}(f(x)) = xf - (f(x)) = x

Para encontrar la función inversa de f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2f(x)=3x+2:

• Reemplazamos f(x)f(x)f(x) por yyy:

  y=3x+2y = 3x + 2y=3x+2

• Intercambiamos xxx y yyy:

  x=3y+2x = 3y + 2x=3y+2

• Despejamos yyy:

  x−2=3yx - 2 = 3yx−2=3y

  y=x−23y = \frac{x - 2}{3}y=3x−2​

Por lo tanto, la función inversa es:

f−1(x)=x−23f^{-1}(x) = \frac{x - 2}{3}f−1(x)=3x−2​

2. Composición f(g(x))f(g(x))f(g(x))

Sustituimos g(x)g(x)g(x) en f(x)f(x)f(x):

• f(g(x))=f(x−23)f(g(x)) = f\left( \frac{x - 2}{3} \right)f(g(x))=f(3x−2​)

• f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2f(x)=3x+2, por lo que:

  f(x−23)=3(x−23)+2f\left( \frac{x - 2}{3} \right) = 3\left( \frac{x - 2}{3} \right) + 2f(3x−2​)=3(3x−2​)+2

• Simplificamos:

  f(g(x))=x−2+2=xf(g(x)) = x - 2 + 2 = xf(g(x))=x−2+2=x

3. Composición g(f(x))g(f(x))g(f(x))

Sustituimos f(x)f(x)f(x) en g(x)g(x)g(x):

• g(f(x))=g(3x+2)g(f(x)) = g(3x + 2)g(f(x))=g(3x+2)

• g(x)=x−23g(x) = \frac{x - 2}{3}g(x)=3x−2​, por lo que:

  g(3x+2)=(3x+2)−23g(3x + 2) = \frac{(3x + 2) - 2}{3}g(3x+2)=3(3x+2)−2​

• Simplificamos:

  g(f(x))=3x3=xg(f(x)) = \frac{3x}{3} = xg(f(x))=33x​=x

4. Verificación de las propiedades inversas

• f−1(f(x))=f−1(3x+2)=(3x+2)−23=3x3=xf^{-1}(f(x)) = f^{-1}(3x + 2) = \frac{(3x + 2) - 2}{3} = \frac{3x}{3} = xf−1(f(x))=f−1(3x+2)=3(3x+2)−2​=33x​=x

• g−1(g(x))=g−1(x−23)=3(x−23)+2=x−2+2=xg^{-1}(g(x)) = g^{-1}\left( \frac{x - 2}{3} \right) = 3\left( \frac{x - 2}{3} \right) + 2 = x - 2 + 2 = xg−1(g(x))=g−1(3x−2​)=3(3x−2​)+2=x−2+2=x

• 
  

Funciones dadas:

• f(x)=2x+1x−3f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}f(x)=x−32x+1​

• g(x)=x+32g(x) = \frac{x + 3}{2}g(x)=2x+3​

Tareas:

1. Encuentra la función inversa de f(x)f(x)f(x).

2. Calcula f(g(x))f(g(x))f(g(x)).

3. Calcula g(f(x))g(f(x))g(f(x)).

4. Verifica que f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = xf−1(f(x))=x y g−1(g(x))=xg^{-1}(g(x)) = xg−1(g(x))=x.

Ejercicio:

Sea la función:

f(x)=x/2-5

Encuentra la función inversa f^−1(x)

Solución:

1. Escribe y=x/2−5

2. Intercambia x y y:

x=y/2−5

3. Despeja y:

x+5=y/2⇒y=2(x+5)

Resultado:

f^−1(x)=2(x+5)

f^{-1}(x).

f(f^{-1}(x)) = x

y = \frac{2x + 3}{5}

x = \frac{2y + 3}{5}

5x = 2y + 3

5x - 3 = 2yf(x) = \frac{2x + 3}{5}

f^{-1}(x).

f(f^{-1}(x)) = x.

y = \frac{2x + 3}{5}

x = \frac{2y + 3}{5}

5x = 2y + 3

5x - 3 = 2y

f^{-1}(x) = \frac{5x - 3}{2}

y = \frac{5x - 3}{2}

f^{-1}(x) = \frac{5x - 3}{2}

-6+12=6

6+4=10

10+9=19

Inversa =-19

-((-6)+12-(-4+9))=19

1. Escribimos la función:

   y=2x−35y = \frac{2x - 3}{5}y=52x−3​

2. Intercambiamos xxx y yyy:

   x=2y−35x = \frac{2y - 3}{5}x=52y−3​

3. Despejamos yyy:
   Multiplicamos ambos lados por 5:

   5x=2y−35x = 2y - 35x=2y−3

   Sumamos 3 a ambos lados:

   5x+3=2y5x + 3 = 2y5x+3=2y

   Dividimos entre 2:

   y=5x+32y = \frac{5x + 3}{2}y=25x+3​

f−1(x)=25x+3​

Y se cumple que:

f(f−1(x))=xyf−1(f(x))=xf(f^{-1}(x)) = x \quad \text{y} \quad f^{-1}(f(x)) = xf(f−1(x))=xyf−1(f(x))=x

1. Escribimos :

y = 2x + 3

2. Intercambiamos y para hallar la inversa:

x = 2y + 3

3. Despejamos :

x - 3 = 2y

y = \frac{x - 3}{2} 

4. Entonces, la función inversa es:

f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}

y=2x+5

x=2y+5

x−5=2y

y=2x−5​

f−1(x)=2x−5​

ejercicio a resolver.: f(x)=3x+1

resolver la inversa

· f(x)=3x−5

· g(x)=52x+1​

f(x)= 3x-1/4

Halla la función inversa f-1(x)

Paso 1: y=3x-1/4

x= 3y-1/4

4x= 3y-1

4x+1=3y

y=4x+1/3

f(f-1(x)) = f(4x+1/3) =3.(4x+1/3)-1/4=(4x+1)-1/4=4x/4=x

f-1(f(x))= x

f-1(f(x))=f-1(3x-1/4)=4.(3x-1/4)+1/3=(3x-1)+1/3= x

Ambas cumplen

resultado

f(x)=3x-1/4

f-1(x) = 4x+1/3

f(f-1(x))= x y f-1(f(x)) = x

f

Halla la función inversa

f(x)=3x−4

Proceso

y=3x−4

x=3y−4

Despeja y

3y=x+4 y=x+4/3

Inversa

f−1(x)=x+4​/3

F(x) = 2x + 1

Sustituir F(x) por "y":

y = 2x + 1

Intercambiar "x" y "y"

x = 2y + 1

Intercambiamos los lados en la ecuación:

2y + 1 = x

Movemos la constante al lado derecho para hacerlo negativo:

2y = x – 1

Dividimos ambos lados entre 2:

y = ½x – ½

Sustituimos "y" por F⁻¹(x):

F⁻¹(x) = ½x – ½

Resolver el siguiente ejercicio:

f(x) = 2x + 5

Función inversa

• La función inversa deshace la función original.

• Si f(x)f(x) lleva xx a yy, entonces f−1(y)f−1(y) lleva yy de vuelta a xx.

• Para que exista, la función debe ser inyectiva y sobreyectiva (biyectiva).

• Para encontrarla, despejas xx en la ecuación y=f(x)y=f(x) y luego intercambias xx y yy.

  
  

Ejemplo de función inversa

Función original:

f(x)=3x−4f(x)=3x−4

Paso 1: Escribimos y=3x−4y=3x−4.

Paso 2: Despejamos xx:

y=3x−4  ⟹  3x=y+4  ⟹  x=y+43y=3x−4⟹3x=y+4⟹x=3y+4​

Paso 3: Cambiamos yy por xx para la inversa:

f−1(x)=x+43f−1(x)=3x+4​

Así, f−1(x)f−1(x) es la función que “deshace” lo que hace f(x)f(x).

y=2x+3

x=2y+3

x-3=2y 2x-3=y

f-1(x)=2x-3 //.

° Dos Ejercicios para

resolver:

1: f(x) = 6x + 3

2: f(x) = 5x + 2

Cl: 1727686832

f(x)=6x+8

f(x)=2x+3

Ejercicio de tal resuelto:

f(x)=3x+4

y=3x+4

x-4=3y

x-4/3=y

Respuesta: f(x)=x-4/3

ENCUENTRE LA FUNCION INVERSA DE

F(X)=3X-5/2

f(x) = 6x + 8

Ejercicio de algún compañero

Halla la función inversa:

f(x)=3x-4

Escribir como y

y=3x−4

Intercambiar x y y

x=3y−4

Despejar y

x+4=3y

y=x+4/3

Resultado final:

f-1(x)=x+4/3 ​//.

Ejercicio para resolver:

f(x)=3x+5

f(x)=3x-5

y=3x-5

x=3y-5

x+5=3y

y=(x+5)/3

f^(-1)(x)=(x+5)/3

ejercicio para cualquiera

f(x)=9x-5

Ejercicio

y=2x+3

X=2y+3

X-3=2y 2x-3=y

F-1(X) =2x-3//

Ejercicio para que resuelvan F(X)=3x+2

EJERCICIO:

1. Dada la función f(x)=x−32x+1​, determine el valor de f−1(5).

A.

314​

B.

No existe

C.

316​

D.

2

Ejercicio para resolver:

f(x)=4x+2

Ejercicio de mi compañero f(x)=2x+1

y=2x+1

x=2y+1

x-1=2y

y=(x-1)/2

f^(-1)(x)=(x-1)(2)

• EJERCICIO A RESOLVER DE FUNCION INVERSA:

  f(x)=x+7/x−2​

Solución:

1. Función inversa:

   f−1(x)=x+53f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}f−1(x)=3x+5​

2. Verificación:

   • f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = xf(f−1(x))=x:

     f(f−1(x))=f(x+53)=xf(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{x + 5}{3}\right) = xf(f−1(x))=f(3x+5​)=x

   • f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = xf−1(f(x))=x:

     f−1(f(x))=f−1(3x−5)=xf^{-1}(f(x)) = f^{-1}(3x - 5) = xf−1(f(x))=f−1(3x−5)=x

Respuesta Final:

La función inversa de f(x)=3x−5f(x) = 3x - 5f(x)=3x−5 es:

f−1(x)=x+53f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}f−1(x)=3x+5​

Se verifica que:

f(f−1(x))=xyf−1(f(x))=xf(f^{-1}(x)) = x \quad \text{y} \quad f^{-1}(f(x)) = xf(f−1(x))=xyf−1(f(x))=x

Unidad 4 función inversa

Si f(x) = 2x + 1, entonces: 

f(x) = 2x + 3

1. Sustituimos f(x) por y:

y = 2x + 3

2. Despejamos x:

y - 3 = 2x

x = (y - 3)/2

3. Intercambiamos x y y:

f⁻¹(x) = (x - 3)/2

f(x)=3x-5

y=3x-5

y+5=3x

x=y+5/3

Ejercicio para resolver:

f(x)=7x+5

f(x)=2x+3

y=2x+3

y-3=2x

x=y-3/2

Solución final: f^-1(x)=x-3/2

Encontrar la función inversa de f(x)=2x+3.

1. Sustituir f(x) por y: y=2x+3

2. Intercambiar x e y: x=2y+3

3. Despejar y: x−3=2y 2x−3​=y

4. Sustituir y por f−1(x): f−1(x)=2x−3​

X=3y+2

X-3=2y

X-3÷2

X-3÷2

f(x)=3x-5

g(x)=x+1

Resolviendo el ejercicio del compañero Esteban Sanchez

𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥−4f(x)= x−4x+1

​¿ Cuál es su función inversa 𝑓−1(𝑥)f −1 (x)?

Seleccione una:

• a) 𝑓−1(𝑥)=4𝑥+1𝑥−1f −1 (x)= x−1 4x+1

• b) 𝑓−1(𝑥)=4+𝑥1−𝑥f −1 (x)= 1−x 4+x

• ​c) 𝑓−1(𝑥)=4𝑥−1𝑥−1f −1 (x)= x−1 4x−1

• ​d) 𝑓−1(𝑥)=4𝑥+11−𝑥f −1(x)= 1−x 4x+1

Problema: Encuentra la función inversa de f(x) = 3x - 2.

1: Escribe la función original

f(x) = 3x - 2

2: Cambia f(x) por y

y = 3x - 2

3: Intercambia x e y

x = 3y - 2

4: Resuelve para y

x = 3y - 2

x + 2 = 3y

y = (x + 2) / 3

5: Escribe la función inversa

f^(-1)(x) = (x + 2) / 3

Verificación: Para verificar que la función inversa es correcta, podemos componer f(x) con f^(-1)(x) y verificar que obtenemos x.

f(f^(-1)(x)) = f((x + 2) / 3) = 3((x + 2) / 3) - 2 = x + 2 - 2 = x

Ejercicio para Resolver:

Encuentra la función inversa de f(x) = 2x + 5.

f(x)=x/2-5

y=x/2-5

X=y/2-5

X+5=y/2

2(x+5)=y

2x+10=y

y=2x+10

F-1(x)=2x+10

Solución

Paso 1: Empezamos reemplazando f(x)f(x) con y para facilitar la resolución:

f(x)=3x+4f(x)=3x+4

y=3x+4y=3x+4

Paso 2: Sustituimos a la x con la y y la y con la x:

x=3y+4x=3y+4

Paso 3: Despejamos la y en la ecuación del paso 2:

x=3y+4x=3y+4

x−4=3yx−4=3y

x−43=y3x−4​=y

Paso 4: Cambiamos a la y por f−1(x)f−1(x):

f−1(x)=x−43f−1(x)=3x−4​

Ejercicio:
  f(x) = 2x + 3

¿Cuál es la función inversa de f(x)?

Opciones:

a) f⁻¹(x) = (x + 3) / 2
b) f⁻¹(x) = (x - 3) / 2
c) f⁻¹(x) = 2x - 3
d) f⁻¹(x) = x / 2 - 3

ejercicio resuelto de un compañero:

f(x)=2x+3

y=2x+3

y-3=2x

x=y-3/2

f^-1(x)=x-3/2

Operación inversa de sumar 7 es restar 7: 45 - 7 = 38

Operación inversa de multiplicar por 5 es dividir entre 5: 38 / 5 = 7.6

El número es 7.6

f(x)=x+5.

ejercicio de un compañero

f(x)=3x.

y=3x⇒x=3y⇒y=3x​⇒f−1(x)=3x​

f−1(12)=312​=4

1. Sustituyendo x = 4 en la función:

- f(4) = 2(4) + 3

- f(4) = 8 + 3

- f(4) = 11

−(−4)=+4 (−9)=−9 −6+12+4−9 Positivos: 12+4=16 Negativos: −6−9=−15 La expresión se convierte en: 16−15

Realizar la resta final: 16−15=1

El resultado del ejercicio es 1​.

Encuentra la función inversa de

f(x)=2x+3 y verifica que

f(f −1 (x))=x y f −1 (f(x))=x.

Solución:

La función inversa es:

f −1 (x)= x−3/2

​

Verificaciones:

f(f −1(x))=x y f −1(f(x))=x

1. Halle la función inversa

f - (x) f ^ n (- 1)(x) * f - (x)

2. Verifica que

3. ff-1(x))=x(1-1)(x)})= -1)(x))-xf(t - (x)) = x xt - (f(x)) = x

Alade

f(x)=2x−35f(x) = \frac{2x - 3}{5}f(x)=52x−3​, encuentra su inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x) y verifica que:

• f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = xf(f−1(x))=x

• f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = xf−1(f(x))=x

y=3x+2

X-2=3y

y=x-2/3

F¯¹(x) =x-2/3

Solución:

1. Reemplaza f(x) con y: y = 2x + 3

2. Intercambia x e y: x = 2y + 3

3. Despeja y:

   • x - 3 = 2y

   • y = (x - 3) / 2

4. Reemplaza y con f⁻¹(x): f⁻¹(x) = (x - 3) / 2 

ID: 1106221896

Dada la función
f(x) = (3x + 6)/2,
¿cuál es su función inversa, f⁻¹(x)?

1. Calcula su inversa p−1(x)p^{-1}(x)p−1(x).

2. Verifica que p(p−1(x))=xp(p^{-1}(x)) = xp(p−1(x))=x.

h(x)=5x+10:

• Empiezo con y=5x+10y = 5x + 10y=5x+10.

• Intercambio las variables: x=5y+10x = 5y + 10x=5y+10.

• Despejo yyy:
  x−10=5y⟹y=x−105x - 10 = 5y \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{x - 10}{5}x−10=5y⟹y=5x−10​
  Por lo tanto,
  h−1(x)=x−105h^{-1}(x) = \frac{x - 10}{5}h−1(x)=5x−10​

• Verificación:
  h(h−1(x))=h(x−105)=5⋅x−105+10=(x−10)+10=xh\left(h^{-1}(x)\right) = h\left(\frac{x - 10}{5}\right) = 5 \cdot \frac{x - 10}{5} + 10 = (x - 10) + 10 = xh(h−1(x))=h(5x−10​)=5⋅5x−10​+10=(x−10)+10=x
  También:
  h−1(h(x))=(5x+10)−105=5x5=xh^{-1}(h(x)) = \frac{(5x + 10) - 10}{5} = \frac{5x}{5} = xh−1(h(x))=5(5x+10)−10​=55x​=x

a)f(x)-1= -2(x+1)/2

b)f(x)-1= 2(x+1)/2

c)f(x)-1= 2(x-1)/2

d) f(x)-1= -2(x-1)/2

f(x)=7x+2.

Ejercicio de mi compañero:

f(x) = 2x + 1.

y= 2x+1

x=2y+1

x-1=2y

y=(x-1)/2

f^(-1)(x) = (x - 1)(2)

dada la función

f(x)=2x+1

y=2x+1

x=2y+1

x-1/2=y

f^-1(x)=x-1/2

Encuentra la función inversa de f(x)=2x−3.

Dadas las funciones f(x)=2x+3 y g(x)=x2−1 (para x≥0 para que g(x) tenga una inversa), realiza las siguientes operaciones:

1. Encuentra la función inversa de f(x), denotada como f−1(x).

2. Encuentra la función inversa de g(x), denotada como g−1(x).

3. Calcula la composición de funciones (f∘g)(x).

4. Calcula la inversa de la composición (f∘g)−1(x).

5. Demuestra que (f∘g)−1(x)=(g−1∘f−1)(x).

   solucion de la pregunta del ASP CARPIO GILMAR ELICER

   Planteamiento del Problema:

   Dada la función:

   f(x) = 2x - 3

   (Asumo que la función correcta a trabajar es f(x) = 2x - 3, ya que es la interpretación más coherente con las preguntas subsiguientes. Las otras partes parecen ser anotaciones, problemas no relacionados o errores de escritura).

   El problema pide dos cosas:

   * Hallar la función inversa: f^{-1}(x)

   * Verificar que: f(f^{-1}(x)) = x y f^{-1}(f(x)) = x

   Solución:

   1. Hallar la Función Inversa, f^{-1}(x)

   Dada f(x) = 2x - 3.

   Para encontrar la función inversa, seguimos estos pasos:

   * Paso 1: Reemplazar f(x) por y.

   y = 2x - 3

   * Paso 2: Intercambiar x e y.

   x = 2y - 3

   * Paso 3: Despejar y.

   Sumar 3 a ambos lados:

   x + 3 = 2y

   Dividir por 2:

   y = \frac{x + 3}{2}

   * Paso 4: Reemplazar y por f^{-1}(x).

   f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{2}

   Entonces, la función inversa es f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{2}.

   2. Verificación

   Necesitamos verificar que f(f^{-1}(x)) = x y f^{-1}(f(x)) = x.

   a) Verificar f(f^{-1}(x)) = x

   Sustituir f^{-1}(x) en f(x):

   f(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{x + 3}{2}\right)

   Como f(x) = 2x - 3, reemplazar x por \frac{x + 3}{2}:

   f\left(\frac{x + 3}{2}\right) = 2\left(\frac{x + 3}{2}\right) - 3

   = (x + 3) - 3

   = x + 3 - 3

   = x

   Por lo tanto, se verifica que f(f^{-1}(x)) = x.

   b) Verificar f^{-1}(f(x)) = x

   Sustituir f(x) en f^{-1}(x):

   f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x - 3)

   Como f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{2}, reemplazar x por 2x - 3:

   f^{-1}(2x - 3) = \frac{(2x - 3) + 3}{2}

   = \frac{2x - 3 + 3}{2}

   = \frac{2x}{2}

   = x

   Por lo tanto, se verifica que f^{-1}(f(x)) = x.

   Resumen de Resultados:

   Dada la función f(x) = 2x - 3:

   * La función inversa es f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{2}.

   * Verificación:

   * f(f^{-1}(x)) = x

   * f^{-1}(f(x)) = x

Ejemplo:

Si f(x)=2x, su inversa es f−1(x)=x/2. Por ejemplo,

f−1(8)=8/2=4

En efecto, la imagen de 4 es 8:

f(4)=2⋅4=8

f(x)=2x+3

f(x)=2x+3

y=2x+3

x=2y+3

x-3=2y= >y = (x-3)/2

f(f^(-1)(x)=f((x-3)/2)=2((x-3)/2)+3=x-3+3=x

f(x)=2x+3

f^(-1)(x)=(x-3)/2

EJERCICIO DE RESOLVER

f(x)=x^2-4

f(x)=3x−25f(x)=53x−2​

f(x)=3x−25f(x)=53x−2​

f−1(x)=5x+23f−1(x)=35x+2​

f(f−1(x))=f(5x+23)=xf(f−1(x))=f(35x+2​)=x

f−1(f(x))=f−1(3x−25)=xf−1(f(x))=f−1(53x−2​)=x

Función inversa

f(x)=2x+3/x-1

f(4)=2(4)+3=8+3=11

f(4)=11f(4) = 11f(4)=11

Sea la función:
f(x)=2x−35f(x) = \frac{2x - 3}{5}f(x)=52x−3​

a) Halla la función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x).
b) Verifica que f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = xf(f−1(x))=x y f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = xf−1(f(x))=x.
c) Evalúa f−1(7)f^{-1}(7)f−1(7).

Dada la función:

f(x) = 2x + 3

---

Paso 1: Reescribe la función como una ecuación con “y”

y = 2x + 3

---

Paso 2: Intercambia y

Esto se hace porque queremos deshacer la función original:

x = 2y + 3

---

Paso 3: Despeja

x - 3 = 2y \\

y = \frac{x - 3}{2}

---

Paso 4: Escribe la función inversa

f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}

---

Respuesta final:

f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}

CI. 1250703822

CI:1753793718

CI0941779670

f(x)=2x+1

y=2x+1

x=2y+1

x-1=2y

x-1 / 2=y

y= x-1 / 2

Ejercicio para un compañero

f(x)=5x-6

Y=3X+5

X=3Y+5

X−5=3Y

X-5/3=Y

f^-1(x)= x-5/3

PARA RESOLVER

f(x) = 2x + 3

h(x)=2x​+3:

Reemplazamos h(x) por y: y=2x​+3

Intercambiamos x e y: x=2y​+3

Despejamos y: x−3=2y​ 2(x−3)=y y=2x−6

h−1(x)=2x−6

h(h−1(x))=x:

Ahora, sustituimos h−1(x) en la función original h(x): h(h−1(x))=h(2x−6) h(h−1(x))=2(2x−6)​+3 h(h−1(x))=(x−3)+3 h(h−1(x))=x

y=4x−2

• x=4y−2

• x+2=4y

• 4x+2​=y

• f−1(x)=4x+2​

  ejercicio a resolver=

  f(x)=5x−2

  
  

f(x)=2x−3

y=2x−3

x=2y−3

x+3=2y y=x+32y = \frac{x + 3}{2}y=2x+3​

f−1(x)=2x+3​

Resultado:

f−1(x)=x+32\boxed{f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{2}}f−1(x)=2x+3​​

g(x)= -7x+6

10

Ejercicio resuelto

F(x)= 3x-5

Y= 3x-5

X= 3y-5

X+5= 3y

Y= X+5

3

F–¹(x)= X+5

3

Ejercicio

f(x)= 3(4+2x)

ejercicio de un compañero

f(x)=3x-5

y=3x-5

x=3y-5

x+5=3y

y=(x+5) / 3

f'(-1)(x)= (x+5)/3

(6)+12-(8)+(-15)

f(x)=9x-11

a). y= x-11/9

b) y= x+11/9

c). y= x+7

d). y= x+11

Charco Lenin Javier. Resolución del ejercicio

inversa:

y=2x+3

x=2y+3

Añadir comentario

x-3=2y 2x-3=y

f-1(x)=2x-3 //.

Ejercicio para resolver:

f(x) = 2x + 3

f (x) = 7x

f(x)= x-5/2

Encuentra la funcion inversa f^-1 (x)

(

𝑥

)

=

2

𝑥

+

5

f(x)=2x+5

Encuentra su función inversa

𝑓

−

1

(

𝑥

)

f

−1

(x).

Verifica que realmente son inversas comprobando que:

𝑓

(

𝑓

−

1

(

𝑥

)

)

=

𝑥

y

𝑓

−

1

(

𝑓

(

𝑥

)

)

=

𝑥

f(f

−1

(x))=xyf

−1

(f(x))=x

a)f(x)-1= -3(x+1)/2

b)f(x)-1= 3(x+1)/2

c)f(x)-1= 3(x-1)/2

d) f(x)-1= -3(x-1)/2

(a) f (x) = 5x + 3.

(b) g(x) = √2 − 3x.

(c) h(x) = 2x + 1

(d) f (x) = x7 + 1.

(e) g(x) = 7

EJERCICIO

F(x) =3x-6

y=3x-6

x=3y-6

x+6=3x

y=(x+6)/3

Respuesta.

F^(-1)(x)=(x+6)/ 3

Hallar la función inversa de f(x) = 2x + 1. 

1. Reemplazar f(x) con y: 

y = 2x + 1 

1. Intercambiar x e y:

x = 2y + 1 

1. Despejar y:

x - 1 = 2y
y = (x - 1) / 2 

1. Reemplazar y con f⁻¹(x): 

f⁻¹(x) = (x - 1) / 2 

EJERCICIO POR RESOLVER:

f(x) = (3x + 2) / (2x - 5).  

f(x)=2x−35f(x) = \frac{2x - 3}{5}f(x)=52x−3​

Encuentra su función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)

f(x) = [(x+6)/3] - (x+3)

Para restar las expresiones, necesitamos un denominador común, que es 3.

f(x) = (x+6)/3 - 3(x+3)/3

f(x) = (x+6 - 3(x+3))/3

f(x) = (x+6 - 3x - 9)/3

f(x) = (-2x - 3)/3

F(x)= 10x+9-21

Y= 10x+9-21

X= 10y+9-21

X-9+21= 10y

X+12= 10y

Y= x+12/10

Para Resolver:

F(x)= 5x-25

Instrucciones: Deriva la siguiente función con respecto a x.

f(x)=3sinh⁡(x)+2cosh⁡(x)f(x) =

f(x) =2x+3

x-1

remplazamos f(x), por "y" para que se haga mas facil

y=x+2/4

x=y+2/4

4x=y+2

y=4x-2

Respuesta; F(X)=4X-2

Ejercicio resuelto es f(x) = 3x -5

y= 3x -5

x=3y-5

x+5=3y

3(x+5)=y

3x+15=y

f −1 (x) =3x+15

f(x) = 3x+4

f(x)=2x−3.

Resuelve la siguiente operación:

Halla la función inversa:

1.) Y= 4X + 6

Y - 6 = 4X

Y-6/4 = X

Reemplazamos "X" por "Y":

Respuesta final :

X-6/4 = Y

Resuelve el siguiente ejercicio:

1. F(x)= 8x + 16=?

2. F(x)= 4x - 6=?

f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2f(x)=3x+2

a) Encuentra su función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x).
b) Verifica que f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = xf(f−1(x))=x y que f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = xf−1(f(x))=x.

Ejercicio:

Sea la función f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3f(x)=2x+3.

1. Encuentra la función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x).

2. Verifica que f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = xf(f−1(x))=x.

Solución:

1. Para encontrar f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x):

y=2x+3y = 2x + 3y=2x+3

Intercambiamos xxx y yyy:

x=2y+3x = 2y + 3x=2y+3

Despejamos yyy:

2y=x−32y = x - 32y=x−3y=x−32y = \frac{x - 3}{2}y=2x−3​

Por lo tanto,

f−1(x)=x−32f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}f−1(x)=2x−3​

2. Verificamos:

f(f−1(x))=f(x−32)=2⋅x−32+3=(x−3)+3=xf(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = 2 \cdot \frac{x - 3}{2} + 3 = (x - 3) + 3 = xf(f−1(x))=f(2x−3​)=2⋅2x−3​+3=(x−3)+3=x

f(x)=2x−3.

Solución

Paso 1: Reemplazamos a f(x)f(x) con y:

f(x)=2x−3f(x)=2x−3

y=2x−3y=2x−3

Paso 2: Intercambiamos las variables x y y:

x=2y−3x=2y−3

Paso 3: Resolvemos la ecuación obtenida para y:

x=2y−3x=2y−3

x+3=2yx+3=2y

x+32=y2x+3​=y

Paso 4: Reemplazamos a la y por f−1(x)f−1(x):

f−1(x)=x+32f−1(x)=2x+3​

C.I. 0606043198

Sea la función f(x) = 2x + 3 .

2.Encuentra la función inversa f^{-1}(x) .

3.Verifica que f(f^{-1}(x)) = x y f^{-1}(f(x)) = x .

Si f(x) y g(x) son funciones inversas una de la otra, qué se cumple para (f∘g)(x)?

A.(f∘g)(x)=x

B.(f∘g)(x)=0

C.(f∘g)(x)=f(x)

D.(f∘g)(x)=1

1. Reemplazamos h(x) por y: y = 3x – 1.

2. Intercambiamos x y y: x = 3y – 1.

3. Aislamos y: y = (x + 1) / 3.

4. Por lo tanto, h^-1(x) = (x + 1) / 3.

f(x)= 7x-5

Ejercicio resuelto de un compañero:

                              f(x)= 2x+3

y=2x+3

y-3=2x

x=y-3/2

Respuesta final: f^-1(x)=x-3/2

: F(X)=3X-5

Y= 3X-5

X=3Y-5

X+5=3Y

X+5/3=Y

Encontrar la función inversa de:

f(x)=(3x-2)/(x+3)

Ejercicio resuelto de un compañero:

Función inversa de:

f(x)= 2x+3

y= 2x+3

x=2y+3

x-3=2y

y= (x-3)/2

respuesta: f^(-1) (x)= (x-3)/2

f(x)=3x−6

• Escribe y=3x+1y = 3x + 1y=3x+1

• Intercambia xxx y yyy:
    x=3y+1x = 3y + 1x=3y+1

• Resuelve para yyy:
    y=x−13y = \frac{x - 1}{3}y=3x−1​

• INVERSA

• f−1(x)=3x−1​

Realizar la resta final: 16−15=1

El resultado del ejercicio es 1​

Resuelva la siguiente operación:

Halla la función inversa:

1. F(x)= 8x + 16 =

2. Y= 8x + 16

3. Y - 16 = 8x

   Reemplazamos "x" por "y"

   Respuesta final:

4. x - 16/8 = y

Resuelve el siguiente ejercicio:

1. F(x)= 5x - 14=?

2. F(x)= 2x + 9=?

Sean las funciones:

f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1f(x)=2x+1

y su inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x).

1. Encuentra la función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x).

2. Calcula (f∘f−1)(3)(f \circ f^{-1})(3)(f∘f−1)(3).

3. Calcula (f−1∘f)(5)(f^{-1} \circ f)(5)(f−1∘f)(5).

Ejercicio resuelto

Ejercicio:

Dada la función:

f(x)=3x−5f(x) = 3x - 5f(x)=3x−5

Encuentra su función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x).

Solución:

y=3x−5y = 3x - 5y=3x−5

x=3y−5x = 3y - 5x=3y−5

3y=x+53y = x + 53y=x+5y=x+53y = \frac{x + 5}{3}y=3x+5​

f−1(x)=x+53f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}f−1(x)=3x+5​

Encontrar la función inversa de:

f(x)=(x+3)/(3x-2)

y=x+3/3x−2

x=y+3/3y−2​

x(y+3)=3y−2

xy+3x=3y−2

xy−3y=−2−3x

y(x−3)=−2−3x

y=−2−3x​/x-3

f−1(x)=x−3−3x−2

Resuelva los siguientes ejercicios:

Dadas las funciones

1. f(x)=3x+2.

2. g(x)=(x/4)−5

Encuentra la función inversa f−1(x) y g-1(x).

Sea la función:

f(x)=3x−42f(x) = \frac{3x - 4}{2}f(x)=23x−4​

1. Encuentra la función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x).
2. Verifica que f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = xf(f−1(x))=x y f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = xf−1(f(x))=x.

Dada la función f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2f(x)=3x+2, ¿cuál es su función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)?

Seleccione una:

a) f−1(x)=x+23f^{-1}(x) = \dfrac{x + 2}{3}f−1(x)=3x+2​
b) f−1(x)=x−23f^{-1}(x) = \dfrac{x - 2}{3}f−1(x)=3x−2​
c) f−1(x)=3x−2f^{-1}(x) = 3x - 2f−1(x)=3x−2
d) f−1(x)=x3−2f^{-1}(x) = \dfrac{x}{3} - 2f−1(x)=3x​−2

2 Despera la variable . Por lo que obtenemos una expresión de la forma

3 En sustituye las por .

4 Por último, cambia el del lado izquierdo por .

A. F− 1( x )=2 x − 1x + 3​

B. F− 1( x )=x − 23 x + 1​

C. F− 1( x )=x + 23 x − 1​

D.F− 1( x )=2x + 1​x − 3​

Ejercicio de un compañero: g(x)=5x-7

Remplazamos g(x) con y:

y= 5x-7

Intercambia x e y:

x= 5y -7

Despeja y:

x+7=5y

y= fracx + 75

Remplaza y con g^-1(x):

g^-1(x)=

fracx + 75

la función inversa es:

g^-1(x)=x+7/5

f(x)=2x-1

solución:

y=2x-3

x=2y-3

x+3=2y

y=x/3 + 3/2

Resuelva el siguiente ejercicio

f(x)=5x^10 - 3x^4 +2

C.I: 1755015318

EJERCICIO RESUELTO: y = 2x - 6

y = 2x - 6

Despejar y

Sumar 6 a ambos lados: x + 6 = 2y

Dividir ambos lados por 2: (x + 6) / 2 = y

Reemplazar y con f⁻¹(x):

f⁻¹(x) = (x + 6) / 2 respuesta

F(x)=6x+8.

f(x)=2x−35f(x) = \frac{2x - 3}{5}f(x)=52x−3​

ejercicio resuelto de un compañero

Encontrar la función inversa F−1(x)F^{-1}(x)F−1(x)

1. Escribimos la función con y:

y=2x+1y = 2x + 1y=2x+1

2. Intercambiamos x y y para hallar la inversa:

x=2y+1x = 2y + 1x=2y+1

3. Resolvemos para y:

x−1=2yy=x−12x - 1 = 2y \\ y = \frac{x - 1}{2}x−1=2yy=2x−1​

✨ Resultado:

F−1(x)=x−12F^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2}F−1(x)=2x−1​

1. Encuentra la función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x).

Sea f(x) = y , entonces y = 3x.

x y: x = 3y.

y: y =x/3.

f^-1(x) = x/3.

= f^-1(x) =x/3.

Ejercicio planteado para un compañero:

Dada la función f(x)=4x−5 f(x) = 4x - 5 f(x)=4x−5, encuentra su inversa f−1(x) f^-1(x) f−1(x).

(-7)+13-(+5)+(-10)

cosh(x)=2ex+e−x​ cosh⁡(0)=e0+e−02=1+12=1\cosh(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1cosh(0)=2e0+e−0​=21+1​=1 cosh⁡(x)>0∀x∈R\cosh(x) > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}cosh(x)>0∀x∈R cosh⁡(x)≥1\cosh(x) \geq 1cosh(x)≥1

→ Respuesta: d) 1

EJERCICIO PARA COMPAÑERO

Ejercicio:

cosh⁡(2)=e2+e−22\cosh(2) = \frac{e^2 + e^{-2}}{2}cosh(2)=2e2+e−2​

a) 3.76
b) 0.5
c) 1
d) -1

Para encontrar la inversa de esta función lineal, seguimos estos pasos:

1. Cambia f(x) por y: y=3x+2

2. Intercambia x por y: x=3y+2

3. Despeja y: x−2=3y 3x−2​=y

4. La función inversa es: f−1(x)=3x−2​

2. Para la función f(x)=2x−5​

Así es como encontramos su inversa:

1. Cambia f(x) por y: y=2x−5​

2. Intercambia x por y: x=2y−5​

3. Despeja y: 2x=y−5 2x+5=y

4. La función inversa es: f−1(x)=2x+5

3. Para la función f(x)=x+1​, con x≥−1

Para esta función con raíz cuadrada, el proceso es:

1. Cambia f(x) por y: y=x+1​

2. Intercambia x por y: x=y+1​

3. Despeja y (elevando al cuadrado ambos lados): x2=y+1 x2−1=y

4. Considera el dominio y el rango: Dado que el rango de f(x) es y≥0 (porque una raíz cuadrada no es negativa), el dominio de f−1(x) será x≥0.

5. La función inversa es: f−1(x)=x2−1, con x≥0.

4. Para la función f(x)=x1​, con x=0

Así calculamos la inversa para esta función racional:

1. Cambia f(x) por y: y=x1​

2. Intercambia x por y: x=y1​

3. Despeja y: Multiplica por y en ambos lados: xy=1 Divide por x en ambos lados: y=x1​

4. La función inversa es: f−1(x)=x1​, con x=0.

Objetivo:

Encontrar la función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)

Paso 1: Reemplaza f(x)f(x)f(x) por yyy

y=2x+5y = 2x + 5y=2x+5

Paso 2: Intercambia las variables xxx y yyy

x=2y+5x = 2y + 5x=2y+5

Paso 3: Despeja yyy

x−5=2yx - 5 = 2y x−5=2yy=x−52y = \frac{x - 5}{2}y=2x−5​

Resultado final:

f−1(x)=x−52f^{-1}(x) = \frac{x - 5}{2}f−1(x)=2x−5​

Ejercicio para resolver:

f(x)=6x+9

Dado que (f∘g)(x)=x y (g∘f)(x)=x, hemos demostrado que g(x) es, de hecho, la función inversa de f(x).

1. Reemplazar f(x) con y: 

y = 2x + 1 

1. Intercambiar x e y:

x = 2y + 1 

1. Despejar y:

x - 1 = 2y
y = (x - 1) / 2 

1. Reemplazar y con f⁻¹(x): 

f⁻¹(x) = (x - 1) / 2 

EJERCICIOS PARA RESOLVER

f(x) = 5x - 3. 

Confía en que Dios te dará la fuerza para cada entrenamiento, cada examen, cada reto.

y = 2x + 3

x = 2y + 3

x - 3 = 2y

(x - 3)/2 = y

f⁻¹(x) = (x - 3)/2

Encuentra la función inversa de q(x)=e

x+1

−3.

Resuelto el ejercicio del Aspirante Saraguro Williams

(x+3)

a) f(x)-1= -3(x+1)/2

b)f(x)-1= 3(x+1)/2

C) 1(x)-1= 3(x-1)/2

d) f(x)-1= 3(x-1)/2

f(x)=2x+3

Inversa:
Para hallar la inversa:
y=2x+3y = 2x + 3y=2x+3
Despejamos xxx:
x=y−32x = \frac{y - 3}{2}x=2y−3​
Entonces la inversa es:
f−1(x)=x−32f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}f−1(x)=2x−3​

Dada:

y=2x−35y = \frac{2x - 3}{5}y=52x−3​

Ahora, intercambiamos xxx por yyy para despejar la inversa:

x=2y−35x = \frac{2y - 3}{5}x=52y−3​

Multiplicamos ambos lados por 5:

5x=2y−35x = 2y - 35x=2y−3

Sumamos 3:

5x+3=2y5x + 3 = 2y5x+3=2y

Dividimos para despejar yyy:

y=5x+32y = \frac{5x + 3}{2}y=25x+3​

Entonces, la función inversa es:

f−1(x)=5x+32f^{-1}(x) = \frac{5x + 3}{2}f−1(x)=25x+3​

Paso 2: Verificar que son funciones inversas

a) Composición: f(f−1(x))f(f^{-1}(x))f(f−1(x))

f(f−1(x))=f(5x+32)=2(5x+32)−35=(5x+3)−35=5x5=xf(f^{-1}(x)) = f\left( \frac{5x + 3}{2} \right) = \frac{2\left(\frac{5x + 3}{2}\right) - 3}{5} = \frac{(5x + 3) - 3}{5} = \frac{5x}{5} = xf(f−1(x))=f(25x+3​)=52(25x+3​)−3​=5(5x+3)−3​=55x​=x

b) Composición: f−1(f(x))f^{-1}(f(x))f−1(f(x))

f−1(f(x))=f−1(2x−35)=5(2x−35)+32=(2x−3)+32=2x2=xf^{-1}(f(x)) = f^{-1}\left( \frac{2x - 3}{5} \right) = \frac{5\left(\frac{2x - 3}{5}\right) + 3}{2} = \frac{(2x - 3) + 3}{2} = \frac{2x}{2} = xf−1(f(x))=f−1(52x−3​)=25(52x−3​)+3​=2(2x−3)+3​=22x​=x

✅ Como f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = xf(f−1(x))=x y f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = xf−1(f(x))=x, se confirma que las funciones son inversas entre sí.

−(−4)=+4 (−9)=−9 −6+12+4−9 Positivos: 12+4=16 Negativos: −6−9=−15 La expresión se convierte en: 16−15

Realizar la resta final: 16−15=1

El resultado del ejercicio es 1​.

Ejercicio:

• f(x)=2x+5f(x)

• g(x)=x−5/2(x) =

1. Verifica si g(x) es la función inversa de f(x)

2. Calcula f(g(x))

3. Calcula g(f(x))

Solución:

1. Verificamos si son inversas

Para que g(x) sea la inversa de f(x), se debe cumplir:

f(g(x))=x y g(f(x))=xf(g(x)) = x

2. Calculamos f(g(x))

f(g(x))=f(x−5/2)

Sustituimos en f(x)=2x+5f(x)

=2(x−5/2)+5=(x−5)+5=x

Cumple:

3. Calculamos g(f(x))

g(f(x))=g(2x+5)

Sustituimos en g(x)=x−5/2

=(2x+5)−5/2=2x/2=x=

También cumple:

Conclusión:

Sí, g(x)=x−5/2​ es la inversa de f(x)=2x+5

Ejemplo 1:

Dada la función:

f(x)=2x+3f(x)=2x+3

Paso 1: y=2x+3y=2x+3
Paso 2: Intercambia xx y yy:

x=2y+3x=2y+3

Paso 3: Despeja yy:

x−3=2y⇒y=x−32x−3=2y⇒y=2x−3​

Entonces la función inversa es:

f−1(x)=x−32f−1(x)=2x−3​

Subo el deber de la operación inversa.

1. Si f(x)=x3, ¿cuál es el valor de f−1(8)?

   a) 512

   b) 2

   c) 1/8

   d) No existe

2. Si f(x)=ex, ¿cuál es el valor de (f−1⋅f)(x)?

   a) x * e^x

   b) x

   c) 1

   d) e^x ln (x)

CI:1105388696

f(x)=2x+3yg(x)=x−1f(x) = 2x + 3 \quad \text{y} \quad g(x) = \sqrt{x - 1}f(x)=2x+3yg(x)=x−1​

C.I: 1728209600

Ejercicio a resolver: f(x)=6x+8

Ejercicio resuelto de un compañero: f(x)=3x-5

1. Reemplaza f(x) con y: y=3x−5

2. Intercambia x e y: x=3y−5

3. Despeja y de la ecuación:

   • Suma 5 a ambos lados: x+5=3y

   • Divide ambos lados por 3: y=3x+5​

4. Reemplaza y con f−1(x): f−1(x)=3x+5​

Así, la función inversa de f(x)=3x−5 es f−1(x)=3x+5​.

a) Verifica si g(x)g(x)g(x) es la función inversa de f(x)f(x)f(x).
b) Calcula f(g(x))f(g(x))f(g(x)) y g(f(x))g(f(x))g(f(x)).
c) Explica qué significa que dos funciones sean inversas.

f(x) = \frac{2x - 4}{3}

Encuentra su función inversa

• Escribe

y = \frac{2x - 4}{3}

2. Intercambia y :

x = \frac{2y - 4}{3}

3. Resuelve para :

• Multiplicaambos lados por 3:

3x = 2y - 4

• Suma 4:

3x + 4 = 2y

• Divide entre 2:

y = \frac{3x + 4}{2}

• Función inversa es:

f^{-1}(x) = \frac{3x + 4}{2}

Subo el deber de la función inversa

Cuál es su función inversa

Ejercicio

F(x)=2+x

F(x)=x+2

1x+2=f(x)

Dada la función: f(x)=3x+2f(x)=3x+2

Encuentra f−1(x)f−1(x).

g(x) = 12 − 10x

g(x) = −5 √ 2x − 9 + 17

Partimos de:

y=5x−8y

Intercambiamos x y y:

x=5y−8x

Despejamos y:

x+8=5y

y = \frac{x + 8}{5}y=5x+8​

Entonces:

f−1(x)=5x+8​​

f(x)=4x+2

Dada la función f(x) = 2x+3 encuentra su función inversa de f⁻¹(x), y verifica que f(f⁻¹(x)) = x.

Solución:

1. Reemplaza f(x) con y: 

y = 2x + 3 

1. Intercambia x e y:

x = 2y + 3 

1. Despeja y:

   Resta 3 de ambos lados: x - 3 = 2y

   Divide ambos lados por 2: y = (x - 3)/2

2. Reemplaza y por f⁻¹(x):

f⁻¹(x) = (x - 3)/2

1. Verificación:

   Calcula f(f⁻¹(x)):

f(f⁻¹(x)) = f((x - 3)/2) = 2 * ((x - 3)/2) + 3
f(f⁻¹(x)) = (x - 3) + 3
f(f⁻¹(x)) = x

Entonces la función inversa de f(x) = 2x + 3 es f⁻¹(x) = (x - 3)/2

y se ha verificado que f(f⁻¹(x)) = x.

Ejercicio:

f(x)=2x−7

Paso 1: Encontrar la inversa

1. Escribimos la función como:

y=2x−7y = 2x - 7y=2x−7

2. Intercambiamos xxx y yyy:

x=2y−7x = 2y - 7x=2y−7

3. Despejamos yyy:

x+7=2yx + 7 = 2yx+7=2yy=x+72y = \frac{x + 7}{2}y=2x+7​

Entonces, la inversa es:

f−1(x)=x+72f^{-1}(x) = \frac{x + 7}{2}f−1(x)=2x+7​

Paso 2: Verificar que f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = xf(f−1(x))=x

Sustituimos en la función original:

f(f−1(x))=f(x+72)f(f^{-1}(x)) = f\left( \frac{x + 7}{2} \right)f(f−1(x))=f(2x+7​)=2⋅x+72−7= 2 \cdot \frac{x + 7}{2} - 7=2⋅2x+7​−7=(x+7)−7=x= (x + 7) - 7 = x=(x+7)−7=x

Verificación completa:

f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = xf(f−1(x))=x Resultado final:

f−1(x)=2x+7​

f(x)=2x−35f(x) = \frac{2x - 3}{5}f(x)=52x−3​

a) Encuentra la función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x).
b) Verifica que f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = xf(f−1(x))=x y f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = xf−1(f(x))=x.

✅ Solución:

a) Hallar f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x):

1. Escribe:

y=2x−35y = \frac{2x - 3}{5}y=52x−3​

2. Intercambia xxx y yyy:

x=2y−35x = \frac{2y - 3}{5}x=52y−3​

3. Despeja yyy:

Multiplicamos ambos lados por 5:

5x=2y−35x = 2y - 35x=2y−3

Sumamos 3:

5x+3=2y5x + 3 = 2y5x+3=2y

Dividimos para 2:

y=5x+32y = \frac{5x + 3}{2}y=25x+3​

Entonces:

f−1(x)=5x+32f^{-1}(x) = \frac{5x + 3}{2}f−1(x)=25x+3​

b) Verificación:

• f(f−1(x))=f(5x+32)=2(5x+32)−35=5x+3−35=5x5=xf(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{5x + 3}{2}\right) = \frac{2\left(\frac{5x + 3}{2}\right) - 3}{5} = \frac{5x + 3 - 3}{5} = \frac{5x}{5} = xf(f−1(x))=f(25x+3​)=52(25x+3​)−3​=55x+3−3​=55x​=x

• f−1(f(x))=f−1(2x−35)=5(2x−35)+32=2x−3+32=2x2=xf^{-1}(f(x)) = f^{-1}\left(\frac{2x - 3}{5}\right) = \frac{5\left(\frac{2x - 3}{5}\right) + 3}{2} = \frac{2x - 3 + 3}{2} = \frac{2x}{2} = xf−1(f(x))=f−1(52x−3​)=25(52x−3​)+3​=22x−3+3​=22x​=x

f(x)=2x+3yg(x)=x−32f(x) = 2x + 3 \quad \text{y} \quad g(x) = \frac{x - 3}{2}

a) Verifica que g(x)g(x) es la inversa de f(x)f(x). b) Calcula f(g(x))f(g(x)) y g(f(x))g(f(x)). c) Encuentra f−1(x)f^{-1}(x) directamente.

✏️ Solución paso a paso

a) Verificación de inversa:

Calculamos:

• f(g(x))=2(x−32)+3=x−3+3=xf(g(x)) = 2\left(\frac{x - 3}{2}\right) + 3 = x - 3 + 3 = x

• g(f(x))=(2x+3)−32=2x2=xg(f(x)) = \frac{(2x + 3) - 3}{2} = \frac{2x}{2} = x

✅ Como f(g(x))=xf(g(x)) = x y g(f(x))=xg(f(x)) = x, entonces g(x)g(x) es la inversa de f(x)f(x).

b) Ya lo hicimos en el paso anterior.

c) Para encontrar la inversa de f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3:

1. Igualamos y=2x+3y = 2x + 3

2. Intercambiamos xx y yy: x=2y+3x = 2y + 3

3. Despejamos yy: x−3=2y⇒y=x−32x - 3 = 2y \Rightarrow y = \frac{x - 3}{2}

✅ Entonces, la inversa de f(x)f(x) es: f−1(x)=x−32f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}

Ejercicio

f(x)=52x−3​

Encuentra la función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)

Verifica que: f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = xf(f−1(x))=x

y=f(x)y = f(x)y=f(x):

y=2x−35y = \frac{2x - 3}{5}y=52x−3​

x=2y−35x = \frac{2y - 3}{5}x=52y−3​

Respuesta de otro compañero

f(f−1(x))

(5x+3)−3​=55x+3−3​=55x​=x​

f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = xf(f−1(x))=x

Mi ejercicio es el siguiente :

Si la función es f(x)=−4x+7

Selecciona la función inversa f−1(x):

a) f−1(x)=fracx−74

b) f−1(x)=−4x−7

c) f−1(x)=frac7−x4

d) f−1(x)=4x−

Dadas las funciones:

f(x) = 2x + 3

g(x) = (x - 3) / 2

1. Verifica si g(x) es la función inversa de f(x).

2. Calcula f(g(x)) y g(f(x)).

3. Determina f⁻¹(x) usando álgebra.

Solución:

1. Verificamos si g(x) es la inversa de f(x):

Si f(g(x)) = x y g(f(x)) = x, entonces son funciones inversas.

a) f(g(x)) = f((x - 3)/2)

= 2·((x - 3)/2) + 3

= (x - 3) + 3

= x

b) g(f(x)) = g(2x + 3)

= ((2x + 3) - 3)/2

= 2x/2

= x

Entonces, g(x) es la inversa de f(x).

2. Determinamos la inversa de f(x):

Partimos de:

y = 2x + 3

Intercambiamos x por y y resolvemos para y:

x = 2y + 3

x - 3 = 2y

y = (x - 3)/2

Entonces:

f⁻¹(x) = (x - 3)/2

Ejercicio de un compañero

f(x) = 20x - 19

Paso 1: Encuentra la función inversa f⁻¹(x)

1. Escribe:

  y = 20x - 19

2. Intercambia x y y:

  x = 20y - 19

3. Despeja y:

  x + 19 = 20y

  y = (x + 19)/20

Resultado:

f⁻¹(x) = (x + 19) / 20

Paso 2: Verificación

Vamos a comprobar que y :

1. f(f⁻¹(x)):

 f((x + 19)/20)

= 20·((x + 19)/20) - 19

= x + 19 - 19

= x

2. f⁻¹(f(x)):

f⁻¹(20x - 19)

= ((20x - 19) + 19)/20

= 20x/20

= x

CI. 1251196984

Funciones inversas

F(X)=2X+3

Resolviendo el ejercicio del compañero, Esteban Sánchez

Resuelve el siguiente ejercicio: F(X)=[(X+6)/3]-(X+3)

a) F(x)-1= -3(x+1)/2

b) F(x)-1= 3(x+1)/2

c) F(x)-1= 3(x-1)/2

d) F(x)-1= -3(x-1)/2

La respuesta correcta es la: .....a)

\arsinh(x)=sinh−1(x)=ln(x+x2+1​)

• Si quieres evaluar sinh⁡(\arsinh(2))\sinh(\arsinh(2))sinh(\arsinh(2)), el resultado es simplemente 2, porque son funciones inversas.

Ejemplo práctico

Si tienes la función:

f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3f(x)=2x+3

Entonces, su inversa es:

f−1(x)=x−32f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}f−1(x)=2x−3​

Operación:

f(f−1(x))=2⋅x−32+3=x−3+3=xf(f^{-1}(x)) = 2 \cdot \frac{x - 3}{2} + 3 = x - 3 + 3 = xf(f−1(x))=2⋅2x−3​+3=x−3+3=x

Ejemplo 1: Función lineal

Dada la función f(x) = 2x + 3, encuentra su función inversa. 

1. Reemplaza f(x) con y: y = 2x + 3

2. Intercambia x e y: x = 2y + 3

3. Despeja y:

   • x - 3 = 2y

   • y = (x - 3) / 2

4. Escribe la función inversa: f⁻¹(x) = (x - 3) / 2

f(x)=52x−3​

y=2x−35y = \frac{2x - 3}{5}y=52x−3​

x=2y−35x = \frac{2y - 3}{5}x=52y−3​

5x=2y−35x = 2y - 35x=2y−3

5x+3=2y5x + 3 = 2y5x+3=2y

y=5x+32y = \frac{5x + 3}{2}y=25x+3​

f−1(x)=5x+32f^{-1}(x) = \frac{5x + 3}{2}f−1(x)=25x+3​

Ejercicio de un compañero

cosh(x)=(e^x+e^(-x))/2

cosh(−x)=cosh(x)

cosh⁡(x)≥1  x\cosh(x) \geq 1 \ \text{para todo } xcosh(x)≥1 para todo x

cosh⁡(0)=e0+e−02=1+12=1\cosh(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1cosh(0)=2e0+e−0​=21+1​

=1

Dada la función

f(x)=x+2

1. Halla la función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x).

2. Comprueba que f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = xf(f−1(x))=x

Ejercicio resolver:

Sea la función

f(x)=2x+5f(x) = 2x + 5f(x)=2x+5

1. Encuentra la función inversa f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x).

   RESOLUCION:

   Paso 1: Escribe y=f(x)y = f(x)y=f(x):

   y=2x+5y = 2x + 5y=2x+5

   Paso 2: Intercambia x y y:

   x=2y+5x = 2y + 5x=2y+5

   Paso 3: Despeja y:

   • Resta 5:

     x−5=2yx - 5 = 2yx−5=2y

   • Divide entre 2:

     y=x−52y = \{x - 5}{2}y=2x−5​

   Entonces:

   f−1(x)=x−52f^{-1}(x) = \{x - 5}{2}f−1(x)=2x−5​

   
   

EN RESOPUESTA

f(x)= 3x-5

X=3y-5

x-5=3y

x-5/3=y

f-1(x)= x-5/3