3 = expoente

5 = base

4 = expoente

5 . 5 . 5 . 5 = produto de fatores

625 = potência

Como o expoente é 4, tivemos que repetir a base, que é 5 quatro vezes, em um produto.

⇒ 102 = 10 . 10 = 100

10 = base

2 = expoente

10 . 10 = produto de fatores

100 = potência

Como o expoente é 2, tivemos que repetir a base, que é 10 duas vezes, em um produto.

Tipos de potenciação

Base real e expoente inteiro

Quando o expoente é inteiro, significa que ele pode possuir número negativo ou positivo.

⇒ Expoente positivo: Quando a base for um número real e o expoente for positivo, obteremos a potência efetuando o produto dos fatores. Acompanhe alguns exemplos:

2+2 = 2 . 2 = 4

0,3+3 = 0,3 . 0,3 . 0,3 = 0,027

(½ )+2 = ½ . ½ = ¼

⇒ Expoente negativo: Se o expoente é negativo, devemos fazer o inverso do número, que é trocar numerador com denominador, para o expoente passar a ser positivo. Observe alguns exemplos:

2-2 = 1 = 1 . 1 = 1

2+2 2 2 4

0,3 – 3 = (3)-3 = (10)+3 = 10 . 10 . 10 = 1000 = 37,037

(10)-3 (3)+3 3 . 3 . 3 27

(½ )-2 = (2/1)+2 = 2 . 2 = 4

⇒ Expoente igual a 1

Quando o expoente for igual a um positivo, a potência será o próprio número da base. Veja os exemplos abaixo:

a1 = a

21 = 2

41 = 4

1001 = 100

⇒ Expoente igual a 0

Se o expoente for 0, a reposta referente à potência sempre será 1. Acompanhe os exemplos:

a0 = 1

10000 = 1

250 = 1

Propriedades da potenciação

As propriedades da potenciação são utilizadas para simplificar os cálculos. Há, no total, cinco propriedades:

Produto de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes. Exemplos:

an . am = an + m

22 . 23 = 22 + 3 = 25

45 . 42 = 45 + 2 = 47

Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes. Exemplos:

an : am = an = an - m

am

56 : 52 = 56 = 56 – 2 = 54

52

92 : 93 = 92 = 92 – 3 = 9-1

93

Potência de potência: devemos multiplicar os expoentes. Exemplos:

(an)m = an . m

(74)2 = 74 . 2 = 78

(123)2 = 123 . 2 = 126

Potência de um produto: o expoente geral é expoente dos fatores. Exemplos:

(a . b)n = ( an . bn)

(4 . 5)2 = (42 . 52)

(12 . 9)3 = (123 . 93)

Multiplicação de potências com o mesmo expoente: conserva o expoente e multiplica as bases. Exemplo:

an . bn = (a . b)n

42 . 62 = (4 . 6)2

73 . 43 = (7 . 4)3

Leia também: Notação científica – o uso de potências de base dez para representar números

1ª propriedade – Multiplicação de potências de mesma base

Para simplificar a multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes.

an · am= an+m

Exemplo 1:

54· 5² = 5·5·5·5·5·5 = 56

Logo, temos que:

54· 5² = 54+2=56

Se necessário, é possível encontrar a potência de 56 realizando a multiplicação sucessiva de 5 por ele mesmo 6 vezes, porém, no uso da propriedade, o interesse é representar a multiplicação de duas ou mais potências como uma potência só.

Exemplo 2:

2³ · 25 · 22=23+5+2=210

2ª propriedade – Divisão de potências de mesma base

Na divisão de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos o expoente do numerador pelo expoente do denominador.

an : am= an - m

Exemplo 1:

Logo, temos que:

28 : 25 = 28-5 = 2³

Note que realizar a simplificação é bem mais prático do que resolver essas potências de forma separada e depois fazer a divisão. Como ressaltado anteriormente, a intenção das propriedades é simplificar e facilitar as contas com potências.

Exemplo 2:

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3ª propriedade – Potência de potência

Ao calcular a potência de uma potência, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

(am)n=am · n

Exemplo 1:

(5³)² = (5 · 5 · 5)² = (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 56

Logo, temos que:

(5³)² =53 · 2 = 56

Assim como as duas propriedades anteriores, a aplicação dessa propriedade ajuda a realizar essa operação de forma mais rápida

Exemplo 2

(45)-3 = 45 · (-3) = 4-15

4ª propriedade – Potência de um produto

Dado um produto de dois números reais elevados a um expoente, podemos elevar cada um dos fatores a esse expoente.

(a · b)n = an · bn

Exemplo:

(2 · 4)3=(2 · 4)(2 · 4)(2 · 4) = 2 · 2 · 2 · 4 · 4 · 4 = 23 · 43

Logo, temos que:

(2 · 4)3 = 23 · 43

5ª propriedade – Potência do quociente

Conhecida como potência de um quociente e análoga à propriedade anterior, sempre que houver uma potência de um quociente, podemos calcular a potência do dividendo e a potência do divisor.

(a : b)n = an : bn

Exemplo:

(6 : 4)² = (6 : 4) · (6 : 4) = 6² · 4²

Logo, temos que:

(6 : 4)² =6² : 4²

As propriedades de potências ajudam bastante na hora de resolver problemas com potências.

As propriedades de potências ajudam bastante na hora de resolver problemas com potências.

Casos particulares de potência

Existem alguns casos particulares de potência que merecem ser ressaltados, já que conhecer cada um deles é tão importante quanto o domínio das próprias propriedades. São eles:

potência de uma fração;

potência de expoente igual a 0;

potência de expoente igual a 1;

potência com o expoente negativo;

potência com expoente fracionário.

→ Potência unitária

Todo número elevado a um é ele mesmo.

a¹ = a

Exemplos:

a) 123¹ = 123

b) 0,54¹ = 054

→ Potência de expoente zero

Todo número diferente de zero elevado a zero é igual a um. Nesse caso existe uma restrição para a base, pois a potência 00 é uma indeterminação, ou seja, não possui uma resposta nos números reais, assim como a divisão do número zero.

a 0 = 1

Exemplos:

100= 1

0,750= 1

1923923120 = 1

→ Potência de uma fração

Como consequência da propriedade da potência de um quociente, lembrando que a fração é uma divisão, ao calcular uma potência de uma fração, podemos separar a potência desta forma:

Exemplos:

Leia também: Potências com expoente fracionário e decimal

→ Potência com um expoente negativo

Para calcular a potência de um expoente negativo, escrevemos o inverso da base e trocamos o sinal do expoente.

Quando a base da potência for um número inteiro, basta escrevermos um sobre a base.

Exemplo:

Quando a base for um número decimal, é necessário realizar a sua representação como uma fração. Quando a base é uma fração, para encontrar o inverso de uma fração, invertemos o numerador com o denominador.

Exemplo:

→ Potência com expoente fracionário

Quando o expoente é fracionário, podemos transformar essa potência em uma radiciação.

Exemplo:

Leia também: Resolvendo raízes por meio da fatoração

Exercícios resolvidos

1) Simplificando a expressão (a3 · b-7 · a2) : (a2 · b-4)2, encontraremos:

a) a/b

b) ab

c) b

d) a²b

Resolução:

Letra B. Usando as propriedades de multiplicação de potência de mesma base, potência de potência e divisão de potência de mesma base, temos que:

(a³ · b-7 · a²) : (a² · b-4)²

(a3+2 · b-5 ) : (a2.2 · b-4.2)

(a5 · b-7 ) : (a4 · b-8)

a5-4 · b-7 - (-8)

a1 · b-7 +8

a1 · b1

a .b

02) (IFG) O valor da expressão aritmética abaixo é equivalente a:

a) 8/17

b) -8/17

c) 16/17

d) -16/17

Resolução:

Letra D.

Resolvendo primeiro o numerador, temos que:

Agora vamos resolver o denominador:

Como temos uma divisão do numerador pelo denominador, vamos multiplicar pelo inverso da segunda fração:

24

=

2

⋅

2

⋅

2

⋅

3

200

=

2

⋅

2

⋅

2

⋅

2

⋅

5

⋅

5

735

=

3

⋅

5

⋅

7

⋅

7

Tal decomposição é única (a menos da ordem dos fatores) e, além disso, é muito útil na extração de raízes, MDC e MMC.

Índice

1) Introdução

2) Método para decomposição em fatores primos

3) Critérios de divisibilidade

4) Exercícios

Método para decomposição em fatores primos

Vamos apresentar um modo simples e prático para determinar a decomposição de um número em fatores primos através de um exemplo. Para isso, iremos decompor o número 108.

Escreve o número 108 e, ao lado direito dele, traça-se uma reta vertical:

108

Ao lado direito da reta, iremos colocar os números primos que dividem 108. O ideal é sempre começar pelo menor possível. Como 108 é par, então o primeiro número primo que o divide é 2:

108

2

Em seguida, faz-se a divisão de 108 por 2, que dá 54. O resultado colocamos embaixo do 108:

108

2

54

Agora, iremos verificar qual o menor número primo que divide 54 e fazemos o mesmo processo:

108

2

54

2

Sendo 54 dividido por 2 igual a 27, cujo menor número primo que o divide é 3. Assim temos:

108

2

54

2

27

3

E repetimos o mesmo processo até obtermos 1 no lado esquerdo da reta:

108

2

54

2

27

3

9

3

3

3

1

Assim, a decomposição de 108 em fatores primos é:

108

=

2

⋅

2

⋅

3

⋅

3

⋅

3

Em forma de potência, pode ser reescrito como:

108

=

2

2

⋅

3

3

Critérios de divisibilidade

Os critérios de divisibilidade são regras que nos dizem quando um determinado número é divisível por outro sem precisar fazer a conta. Tais critérios auxiliam bastante na decomposição de um número em fatores primos, pois, através delas, já podemos eliminar se tal número será divisível (ou não) por um fator primo.

Divisibilidade por 2: um número será divisível por 2 se ele for par, isto é, se o último algarismo for 0, 2, 4, 6 ou 8. Por exemplo, 2340 e 558 são divisíveis por 2; já 9801 e 8347 não são.

Divisibilidade por 3: um número será divisível por 3 se a soma de seus algarismos for divisível por 3. Como exemplo, temos que 2442 é divisível por 3 pois

2

+

4

+

4

+

2

=

12

e 12 é divisível por 3. Agora, 1003 não é divisível por 3 visto que

1

+

0

+

0

+

3

=

4

e 4 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 5: um número será divisível por 5 se o seu último algarismo for 0 ou 5. Por exemplo, 1240 é divisível por 5, assim 995. Já o mesmo não ocorre com 7343.

2 x 2 = 4

2 x 3 = 6

2 x 4 = 8

2 x 5 = 10

2 x 10 = 20

2 x 20 = 40

... ... ...

Vamos observar os múltiplos do número 3:

3 x 1 = 3

3 x 2 = 6

3 x 3 = 9

3 x 4 = 12

3 x 5 = 15

3 x 6 = 18

3 x 10 = 30

Vale ressaltar que os múltiplos de um número são infinitos. No caso do MMC (mínimo múltiplo comum) entre números naturais, podemos determinar o menor múltiplo aos números dados, de duas maneiras distintas. A primeira consiste em determinar alguns dos múltiplos dos números verificando o menor comum, ou aplicar a regra prática que consiste em fatorar todos os números num mesmo instante. Conheça a 1ª maneira:

Vamos determinar o MMC entre os números 12, 18 e 24

12 = (12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, ...)

18 = (18, 36, 54, 72, 90, 108, ...)

24 = (24, 48, 72, 96, 120, 144, ...)

Observe que dentre os múltiplos descritos, podemos verificar que o número 72 é o menor múltiplo comum aos algarismos 12, 18 e 24.

A 2ª regra consiste em determinar o mínimo múltiplo comum fatorando todos os números de uma única vez. Lembrando que fatorar significa dividir os números por algarismos primos em ordem crescente. Observe o cálculo do MMC entre os números 12, 18 e 34.

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M.M.C. (12, 18, 24) = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 72

O mínimo múltiplo comum dos números 12, 18 e 24 é igual a 72.

Os números são alinhados e divididos no mesmo instante. Após a divisão basta multiplicar todos os primos obtidos. O produto entre eles será o mínimo múltiplo comum.

Aplicando a 2ª regra na determinação do MMC entre os números 15, 25 e 70.

M.M.C. (15, 25, 70) = 2 x 3 x 5 x 5 x 7 = 1 050

O mínimo múltiplo comum dos números 15, 25 e 70 é igual a 1 050.

O máximo divisor comum é o maior divisor entre dois números.

O máximo divisor comum é o maior divisor entre dois números.

Leia também: Dicas para divisão: 7 dicas para facilitar a solução dessa operação

Divisor comum

Imagine dois ou mais números inteiros positivos, agora, vamos listar os divisores desses números. Quando realizamos essa listagem, percebemos a existência de divisores em comum, isto é: divisores que aparecem ao mesmo tempo em mais de uma lista. Ficou confuso? Veja o exemplo a seguir.

Exemplo

Os divisores dos números 10, 15 e 20:

D (10) = {1, 2, 5, 10}

D (15) = {1, 3, 5, 15}

D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Pelo exemplo, entre os números 10 e 15 temos o número 5 como maior número que aparece na lista de divisores, assim: MDC (10, 15) = 5. E a mesma ideia vale para os números 10 e 20, que possuem o 10 como maior número comum na lista de divisores, logo: MDC (10, 20) = 10. Assim é válido para os números 15 e 20, que possuem como maior divisor comum o número 5, ou seja: MDC (15 e 20) = 5.

Quando dois ou mais números possuem como maior divisor comum o número 1, dizemos que eles são primos entre si. Veja o exemplo.

Exemplo

Os divisores dos números 4, 13, 15:

D (4) = {1, 2, 4}

D (13) = {1, 13}

D (15) = {1, 3, 5, 15}

Observe que, entre os números 4, 13 e 15, o maior número comum é o 1. Então 4, 13 e 15 são primos entre si.

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Leia também: Divisão com resultado decimal - veja como proceder

Como se calcula o MDC?

Uma das maneiras de calcular o MDC entre dois ou mais números inteiros é realizando a listagem dos divisores de cada número envolvido e verificando qual é o maior deles que aparece igualmente nas listas em questão. No entanto, quando um desses números é muito grande, realizar essa listagem torna-se uma tarefa difícil e cansativa.

A fim de facilitar o cálculo para encontrar o MDC, utilizaremos a decomposição em fatores primos da seguinte maneira:

Ao fazer a decomposição em fatores primos, o que consiste em realizar divisões por números primos, devemos marcar os primos que dividem todos os números em questão e, ao final, realizar a multiplicação entre eles. Confira os exemplos.

Exemplos

1. Neste exemplo sabemos que o resultado é 10. Chegaremos a esse resultado utilizando o método da fatoração em números primos.

Perceba que só marcamos em vermelho os primos que dividem os dois números. Assim, o MDC (20,10) = 5 · 2 = 10.

2. Determine o MDC (20, 15, 10)

Como o único número que divide os três números ao mesmo tempo é o 5, então MDC (20, 15, 10) = 5.

Propriedades do MDC

Veja a seguir as propriedades do máximo divisor comum.

Propriedade 1

O produto do máximo divisor comum com o mínimo múltiplo comum de dois números a e b é igual ao módulo do produto desses números.

MDC (a, b) · MMC (a, b) = |a · b|

Exemplo

Sabemos que o MDC (20,10) = 10 e o MMC (20,10) = 20. Veja:

MDC (20,10) · MMC (20,10) = | 20 · 10 |

Propriedade 2

Os divisores comuns de dois ou mais números são os divisores do mdc desses números.

Exercício resolvido

Questão 1 - (ESPM-SP) As moedas de 10 e 25 centavos de real têm, praticamente, a mesma espessura. 162 moedas de 10 centavos e 90 moedas de 25 centavos serão empilhadas de modo que, em cada pilha, as moedas sejam do mesmo tipo e todas as pilhas tenham a mesma altura. O menor número possível de pilhas é:

a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

e) 16

Solução

Observe que, para termos o menor número de pilhas, devemos ter então o maior número de moedas em cada uma dessas pilhas. Assim, primeiramente, calcularemos o MDC entre 162 e 90.

Assim, o MDC (162, 90) = 2 · 3 · 3 = 18, logo, cada pilha deverá ter 18 moedas. Portanto temos: 162:18 = 9 pilhas de moedas de 10 centavos e 90:18 = 5 pilhas de moedas de 25 centavos, e, assim, um total de 14 pilhas de moedas.

Alternativa c

As figuras a seguir, no entanto, são exemplos de não polígonos:

Na imagem A, a figura não é um polígono porque seus lados não são formados apenas por segmentos de reta. Também não se trata de um polígono a figura da imagem B, pois ela não é fechada. Na imagem C, os segmentos de reta se cruzam, característica que não faz parte dos polígonos.

Polígonos convexos

Um polígono é convexo quando não possui reentrâncias. Em outras palavras, se pudermos construir pelo menos um segmento com as extremidades A e B no interior do polígono e alguma parte desse segmento estiver fora do polígono, então, esse polígono não será convexo.

Observe um polígono não convexo, com os pontos A e B em seu interior e parte do segmento AB em seu exterior:

Sempre que for impossível encontrar parte do segmento AB no exterior do polígono, com os pontos A e B em seu interior, esse polígono será convexo, como o exemplo abaixo:

Elementos do polígono convexo

1 – Lados: cada segmento de reta que forma o polígono é um de seus lados.

2 – Vértices: São os pontos de encontro entre os lados de um polígono.

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3 – Ângulos internos: São os ângulos entre dois lados consecutivos no interior do polígono.

4 – Ângulos externos: São os ângulos que estão no exterior do polígono, entre um de seus lados e o prolongamento do lado consecutivo a ele.

5 – Diagonais: segmentos de reta que ligam dois vértices não consecutivos.

Um exemplo de cada um dos elementos de um polígono

Um exemplo de cada um dos elementos de um polígono

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é dada pela seguinte fórmula:

A = (n – 2)180

Nessa fórmula, n é o número de lados do polígono.

A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°, e o número de diagonais de um polígono convexo é obtido pela fórmula abaixo:

d = n(n – 3)

2

Polígonos regulares

Quando um polígono convexo possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos com a mesma medida, ele é chamado de regular.

As propriedades dos polígonos regulares são:

1 – Cada ângulo interno de um polígono regular pode ser obtido pela fórmula:

A = (n – 2)180

n

Nessa fórmula acima, o numerador do segundo membro é a fórmula usada para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo, e n é o número de lados do polígono.

2 – Cada ângulo externo de um polígono regular de n lados pode ser obtido pela seguinte fórmula:

S = 360°

n

Existem alguns ângulos, chamados de ângulos notáveis, que ocorrem com bastante frequência nos cálculos. O ângulo reto (90°) e ângulo raso (180°) são dois exemplos deles. Quando temos dois ângulos cuja soma é igual a 90°, eles são chamados de complementares; já quando tempos dois ângulos cuja soma é igual a 180º, eles são chamados de suplementares.

Além disso, quando dois ângulos diferentes compartilham uma semirreta, um vértice e não possuem mais pontos em comum, são chamados de adjacentes. Observe o exemplo de ângulos adjacentes, retos e rasos:

Ângulos adjacentes, ângulo reto e ângulo raso, respectivamente

Ângulos complementares

Se a soma entre os ângulos α e β é igual a 90°, dizemos que α e β são complementares. Por exemplo:

Os ângulos acima são complementares porque, ao somá-los, o resultado obtido é 90°. Sabendo que dois ângulos são complementares, é possível encontrar a medida de um deles a partir da medida do outro. Observe:

Sabendo que os ângulos α = 72° e β são complementares, determine a medida do ângulo β.

α + β = 90° (são complementares)

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72° + β = 90°

β = 90° – 72°

β = 18°

Essa expressão pode ser tratada como uma equação em que β é a incógnita.

Quando os ângulos complementares também são adjacentes, dizemos que:

• Eles são complementares adjacentes;

• Formam um único ângulo de 90° graus.

Ângulos suplementares

Se a soma entre os ângulos γ e θ é igual a 180°, dizemos que γ e θ são suplementares. Por exemplo:

Ângulos cuja soma resulta em 180°

Os ângulos da imagem acima são suplementares porque a soma de suas medidas é igual a 180°.Sabendo que dois ângulos são suplementares, é possível encontrar a medida de um deles a partir da medida do outro. Por exemplo:

Sabendo que o ângulo γ = 128° e o ângulo θ são suplementares, determine a medida de θ.

γ + θ = 180°

128° + θ = 180°

θ = 180° – 128°

θ = 52°

Quando dois ângulos, além de suplementares, são adjacentes, eles:

• São chamados adjacentes suplementares;

• Juntos formam um único ângulo de 180°.