Reprezentarea Grafica a Functiilor de Gradul al II-lea by MIHAI-RADU TATARU

Scop:

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 16:06:37 UTC

Abilitatea elevilor de a desena graficul oricarei functii de gradul 2.

Obiective:

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 16:08:37 UTC

1) Intelegerea comportamentului functiei de gradul al 2-lea.

2) Asimilarea unor algoritmi logici pentru trasarea functiei intr-un sistem cartezian xOy

Algebric

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 16:21:43 UTC

Prin definitie, o functie

g : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}

se numeste de gradul I daca are forma

g(x)=m*x+n , m\ne0

O functie

f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}

de forma

f(x)= ax^2+bx+c, a\ne0

se numeste de gradul al II-lea.

Geometric gradul I

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 16:35:45 UTC

Functia de gradul I este o linie dreapta. Punctele de pe ea sunt de forma A(x, ax+b). A doua coordonata creste "cu aceeasi viteza" ca prima coordonata

Geometric gradul al II-lea

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 16:42:13 UTC

Evaluand functia in x=1, x=2, x=3, am obtinut punctele A(1,1) B(2,4) C(3,9).

Deducem astfel ca a doua coordonata "creste mai repede" decat prima coordonata. O vom numi crestere patratica.

Parabola

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 16:49:31 UTC

Vom numi de acum inainte multimea formata din punctele de forma A(x, f(x)) o parabola (unde f este o functie de gradul al 2-lea). In continuare, ne vom aminti de notiunea de varf al parabolei invatata in clasa a 8-a.

Formula

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 16:51:29 UTC

Forma canonica

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 16:57:17 UTC

In cazul a>0, varful parabolei reprezinta punctul in care functia noastra f isi atinge cea mai mica valoare. Acest lucru este o consecinta a scrierii unei ecuatii de gradul al II-lea sub forma canonica.

Observati ca, din moment ce paranteza ridicata la patrat este mai mare sau egala cu 0, minimul expresiei (x variaza) este atins cand paranteza ia valoarea 0 (pentru ca a este pozitiv).

Intrebari:

1)Pentru ce x_v va lua paranteza valoarea 0?

2)Ce valoare y_v va lua expresia cand inlocuim x-ul din expresie cu x_v

a>0

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 17:00:55 UTC

a<0

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 17:03:41 UTC

Pentru a<0 putem efectua un rationament analog cu cel din sectiunea precedenta, insa de data aceasta a -ul fiind negativ, putem afla maximul functiei noastre.

Intrebare:

Pentru a<0, functia de gradul al 2-lea are o valoare minima?

Geometric

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 17:07:57 UTC

In ambele situatii, putem observa din grafic ca functia este simetrica fata de dreapta x=-b/2a.

Exercitiu

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 17:11:21 UTC

Demonstrati ca pentru orice functie de gradul al II-lea, este adevarat ca x=-b/2a este o axa de simetrie.

Hint:

1) Cum putem reduce aceasta cerinta in limbaj algebric?

2)Folositi-va de forma canonica a ecuatiei

OY

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 18:02:01 UTC

Axa OY este multimea de puncte de forma (0,y) cu y real. Pentru a afla punctul de intersectie al graficului cu OY, evaluam functia f in x=0.

Observatii:

1) Orice parabola (y=f(x)) se intersecteaza cu OY exact o data.

2) f(0) = a*0 +b*0 +c = c. Prin urmare, aceasta intersectie este usor de calculat si merita aflata deseori!

OX

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 18:02:12 UTC

Axa OX este multimea punctelor de forma (x,0) cu x real. Pentru a afla punctul de intersectie a parabolei cu OX, trebuie sa aflam valorile x₁, x₂, reale pentru care f(x_i)=a*x_i^2+b*x_i+c=0, (daca exista!) i=1,2.

Acest lucru se rezuma la a studia radacinile reale ale ecuatiei a*x^2+ b*x+c=0.

2 radacini

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 18:09:17 UTC

1 radacina dubla

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 18:10:46 UTC

Obs: In acest caz radacina coincide cu varful.

Nicio radacina reala

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 18:12:08 UTC

3 puncte

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 18:17:09 UTC

Pentru a determina in mod unic o parabola, avem nevoie de 3 puncte (Exercitiu! ).

Putem determina intotdeauna varful si intersectia cu OY a unei parabolei. In cazul in care parabola nu are radacini reale, cum am putea determina convenabil inca un punct?

Hint: Folositi-va de proprietatea de simetrie fata de x=-b/2a !

mihairadutataru065_ — 2023-11-06 18:20:52 UTC

1) Desenati urmatoarele parabole, dupa care verificati-va folosind Desmos sau GeoGebra:

a) f(x)=x^2-5x+4

b)f(x)= 3x^2-4x+9

c)f(x)=-2x^2-2x+1

2)Pentru fiecare subpunct de la 1), desenati si :

f1(x)=f(x+2)

f2(x)=f(x)+2

f3(x)=f(x-2)-2

3)Rezolvati cerintele lasate ca exercitiu din Padlet.