Математическая база для появления теории фракталов была заложена за много лет до рождения Бенуа Мандельброта, однако развиться она смогла лишь с появлением вычислительных устройств. В начале своей научной деятельности Бенуа работал в исследовательском центре компании IBM. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача — понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным.

Просматривая результаты измерений шума, Мандельброт обратил внимание на одну странную закономерность — графики шумов в разном масштабе выглядели одинаково. Идентичная картина наблюдалась независимо от того, был ли это график шумов за один день, неделю или час. Стоило изменить масштаб графика, и картина каждый раз повторялась.
При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден.

Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать рисунки и вдумываться в смысл странных узоров-завихрений.

Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».

Стохастические фракталы, смоделированные компьютерной программой, очень похожи на природные творения - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии, «горный массив» и т.д. Примером стохастического фрактала является плазма.

На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии (Часть 1 и 2 рисунка ). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам, на подобие описанных выше (Броуновское движение, цены на акции).

Будущий сооснователь легендарной студии Pixar Лорен Карпентер (Loren C. Carpenter) в 1967 году начал работать в компании Boeing Computer Services, которая была одним из подразделений известной корпорации, занимающейся разработкой новых самолетов.
В 1977 году он создавал презентации с прототипами летающих моделей. В обязанности Лорена входила разработка изображений проектируемых самолетов. Он должен был создавать картинки новых моделей, показывая будущие самолеты с разных сторон. В какой-то момент в голову будущему основателю Pixar Animation Studios пришла в голову креативная идея использовать в качестве фона изображение гор. Сегодня такую задачу может решить любой школьник, но в конце семидесятых годов прошлого века компьютеры не могли справиться со столь сложными вычислениями — графических редакторов не было, не говоря уже о приложениях для трехмерной графики. В 1978 году Лорен случайно увидел в магазине книгу Бенуа Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В этой книге его внимание привлекло то, что Бенуа приводил массу примеров фрактальных форм в реальной жизни и доказывал, что их можно описать математическим выражением.

Такая аналогия была выбрана математиком не случайно. Дело в том, что как только он обнародовал свои исследования, ему пришлось столкнуться с целым шквалом критики. Главное, в чем упрекали его коллеги, — бесполезность разрабатываемой теории. «Да, — говорили они, — это красивые картинки, но не более. Практической ценности теория фракталов не имеет». Были также те, кто вообще считал, что фрактальные узоры — просто побочный результат работы «дьявольских машин», которые в конце семидесятых многим казались чем-то слишком сложным и неизученным, чтобы всецело им доверять. Мандельброт пытался найти очевидное применение теории фракталов, но, по большому счету, ему и не нужно было это делать. Последователи Бенуа Мандельброта в следующие 25 лет доказали огромную пользу от подобного «математического курьеза», и Лорен Карпентер был одним из первых, кто опробовал метод фракталов на практике.

Проштудировав книжку, будущий аниматор серьезно изучил принципы фрактальной геометрии и стал искать способ реализовать ее в компьютерной графике. Всего за три дня работы Лорен смог визуализировать реалистичное изображение горной системы на своем компьютере. Иными словами, он с помощью формул нарисовал вполне узнаваемый горный пейзаж.

Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений — сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график. Вот что он получил.
Впоследствии это изображение было раскрашено (например, один из способов окрашивания цветом — по числу итераций) и стало одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком.
Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, «В одну и ту же реку нельзя войти дважды». Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок.
Желающие посмотреть, как будет выглядеть изображение пространства Мандельброта при многократном увеличении, могут сделать это, перейдя по ссылке.

В первом случае примером может послужить немалое количество архитектурных шедевров прошлого, в которых строители или же сам архитектор неосознанно использовали принцип фрактального строения. Это отражается как в общем облике здания, так и в отдельно взятых деталях фасада. Встречаются такие сооружения и в западной, и в отечественной архитектуре.

Исторический музей в Москве – прекрасный тому пример. Башни пирамидальной формы, являясь самостоятельным элементом, создают общую зигзагообразную линию постройки и в то же время повторяются в мелких деталях, из которых и состоят. 

При проектировании визуальных и функциональных особенностей дизайнер ориентируется не только на свой собственный вкус, но и тех людей, кто будет заинтересован в его изделии не только по функционалу, но и по эстетическим и визуальным свойствам. Фракталы, появившиеся в визуальной среде сравнительно недавно, - с 80 годов прошлого столетия, - за столь короткий промежуток времени уже прочно закрепились во многих направлениях дизайна, занимая в них весомые позиции.

Отдельно такого понятия, как «фрактальный дизайн», пока еще не существует, но совсем скоро и этот стиль уже обретет собственное название и прочные связи с остальными направлениями. А пока дизайнеры со всего мира только начали использовать в своих работах эти замечательные структуры, только недавно описанные видными математиками. Начав с визуализации на мониторах, когда фракталы были уделом экспериментов математиков и программистов, с внедрением новых программных сред и приложений, эти структуры постепенно обретали плоть стараниями многих людей. И сейчас доступны приложения, где фракталы может визуализировать любой желающий, как в 3Д – среде, так и на двумерной плоскости. Сложно сказать, когда и кто впервые стал использовать фрактал как единицу дизайна, но это и неважно. Важно то, что их использование поставило практически все направления современного дизайна на новый уровень, привнесение фрактальных структур увеличило во многих случаях как визуальную, так и функциональную оставляющие дизайна.

Теория фракталов применяется для анализа электрокардиограмм. Оценка величины и ритмов фрактальной размерности позволяют на более ранней стадии и с большей точностью и информативностью судить о нарушениях гомеостазиса и развитии конкретных заболеваний сердца. Рентгеновские снимки, обработанные с помощью фрактальных алгоритмов, дают более качественную картинку, а соответственно и более качественную диагностику!

Еще одна область активного применения фракталов – гастроэнтерология.

Новый метод исследования в медицине, электрогастроэнтерография - метод исследования, позволяющий оценить биоэлектрическую активность желудка, двенадцатиперстной кишки и других отделов ЖКТ.