이 책은 수학자인 아버지가 수학 공부는 사물에 대한 정확한 표현을 위해 만든 언어를 배우는 것과 같다며 딸에게 이야기를 전하는 것으로 시작한다. 무리수와 이차방정식에 관한 내용부터 무한, 미적분, 오일러 공식까지 광범위한 수학에 관해 이야기한다. 책 속에서 가장 인상 깊게 읽었던 부분은 복소평면 위의 복소수를 활용해 삼각함수의 덧셈정리 증명한 부분과, 오일러 공식을 지수함수와 삼각함수를 응용해 설명한 부분이었다.

작년 수학 교과 탐구에서 복소평면(가우스평면)에 대해 탐구한 적이 있어 관련 내용에 관심이 갔다. 우선 복소평면 위에서의 복소수의 곱셈에 관해 알아보고자 한다. 복소수에 실수를 곱하면 방향은 같고 길이가 길어진다. 또한 복소수에 허수단위 i를 곱하면 90도 회전하게 된다. 이 책에서는 복소수의 곱셈을 '돌리고 늘이는 것'이라 표현한다.

삼각함수의 덧셈정리를 유도하는 것에 이를 활용할 수 있다. 원점을 중심으로 하는 반지름이 1인 원 위에 두 개의 복소수 z1과 z2를 표시한다고 하자. 둘 다 원점에서의 거리가 1이므로 극좌표를 사용하면 z1=cosθ1+isinθ1, z2=cosθ2+isinθ2 (i는 허수)이다. 이 두 복소수의 곱셈을 하면 z1*z2는 z2를 θ1만큼 회전하는 것이다. 원래 z2는 원점에서의 각도가 θ2였으므로 θ1만큼 더 회전하면 각도는 (θ1+θ2)가 된다. 이를 식으로 나타내면, (cosθ1+isinθ1)*(cosθ2+isinθ2)=cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)와 같다. 식의 좌변을 전개해 양변의 실수부분과 허수부분을 각각 등호로 연결하면 cos(θ1+θ2)=cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2, sin(θ1+θ2)=sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2 즉, 삼각함수의 덧셈정리가 된다. 삼각함수의 덧셈정리를 배우며 교과서의 증명 외에 다른 방식으로 이해할 수 있을지 궁금했었는데 복소평면을 이용한 방법이 있다는 것을 알게 되어 흥미로웠다. 이번 기회에 교과서 속 다양한 공식들을 읽고 이해하는 것에서 그치지 않고 다양한 유도 방법을 모색해 보고 싶다는 생각을 해보게 되었다. 또한 삼각함수의 cosθ+isinθ에서 'n제곱하면 변수가 n배가 된다'는 성질이 성립하는 것을 이용하면 (cosθ+isinθ)*^n=cos(nθ)+isin(nθ)라는 드무아브르 공식도 이해할 수 있다. 작년 탐구에서 복소평면에 대해 알아보고 드무아브르 공식을 인용해 문제를 풀이해 보았었는데, 그때는 제대로 이해하지 못했던 공식을 이해할 수 있게 되었다는 사실에 스스로가 수학적으로 조금이나마 성장했음을 느낄 수 있어 뿌듯했다.

지수함수의 곱셈법칙과 삼각함수의 덧셈정리의 유사성을 토대로 드무아브르 공식을 적용해 오일러의 공식을 설명한 부분도 매우 인상적이었다. 내가 배운 수학적 개념을 응용해 새로운 공식을 유도해내거나 이해하는 과정이 유익하고 흥미로웠다.

이 책을 통해 수학을 학습해야 할 교과의 일부분으로 여기기보다 세상을 이해하는 방법으로써 재미를 느낄 수 있는 계기가 되었다. 책에서 나온 내용뿐 아니라 앞으로 더 많은 수학적 개념을 탐구하고 우리 삶에 적용해 보고 싶다.

저자: 송인창, 최성호

‘세상을 바로 보는 힘 통계 안목’(송인창, 최성호)은 현대 사회에서 통계의 중요성과 그 왜곡에 대한 경각심을 일깨우는 책이다. 우리 사회에서 논쟁이 일어나는 곳에는 항상 데이터와 통계가 등장하며, 대부분의 사람들은 감이나 직관보다는 이러한 통계와 그에 기반한 정보를 신뢰하고 결정을 내리곤 한다. 저자들은 이에 대해 설명하면서 통계가 단순한 숫자가 아니라 우리의 삶과 정책 결정에 깊이 관여하고 있음을 강조한다. 그러나 과연 우리 삶에 깊숙이 침투하고 있는 통계는 믿을 만한 것일까? 이 질문에 대해 우리는 깊이 고민해 보아야 한다. 통계와 데이터 속에는 오해를 불러일으킬 수 있는 여러 지점이 존재하기 때문이다. 따라서 이 책은 독자에게 거짓 통계를 간파하고, 통계에 대한 비판적 안목을 키워야 한다고 주장한다.

책을 읽으며 가장 인상 깊었던 점은 통계가 단순히 데이터를 나열하는 것이 아니라, 그 이면에 숨겨진 의미와 맥락을 이해하는 것이 얼마나 중요하다는 것이었다. 저자들은 통계의 기본 개념부터 시작해, 코로나19 사망률이나 부동산 가격과 같이 실제 사례를 통해 통계의 함정을 파헤쳤다. 나는 이를 통해 스스로 통계를 비판적으로 분석할 수 있는 능력을 기를 수 있었다. 특히 이 책은 선거 여론조사와 관련된 부분에서 다양한 사례를 통해 통계의 편향성과 왜곡을 명확히 드러내며, 내가 통계에 대한 비판적 시각을 갖도록 만들었다.

또한, 통계의 신뢰성을 높이기 위해 주의해야 할 점들을 구체적으로 제시하는 부분은 매우 유익했다. 서로 다른 조사 기관의 결과를 비교할 때의 주의점, 표본의 대표성, 응답률의 중요성 등은 통계를 읽는 데 있어 필수적인 지식인데 이에 대한 조언들은 더욱더 합리적인 판단을 내리는데 큰 도움이 될 것 같았다.

결국 이 책은 통계에 대한 신뢰를 회복하고, 왜곡된 정보를 가려낼 수 있는 안목을 기르는 데 필요하다고 생각한다. 통계가 우리 사회의 중요한 부분이라는 것을 인식하고, 그 속에서 진실을 찾는 과정은 결코 쉽지 않지만, 저자들의 명쾌한 설명 덕분에 통계에 대한 호기심을 갖게 되었다. ‘세상을 바로 보는 힘 통계 안목’은 통계의 힘을 이해하고, 이를 통해 더 나은 선택을 할 수 있도록 이끌어주는 소중한 책이다.

저자: 조재근

이제 통계를 활용하지 않는 수행평가를 찾아보기 힘들만큼 나는 요즘 통계와 밀접하게 살아가고 있다. 무언가 보고서를 작성하여 정보를 전달하거나 주장할 때, 통계를 사용하지 않으면 글의 신뢰성을 확보하기가 어렵다. 그러나 아직 나는 통계나 빅데이터가 정확히 무엇인지 잘 모른다. 따라서 나는 이에 대한 지식을 얻기 위해 ‘통계학, 빅데이터를 잡다’라는 책을 읽었다.

이 책은 크게 통계학과 빅데이터의 개념 및 중요성과 의학, 사회, 경제. 생명 등의 분야에서 활용되는 사례로 나뉜다. 저자는 이전까지 잘 섞이지 못했던 통계학과 컴퓨터과학, 비즈니스 등이 융합학문을 이루게 되었다는 ‘데이터 사이언스’를 언급하며, 통계학이 우리 사회에 큰 영향을 미친다는 점을 강조했다.

나는 ‘큰 수의 법칙’을 이용하는 보험 원리 부분을 가장 인상깊게 읽었다. 여기서는 한 사람에게는 100만분의 1 꼴로 발생하는 사건이 350만 인구 부산에서는 그 사건이 발생하지 않을 확률이 0.03이 된다. 즉, 100일 가운데 97일, 사실상 그 사건은 거의 매일 부산 사람 누구에겐가 일어난다는 이야기다. 보험회사는 이를 통해 사람 수가 많으면 일정한 조건의 사람들의 사고 확률이 매년 거의 일정하다는 사실을 이용한다. 저자는 이 이야기를 통해 확률과 통계는 개인이 아닌 집단에 대한 것임을 알려준다. 특히 ‘인간이 확률과 통계를 통해 우연을 길들였다고 하지만 겨우 집단 차원에서의 확률과 규칙성을 알게 되었을 뿐이다. 결국 개인의 운명을 점치는 것은 아직도 역시 점쟁이의 몫이다.’라는 문장이 기억에 남는다.

이 책은 정말 많고 복잡한 확률과 통계 이론을 흥미로운 사례에 적용해 쉽게 설명한다. 그 중에서도 빅데이터와 집단지성을 통한 구글의 독감 예측 성공 사례와, ‘원숭이가 우연적으로 언젠간 타자기로 ‘햄릿’을 칠 수 있을까?‘라는 질문에서 온 ’무한 원숭이의 정리‘등 의 내용이 기억에 남았다. 또한, 통계를 어떻게 이용해야 할지, 어디서 어떻게 써야 유용한지 등을 구체적으로 당부해서 좋았다.

이 책을 선정하게 된 계기는 함수를 이용하여 물체가 이동한 거리나 속도를 측정할 수 있었는데 미적분이라는 것을 접하게 되면서 가속도를 측정할 수 있게 되면서 물체 현상에 대해 흐름을 더 잘 이해할 수 있도록 해주었다. 이렇게 미적분이 현상을 이해하는 데 도움을 주었는데 이외에도 우리 삶 속에 어떤 영향이 미쳤는지 더 알아보고자 이 책을 선정하였다. 이 책은 미적분의 광범위한 개념과 적용 원리에 대해 자세히 설명해주며, 수학 문명 발전에 많은 영향이 미쳤음을 알려주는 책이다.

뉴턴은 운동과 관련된 기본 정리인 움직이는 물체가 이동한 거리를 생각하면서 주어진 변화율로부터 미지의 함수를 추론하면서 팽창하는 문제로 확장하여 페인트 롤러 증명을 정립하였다. 임의의 그래프 형태를 가진 면적을 구하는 방법으로, 뉴턴은 x와 y 면적을 평면 위에 놓고 윗부분 곡선 방정식을 정립하여, 수직 방향의 조각을 하나씩 계산해 y 값을 구하여서 곡선을 y와 x를 연관 짓는 방정식을 설립하였다. 뉴턴은 동역학적으로 바라보면서 접선 자체가 중요하지 않다는 것을 알게 되면서 도함수 개념인 기울기에 중점을 맞추었다. 이 기울기에 대한 연구는 기하학과 운동을 연결지어 설명할 수 있는 중요한 발전이 되었다.

이를 통해 미적분이 우리 현상에 얼마나 많은 영향을 주었는지 알 수 있었으며, 미적분학이 수학 역사상 가장 중요한 발전임을 상기시켜 주었다. 더 나아가 우리가 알지 못했던 무한소 개념을 다루어 우리가 쉽게 계산할 수 있는 자연수가 아닌 실수 전체에 보았을 때, 무한소에 대한 원리를 적용한다면 더욱 쉽게 구할 수 있다는 것을 알 수 있었다. 또한 페인트 롤러를 증명하면서 입자의 궤적이나 광선의 경로처럼 물리적일 때 곡선 아래의 면적을 구할 수 있는지에 대해 궁금증을 가진 것에 놀라웠다. 수학자로서 수학에 깊게 파고드는 능력이 요구된다는 것을 알았지만, 이 현상에 대해서 반대로 생각해보고 다른 학문과의 연결성을 찾는 것에 위대함을 느끼게 되었다.

저자: 클라라 그리마

평소 수학에 관심이 있어 일상생활에서 수학이 활용되는 사례에 대해 자주 탐구해 보았었다. 수학이 일상에서 쓸모있게 사용된다는 책의 제목에 흥미를 가지고 읽게 되었으며, 평소 자주 탐구하지 않았던 확률과 통계 과목과 관련한 일상의 쓰임을 발견해 다양한 수학 분야에서의 일상생활 활용에 대해 알아보고 싶어져 이 책을 선정해 읽게 되었다.
이 책은 다양한 수학적 데이터를 기반으로 일상생활에서 사용되는 사례를 설명해주는 책이다. SNS나 드라마 등 우리가 일상에서 가장 많이 접하고 보지만 사용 및 시청하며 존재를 많이 인식하지 못하는 사소한 일에도 수학적인 원리를 사용하여 SNS에서의 진정한 친구를 알아보는 법, 네트워크의 수학적 기법과 그래프 이론을 바탕으로 드라마의 주인공이 누구일지 예측 및 밝히기 위해 구글 네트워크의 수학적 이론과 구글 알고리즘을 활용한 사례 등 다양한 일상생활의 수학들을 소개해 주었다. 그 중 그래프 이론과 관련해 오일러 그래프와 오일러 항등식, 쾨니히스베르크의 다리 건너기에 관심을 가졌으며, 확률과 통계와 관련된 몬티 홀 딜레마와 몬테카를로의 오류에 대해 흥미롭게 감상하였다.
오일러 그래프와 관련해 쾨니히스베르크의 다리 건너기 중 종이에서 펜을 떼지 않고 한 번에 그릴 수 있는 도형의 조건을 알게 되었다. 한 번에 그릴 수 있는 도형은 두 개 이상의 교차점과 그 사이를 잇는 두 개 이상의 선으로 이루어 지는데, 조건은 모든 꼭짓점이 짝수의 모서리를 갖거나, 단 두 개의 꼭짓점만 홀수의 모서리를 가져야 한다는 것이다. 이렇게 꼭짓점과 모서리로 이루어진 다이어그램이며 모든 꼭짓점이 짝수 개 모서리를 갖는 그래프를 오일러 그래프가 된다는 것을 알 수 있었다. 몬티홀의 딜레마와 관련해 처음 고른 문에 자동차가 있을 확률이 1/3, 다른 문에 있을 확률이 2/3이 된다는 것을 이미 알고 있었다. 하지만 이것의 이해를 돕기 위해 1000개의 문 중에서 내가 고른 문에 자동차가 있을 확률은 1/1000, 다른 문에 있을 확률은 999/1000이다. 그중 진행자가 998개의 문을 연어 확인시켜준다면 내가 선택하지 않은 문에 자동차가 있을 확률은 999/1000이므로 바꾸는 것이 유리하다는 몬티홀의 딜레마에 대한 이해를 완벽히 할 수 있었다. 이와 관련해 휘트먼컬리지의 J.슈로더와 W.T.허브랜슨이 발표한 실험결과에 따르면 비둘기는 몇 번만 겪어보면 선택을 바꾸는 게 유리하다는 사실을 깨닫는다는 것이다. (96.33%가 깨달음.) 반면 사람은 그런 사람이 65.67%뿐이며 이것이 몬테카를로의 오류라고 설명하였다.
이 책을 통해 꼭짓점과 모서리로 이루어졌지만 그중 모든 꼭짓점이 짝수 개의 모서리를 갖는다면 그것은 오일러의 그래프가 될 수 있다는 것을 깨달았으며, 이러한 그래프를 통해 오일러의 항등식이 만들어졌다는 것이 신기했으며 관련된 바탕이론을 알 수 있어 배경지식을 확장할 수 있는 책이었다. 하지만 이 책에는 구체적인 이론과 공식이 나와있지 않아 다른 책으로 오일러의 그래프와 항등식 뿐만 아니라 다양한 그래프 이론에 대해 추가 탐구해 보고 싶다고 생각하였다. 또한 이 책을 통해 확통 시간에 배은 몬티 홀의 달레마에 관련해 완벽히 이해할 수 있었다.

그중 내가 가장 인상 깊었던 것은 제8장 ’얼마나 확신하는가‘ 였다. 책에서는 두 가지의 확률 접근법이 나오는데, 8장을 읽으며 베이지안 접근법이라는 것을 알게 되었다. 책에서 나오는 베이지안 접근법에서의 확률은 사람의 기대 확률을 이야기한다. 여기서 내가 중요하다고 생각하는 것은 이 기대는 절대적이지 않으며, 또한 시간, 상황에 따라 변화하는 확률이라는 점이었다. 베이지안 접근법에 대해 읽으며, 베이즈 정리라는 것을 배우게 되었다. 베이즈 정리는 어떤 일이 일어났을 때, 우리가 알고 있는 정보에 따라 다른 일이 일어날 가능성을 업데이트하는 방법이다. 쉽게 말하면, 새로운 정보를 알게 되며 우리의 생각을 조정하는 규칙인 것이다. 동전을 던져서 앞면이 나올 확률은 50%이다. 그리고 10번을 던졌는데 10번 다 뒷면이 나왔다고 치면, 11번째 동전을 던져서 앞면이 나올 확률은 마찬가지로 50%이다. 하지만 사람의 기대는 50% 이상일 수 있다.

사실 나는 평소에 수학이라는 과목이 단순히 교과과정 그 이상으로 생각해 본적이 없다. 하지만 이 책을 읽으며 처음으로 확률이라는 것이 궁금해졌다. 그렇기 때문에 나에게 있어 이 독후활동이 의미가 있다고 생각한다. 또한 사람은 항상 내일을 예측하며 살기를 바란다고 하지만 미래를 계산하는 것은 불가능하다. 그렇기에 더욱 우리 생활에 밀접하게 파고 든 확률이라는 도구, 하지만 이 확률에도 불확실성이 있다고 하니 정말 알 수 없는 내일이라는 생각이 들었다.

고양이와 물리학을 읽게 된 계기는 양자역학이라는 심오한 주제를 철학적 관점에서 풀어낸다는 점에서 매력을 느꼈기 때문이다. 특히, 현대 물리학의 대표적 사고 실험인 슈뢰딩거의 고양이가 책의 중심 주제라는 점이 흥미로웠다. 고등학생으로서 물리학에 대한 기초 지식을 넘어 더욱 심화된 주제를 탐구하고 싶었고, 이 책은 그러한 지적 호기심을 충족시켜 줄 수 있을 것이라 기대되었다. 과학과 철학을 융합한 이 책은 독자에게 물리학적 사고를 새로운 방식으로 접근하게 하며, 동시에 현대 과학의 다양한 질문을 탐색하는 기회를 제공한다.

책은 슈뢰딩거의 고양이를 중심으로 양자역학의 핵심 개념인 '중첩 상태', '양자 얽힘', '파동 함수 붕괴'를 탐구한다. 양자 물리학의 기본 원리를 통해 자연현상의 복잡성과 철학적 질문을 조화롭게 다룬다. 중첩 상태의 사례로 제시되는 고양이 실험은 관찰자가 측정하기 전까지 고양이가 죽음과 생존의 상태를 동시에 가지고 있다는 양자역학의 아이디어를 상징적으로 보여준다. 양자 얽힘은 두 입자가 물리적 거리와 관계없이 서로 연결된 상태를 유지한다는 개념으로, 고전 물리학의 국소성 원칙을 넘어선다. 이러한 주제들은 단순히 물리학의 이론적 측면만이 아니라, 생명과 우주의 본질에 대한 철학적 사유를 자극한다는 점에서 매우 유익하다. 물리학과 철학적 질문에 관심이 있는 독자라면 강력히 추천할 만한 책이다.

책을 읽으며 느낀 점은 과학이 단순한 지식 축적의 도구가 아니라, 철학적 질문에 답을 제시할 수 있는 강력한 사고 체계라는 것이다. 양자역학을 생명체의 기원이나 진화론과 같은 거시적 질문에 적용하려는 저자의 접근 방식은 매우 신선하게 다가왔다. 개인적으로 추가로 탐구하고 싶은 주제는 양자 얽힘과 생물학의 상호작용에 관한 연구이다. 예를 들어, 광합성에서의 에너지 전달 과정에서 양자 터널링이 어떤 역할을 하는지, 혹은 생체 내 유전자 변이의 양자적 원인이 무엇인지 깊이 공부하고 싶다. 고양이와 물리학은 물리학적 사고가 철학적, 생물학적 질문과 어떻게 융합될 수 있는지를 탐구하는 데 훌륭한 출발점이 되는 책이다.