La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales recibe el nombre de conjunto de los números reales, y se denota con el símbolo:

 

 

El conjunto de los números reales está formado por una serie de subconjuntos de números que definiremos a continuación:

- Los números naturales que surgen con la necesidad de contar

= {1, 2, 3, 4,...}

-  Los números enteros que complementan a los naturales pues contienen a los negativos y el cero.

 

 

-  El conjunto de los Números Racionales (

) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica. Es decir, el conjunto de los números racionales está compuesto por todos los números que pueden ser escritos como una fracción cuyo numerador y denominador (distinto de cero) son números enteros. 

Ejemplo: 

= {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

 

- El conjunto  de los Números Irracionales (I)  que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.

 

Puesto que los naturales están incluidos en los enteros y todos los enteros pueden ser representados como un número racional, se dice que los números reales son la unión de los números racionales y los irracionales.

a) Propiedad Interna:
El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

Ejemplo: 

 

2 ∈ R,  4/5 ∈ R →  2 + 4/5 = 14/ 5 ∈ R

-2 ∈ R, 23 ∈ R → -2 + 23 = 21 ∈ R

 

b) Propiedad Asociativa:
Si se tienen más de dos sumandos, da igual cuál de las sumas se efectúe primero. Si a, b y c son tres números reales:

0.021 + (0.014 + 0.033) =  (0.021 + 0.014) + 0.033

 

c) Propiedad Conmutativa:
El orden de los sumandos no altera la suma.

3 ∈ R, 4 ∈ R →  3 + 4 = 4 + 3

√3 ∈ R, 9 ∈ R  → √3 + 9 = 9 + √3
 

15,87∈ R, –2.35 ∈ R   →15.87 + (–2.35) =  –2.35 + 15.87 

 

El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

 

 

Ejemplos:

 

0 + 13 = 13 + 0 = 13

 

8763.218 + 0 = 8763.218
 

0 + (–56.41) = –56.51

 

Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el resultado es 0.

 

10 + (-10) = 0
 

2/7 + ( -2/7) = 0
 

87.36 + (–87.36) = 0

 

–4.13 + 4.13 = 0

Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los signos:

a) Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo.

28.7 – 11.2 = 17.5

b) Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo.

11.2 – 28.7 = –17.5

c) Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos.

–28.1 – 11.2 = –39.3

 

28.7 – 11.2 = 28.7 + (–11.2) = 17.5

 

28.7 – (–11.2) = 28.7 + 11.2 = 39.3 

 

f) La resta no tiene todas las propiedades de la suma:

La resta no es una operación conmutativa:

Ejemplo:

52.4 – 31.2 = 21.2, y ese resultado es distinto de 31.2 – 52.4 = –21.2

La multiplicación tiene las siguientes propiedades:

a) Propiedad interna:
El producto de los números reales, es un número real.

 

 

4 • 9 = 36 ∈ R

 

3/4 • 5/7 = 15/28  ∈ R

 

 

Esta propiedad dice que cuando se multiplican tres reales dados o más, el resultado es el mismo independientemente de como se agrupen y se multipliquen.

 

 

 

2 • (3 • 4) = 24  → (2 • 3) • 4 = 24 

 

 

De acuerdo con esta propiedad, cuando dos números reales se multiplican en diferentes órdenes, el resultado es siempre el mismo.

 

 

 

3 • (-8) = (-8) • 3
 

(-2 / 3) • (1/4) = (1/4) •  (-2 / 3)

 

 

De acuerdo con esta propiedad de los números reales, el producto de cualquier número real con elemento neutro o de identidad "1" es el mismo número real.

 

 

Ejemplos:

 

1/2 • 1 = 1/2
 

(−5) · 1 = (−5)

 

 

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

 

 

 

π • ( 7/3 + 0,5) = π •  7/3 + π • 0,5

 

(−2) •  (3 + 5) = (−2) •  3 + (−2) •  5

 

 

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

 

 

 

5 (1/5) = 1 

π (1 / π)

 

 

 

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

 

 

 

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

 

π • 3/5 + π •  0.3 = π • (3/5 + 0,3)

- La división no es conmutativa, pues al cambiar el orden de sus términos el resultado también cambia.

Ejemplos:

10 : 2 = 5 pero 2: 10 = 0,2

40:8 = 5 pero 8:40 = 0,2

 

- La división No es asociativa:  (8 ÷ 4) ÷ 2 =  1   pero  8 ÷ (4 ÷ 2) = 4

- Cero dividido entre cualquier númeo da cero 0: 4 = 0
- No se puede dividir por cero 8:0= no existe

- Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación.
- El cuociente no varía si se multiplica o se divide tanto el dividendo como el divisor por el mismo número. (amplificación o simplificación)

 

-  La adición y la multiplicación de números reales satisfacen las propiedades de conmutatividad y asociatividad; cada operación tiene un elemento neutro y cada número real tiene su elemento inverso, tanto aditivo como multiplicativo (excepto el 0, que no tiene inverso multiplicativo).

-  Es un conjunto denso, esto es, entre dos números reales siempre hay otro número real.

Los números racionales, cuando se escriben como números decimales, son finitos, infinitos periódicos o infinitos semiperiódicos. Sin embargo, los números irracionales son siempre números decimales infinitos pero no periódicos. Considerando su representación en la recta numérica, los números reales ocupan la recta numérica por completo, ya que los números irracionales completan todos los espacios dejados por los racionales en la recta numérica.