PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS MATEMATICAS by Carlos Daniel Guerrero Osorio

MONOMIOS

tirexdany — 2017-05-02 23:37:55 UTC

un monomio es una expresión algebraica con solo un termino, las partes de un monomio son: coeficiente numérico, coeficiente literal, signo y exponente.

Suma de monomios

tirexdany — 2017-05-11 03:41:17 UTC

solo podemos sumar monomios semejantes. para sumar monomios tienen que tener la misma parte literal y el mismo exponente:

• 5x² + 2x²= 7x²• 3a + 2a = 5a
• 7xyz² + 3xyz = 7x²yz + 3xyz

Resta de monomios

tirexdany — 2017-05-11 03:52:46 UTC

solo podemos restar monomios semejantes. para restar monomios tienen que tener la misma parte literal y el mismo exponente:

• 5x²y - 3x²y = 2x²y
• 7x²y - 9x²y = -2x²y
• 4x - 3x + 5y = x + 5y

Multiplicación de monomios

tirexdany — 2017-05-11 04:01:59 UTC

°Se le llama multiplicación de monomios a la multiplicación de un solo termino por otro termino.
°Se suman los exponentes de las literales iguales.
°Se escriben las literales diferentes en un solo termino resultado.
°Se coloca el signo de acuerdo a la ley de los signos.

• (5)(x) = 5x
• (5y)(6x) = 30xy
• (2x)(-y)(x) = -2x²y

Division de monomios

tirexdany — 2017-05-11 04:11:17 UTC

°Para dividir dos monomios, se dividen sus coeficientes y se restan los exponentes de la parte literal.
°Si la división de los coeficientes no es exacta se suele representar en fracción o si el grado de la parte inferior es mayor a la parte superior.

24x⁴y²z³

• = 3x³yz³

8xy

-8x⁴y
• = -4x²y
2x² 6x³y⁴z² 2y²
• =
3x⁵y²z⁴ x²z²

POLINOMIOS

tirexdany — 2017-05-11 04:34:15 UTC

un polinomio P(x) de grado n es una funcion que se representa de la siguiente forma:
P(x) = a_nxⁿ + a_n-1 x^n-1+... a, x + a_0,donde a₀≠ 0.
° Los monomios se clasifican:
* Por el numero de términos por ejemplo monomio; 5x³,8y², 3m³n³ etc... binomio; 6x + 9, x² - 4, 2m + 8 etc... trinomio; 3x⁴+ 6x³ - 2x etc...
* Por el grado; el grado de un polinomio esta determinado por el mayor grado de los monomios que lo forman por ejemplo:
3x⁴y² + 2x³y - 3xy² + 8xy tiene grado "6".
*Por el numero de variables por ejemplo: 3x⁴+ 5x²- 2x + 1 (una variable), 3x³y - 2x²y² + 4xy³ - 8 xy (dos variables).

Multiplicación de polinomios

tirexdany — 2017-05-11 05:09:11 UTC

°Para encontrar el producto de dos polinomios es necesario multiplicar cada termino de la primera expresión algebraica por cada uno de los términos de la segunda.
°El numero de términos resultantes es igual al producto del numero de términos del primer polinomio, por el numero de tremimos del segundo.
°Al final se reducen los términos semejantes y se ordena el polinomio.

*Se acomoda la operación como si fuera una multiplicación aritmética. Se recomienda escribir primero el polinomio con mas términos y que los polinomios estén ordenados en forma descendente antes de multiplicar.
*Se multiplican todos los términos del segundo polinomio por cada uno de los términos del primero (se puede hacer de izquierda a derecha o al revés). se recomienda que se vallan escribiendo en columnas los términos semejantes.
*Se reducen los términos semejantes. de ahí la importancia de acomodarlos en columnas.
*se ordena el polinomio en forma descendente.

• (2x+5) (x²-x+2)

x²-x +2 X
2x +5 =

5x²-5x +10 +
+2x³ -2x²+4x =

+2x³+3x²-x +10

• (3x²+6x-2) (7x+8)

3x²+6x -2 X
7x +8 =

24x² +48x -16
21x³ +42x² -14x

21x³ +66x² +34x -16

Suma y resta de polinomios

tirexdany — 2017-05-11 05:09:32 UTC

°para sumar o restar un polinomio a otro, el primer termino se deja igual y a el segundo termino se aplica la ley de signos.
°se acomodan los términos como una suma matemática y se alinean los términos semejantes.
°se realiza la operación sumando y/o restando únicamente términos semejantes.

• (5x²+6x-9) + (-7x+15-8x²)

5x²+6x -9 +
-8x²-7x +15 =

-3x² -x +6

• (6x⁴-5x³+4x²+3x+9) - (9x⁴+3x³-2x²+9x-15)

6x⁴-5x³+4x²+3x +9 -
-9x⁴-3x³+2x²-9x +15 =

-3x⁴-8x³+6x² -6x+24

• (3x⁴-4x³+6x²-1) - (2x⁴-8x²-6x+5)

3x⁴-4x³+6x²-1 -
-2x⁴+8x^{2 +}6x -5 =

x⁴-4x³+14x^{2 +}6x -6

División de polinomios (división sintética)

tirexdany — 2017-05-14 04:33:16 UTC

para poder dividir polinomios de la forma sintética utilizaremos el siguiente ejemplo:

tirexdany — 2017-05-14 04:34:21 UTC

tirexdany — 2017-05-14 04:35:30 UTC

Dividiremos x3 + 2x2 - 4x + 8 por x + 2. Escribe la primera ecuación polinómica, el dividendo, en el numerador y escribe la segunda ecuación, el divisor, en el denominador.

tirexdany — 2017-05-14 04:38:01 UTC

tirexdany — 2017-05-14 04:38:23 UTC

Invierte el signo de la constante en el divisor. La constante en el divisor, x + 2, es positivo 2, así que invirtiendo el signo de a constante te daría -2.

tirexdany — 2017-05-14 04:40:45 UTC

tirexdany — 2017-05-14 04:41:15 UTC

Coloca este número afuera del símbolo de división al revés. El símbolo de división al revés se verá similar a una “L” al revés. Coloca el término de -2 a la izquierda de este símbolo.

tirexdany — 2017-05-14 04:43:31 UTC

tirexdany — 2017-05-14 04:43:59 UTC

°Escribe todos los coeficientes del dividendo dentro del símbolo de división. Escribe los términos de izquierda a derecha como aparecen. Debe lucir de esta manera: -2| 1 2 -4 8.

tirexdany — 2017-05-14 04:44:24 UTC

tirexdany — 2017-05-14 04:44:48 UTC

°Baja el primer coeficiente. Baja el primer coeficiente, 1, debajo de sí mismo. Debe lucir de esta manera:

tirexdany — 2017-05-14 04:45:26 UTC

tirexdany — 2017-05-14 04:46:27 UTC

°Multiplica el primer coeficiente por el divisor y colócalo debajo del segundo coeficiente. Simplemente multiplica 1 por -2 para obtener -2 y escribe este producto debajo del segundo término.

tirexdany — 2017-05-14 04:46:42 UTC

tirexdany — 2017-05-14 04:47:20 UTC

°Suma el segundo coeficiente con el producto y escribe la respuesta debajo del producto. Ahora toma el segundo coeficiente, 2, y súmalo a -2. El resultado es 0. Escribe este resultado debajo de los dos números, de la misma manera que lo harías en una división larga.

tirexdany — 2017-05-14 04:48:19 UTC

tirexdany — 2017-05-14 04:48:59 UTC

°Multiplica esta suma por el divisor y coloca el resultado debajo del tercer coeficiente. Ahora, toma la suma, 0, y multiplícala por el divisor, -2. El resultado es 0. Coloca este número debajo del 4, el tercer coeficiente.

tirexdany — 2017-05-14 04:50:10 UTC

tirexdany — 2017-05-14 04:50:21 UTC

°Suma el producto con el tercer coeficiente y escribe el resultado debajo del producto. Suma 0 y -4 para obtener -4 y escribe la respuesta debajo del 0.

tirexdany — 2017-05-14 04:50:58 UTC

tirexdany — 2017-05-14 04:51:31 UTC

°Multiplica este número por el divisor, escríbelo debajo del último coeficiente, y súmalo al coeficiente. Ahora multiplica -4 por -2 para obtener 8, escribe esta respuesta debajo del cuarto coeficiente, 8, y suma esta respuesta al cuarto coeficiente. 8 + 8 = 16, así que este es tu residuo. Escribe este número debajo del producto.

tirexdany — 2017-05-14 04:51:47 UTC

tirexdany — 2017-05-14 04:52:25 UTC

°Coloca cada uno de los nuevos coeficientes al lado de una variable con una potencia inferior a las variables originales correspondientes. En este caso, la primera suma, 1, es colocada al lado de una x a la segunda potencia (una menos que tres). La segunda suma, 0, es colocada al lado de una x, pero el resultado es cero, así que puedes eliminar este término. Y el tercer coeficiente, -4, se convierte en una constante, un número sin variable, debido a que a variable original era x. Puedes escribir un R al lado del 16, porque es el residuo.

tirexdany — 2017-05-14 04:53:27 UTC

tirexdany — 2017-05-14 04:54:22 UTC

°Escribe la respuesta final. La respuesta final es el nuevo polinomio, x2 - 4, más el residuo, 16, sobre el divisor original, x + 2.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

tirexdany — 2017-05-14 05:02:01 UTC

° Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números y letras ligadas mediante operaciones algebraicas.
° Se llama ecuación de primer grado con una incógnita a una expresión algebraica de la forma ax + b = 0
con a ≠ 0 a,b Eℝ
° La incógnita solo aparece elevada a la potencia 1, ejemplo: 2x + 8 = 0

Se despeja la "X" utilizando las reglas de despeje para encontrar su valor:

tirexdany — 2017-05-14 05:14:10 UTC

tirexdany — 2017-05-14 05:17:13 UTC

x - 3 = 7
x = 7 + 3
x = 10

tirexdany — 2017-05-14 05:18:36 UTC

2x = 20
x = 20 / 2
x = 10

tirexdany — 2017-05-14 05:21:39 UTC

2(2x-3) = 6 + x
4x - 6 = 6 + x
4x - x = 6 + 6
3x = 12
x = 12 / 3
x = 4

tirexdany — 2017-05-14 21:49:56 UTC

x+5 2x+3

2 3

3(x+5) 2(2x+3)
=
2*3 3*2

3x+15 4x+6
=
6 6

3x+15 = 4x +6
3x-4x = 6 -15
-x = -9
x = 9

tirexdany — 2017-05-14 21:59:16 UTC

x-2 3x -1 x
-    =
4 8 2

2(x-2) 1(3x-1) 4(x)
   -       =
4*2 8*1 2*4

2x-4 3x-1 4x
   -    =
8 8 8

2x-4-3x-1 = 4x
2x-3x-4x = 4 + 1
-5x = 5
x = 5

-5

X = -1

DESIGUALDEDES

tirexdany — 2017-05-14 22:23:58 UTC

° una desigualdad es una expresion que indica si una cantidad es mayor o menor que otra.

° los signos de desigualdad son: (>) se lee mayor que, y (<) se lee menor que.

° para resolver una desigualdad vamos a despejar "X" como si se tratara de una ecuación.

° en caso de que haya 2 simbolos de desigualdad (<) se tendrá que resolver la ecuación en dos partes y se obtendrán dos resultados diferentes.

Propiedades de las desigualdades

tirexdany — 2017-05-14 23:52:25 UTC

1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados.
2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo.
3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo.

tirexdany — 2017-05-15 00:01:55 UTC

x-6 < 9
x < 9+6
x < 15

tirexdany — 2017-05-15 00:02:56 UTC

6x-10 > 3x + 5
6x-3x > 5+10
3x > 15
x > 15

3

X > 5

siempre que el signo negativo (-) pase al otro lado de la ecuacion se invertirá la desigualdad.

tirexdany — 2017-05-15 00:07:29 UTC

   x 5x
7 -    >       -6
2 3
7 x 5x 6
-       > -
1*6 2*3 3*2 1*6

42 3x 10x 36
- >    -
6 6 6 6

42 -3x > 10x -36
-10x -3x > -36 -42
-13x > -78
x < -78

-13

X < 6

tirexdany — 2017-05-15 00:33:42 UTC

-1 ≤ 3-5x ≤ 9

2

⁽¹⁾ -1 ≤ 3-5x

2

-1 3-5x
   ≤
1*2 2*1

-2 ≤ 3-5x
5x ≤ 2+3
5x ≤ 5
x ≤ 5

5

x ≤ 1

⁽²⁾ 3-5x
      ≤ 9
2

3-5x 9
   ≤
2*1 1*2

3-5x ≤ 18
-5x ≤ 18 -5
-5x ≤ 15
x ≥ 15

-5

X ≥ -3

1 ≥ X ≥ -3

LENGUAJE ALGEBRAICO

tirexdany — 2017-05-15 01:06:05 UTC

°El lenguaje que utilizamos en operaciones aritméticas en la que solo interviene números se llama lenguaje algebraico.

° Este lenguaje utiliza letras en combinación con números signos.

tirexdany — 2017-05-15 01:09:51 UTC

• La suma de 2 y un numero (X):
2+x

• 3 mas que un numero (X):
3+x

• La diferencia entre un numero y 5:
x-5

• 4 menos que n:
4-n

• un numero aumentado en 1:
x+1

• un numero disminuido en 10:
x-10

• el producto de 2 números:
X * Y

tirexdany — 2017-05-15 01:16:59 UTC

• dos veces la suma de 2 números:
2 (x + y)

•cinco veces un numero:
5(X)

• dos veces un numero sumado a otro:
2x + y

•el cociente de dos números:
x / y

•10 mas que m:
10 + m

•un numero aumentado en 3:
x+3

• un numero disminuido en dos:
x-2

tirexdany — 2017-05-15 01:21:45 UTC

• 1 restado a un numero:
1-a

• el antecesor de un numero cualquiera:
x-1

• el sucesor de un numero cualquiera:
x+1

• tres veces la diferencia de un numero:
3(x-y)

• diez mas que tres veces un numero:
10+3x

• la suma de 24 y 19:
43

tirexdany — 2017-05-15 01:25:36 UTC

• dos veces la diferencia de 9 y 4:
2 (9-4) = 10

• el producto de 6 y 16
(6)(16) = 96

• La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado:
9²- 4² = 81 - 16 = 65

• el cociente de tres al cubo y nueve:
3³ (9)
= 1
9 9

• la suma de 4123 mas otro numero es 8165:
4123 + x = 8165

• la raíz cuadrada de un numero mas es triple d su valor es 1005:
√x+3x = 1005

ECUACIONES SIMULTANEAS (SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES)

tirexdany — 2017-05-15 01:37:33 UTC

° las ecuaciones lineales que forman parte de un sistema de ecuaciones 2 x 2 (dos ecuaciones, dos incógnitas) pertenecen gráficamente a una linea recta. si se grafican ambas ecuaciones, se observan algunas características.

° existen distintos métodos para resolver ecuaciones simultaneas: método por eliminación, metodo por igualación, método por sustitución.

Método por eliminación

tirexdany — 2017-05-15 01:52:16 UTC

su procedimiento cosiste en los siguientes pasos:

*multiplicar una o ambas ecuaciones por un valor para que resulte el mismo coeficiente en alguna de las incógnitas, según sea la que se vaya a eliminar.

*sumar o restar los términos semejantes en las dos ecuaciones que resultan para hacer la eliminación.

*resolver esta ecuación encontrando el valor de la primera incógnita.

*sustituir la literal por el valor en cualquiera de las ecuaciones originales y resolver para encontrar el valor de la otra incongnita.

*obtener la solución del sistema de ecuaciones.

Método por igualación

tirexdany — 2017-05-15 02:08:07 UTC

su procedimiento consiste en los siguientes pasos:

*despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones.

*tomar los miembros de las ecuaciones en términos de la otra incógnita e igualarlos, formando así una nueva ecuación.

*resolver esta tercera ecuación encontrando el valor de la incógnita.

*sustituir el valor en cualquiera de las ecuaciones despejadas en el primer paso y resolver para obtener el valor de la otra incógnita.

*se obtiene la solución del sistema de ecuaciones.

Ejemplo:

tirexdany — 2017-05-15 02:09:57 UTC

7X – 3Y = -1
2X + 6Y = 34.2

7X – 3Y = -1 * 2
2X + 6Y = 34 *7

14X -6Y = -2
14X +42Y = 238

14X-6Y = -2
-14X-42Y = -238

-48Y = -238
Y= -238

-48

Y = 5

tirexdany — 2017-05-15 02:39:11 UTC

2X + 6(5) = 34
2X + 30 = 34
2X = 34 - 30
2X = 4
X = 4

2

X = 2

tirexdany — 2017-05-15 02:41:22 UTC

2(2) + 6(5) = 34
4 + 30 = 34
34 = 34

Ejemplo:

tirexdany — 2017-05-21 02:24:11 UTC

X + 6Y = 27
7X - 3Y = 9

X = 27 -6Y
7X = 9 +3Y

X = 27 -6Y

1

X = 9 +3Y

7

27 -6Y 9 +3Y
=
1 7

7(27 -6Y) = 1(9 +3Y)
189 -42Y = 9 +3Y
-42Y -3Y = 9 -189
-45Y = -180
Y = -180

-45

Y = 4

tirexdany — 2017-05-21 02:40:11 UTC

X +6(4) = 27
X +24 = 27
X = 27 -24

X = 3

tirexdany — 2017-05-21 02:42:42 UTC

7(3) -3(4) = 9
21 -12 = 9
9 = 9

SUSTITUIR VALORES

tirexdany — 2017-05-21 02:46:31 UTC

si en la ecuación:
(5a + 7b)(4) = y

los valores de a = 2 y b = 0

¿cuanto vale y?

5(2) + 7(0) (4)
10 + 0 (4)
40 = Y

TEOREMA DE PITAGORAS

tirexdany — 2017-05-21 02:55:18 UTC

*El teorema de pitagoras establece: en un triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual al la suma de los cuadrados de los catetos su representación algebraica es:

C2 = a2 + b2

*Un triangulo rectángulo es aquel que tiene un angulo recto, es decir, 90°.
*En un triangulo rectángulo el lado mas grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
*La hipotenusa usualmente se representa con la letra "c" y los catetos con las letras "a" y "b"

*por motivos prácticos y haciendo uso de las propiedades de despeje, se usan las siguientes formulas, que permiten calcular el lado mas largo (la hipotenusa) o uno de los pequeños (catetos)

a = √ c²- b² b = √ c²- a² c = √ a²+ b²

Ejemplo

tirexdany — 2017-05-21 03:39:40 UTC

Ejemplo

tirexdany — 2017-05-21 03:41:08 UTC