tema 4 by Vicky Morales

Definición y propiedades de las transformaciones lineales

Tabla de contenidos

¿Qué son las transformaciones lineales?

En primer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales VV y WW , y una función que va de VV a WW . O sea una regla de asignación que transforma vectores de VV en vectores de WW . Pero no toda función que transforme vectores de VV en vectores de WW es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones:

F:V→WF:V→W es una transformación lineal si y sólo si:

F(u+v)=F(u)+F(v) ∀u,v∈VF(u+v)=F(u)+F(v) ∀u,v∈V
F(k.v)=k.F(v) ∀v∈V, ∀k∈RF(k.v)=k.F(v) ∀v∈V, ∀k∈R

Propiedades de una transformación lineal

Propiedad 1

La imagen del vector nulo del dominio 0V0V es el vector nulo del condominio 0w0w :

T(0V)=0wT(0V)=0w

Demostración:

T(0V)=T(0.v)=0.T(v)=0.w=0WT(0V)=T(0.v)=0.T(v)=0.w=0W

Donde hemos expresado a 0V0V como el producto del escalar 00 por cualquier vector del espacio vectorial VV , hemos usado la segunda condición que debe cumplir una transformación lineal, y finalmente hemos vuelto a usar la propiedad de espacios vectoriales sobre el producto del escalar 0 por cualquier vector.

Propiedad 2

La imagen del vector –v–v es igual al opuesto de la imagen de vv :

T(–v)=–T(v)T(–v)=–T(v)

Demostración:

T(–v)=T(–1.v)=–1.T(v)=–T(v)T(–v)=T(–1.v)=–1.T(v)=–T(v)

La justificación de los pasos dados en la demostración es similar a la anterior.

Propiedad 3

Consideremos rr vectores del espacio vectorial VV :

v1,v2,…,vr∈Vv1,v2,…,vr∈V

Tomemos una combinación lineal en el dominio:

α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvrα1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr

Donde αi∈Rαi∈R .

Si aplicamos la transformación lineal FF de VV a WW , teniendo en cuenta las propiedades enunciadas en la definición, resulta:

F(α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr)=α1F(v1)+α2F(v2)+…+αrF(vr)F(α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr)=α1F(v1)+α2F(v2)+…+αrF(vr)

Es decir que una transformación lineal «transporta» combinaciones lineales de VV a WW , conservando los escalares de la combinación lineal.

Ejemplo 1

Analizar si la siguiente función es una transformación lineal:

Resolución

Controlemos primero que el transformado del 0V0V sea el 0W0W . Ésta es una condición necesaria: si no se cumpliera, no sería transformación lineal. Como T((0,0,0))=(0,0)T((0,0,0))=(0,0) , la función dada es «candidata» a ser transformación lineal. Para demostrar que es una transformación lineal tenemos que comprobar las condiciones dadas en la definición.

Condición 1: T(u+v)=T(u)+T(v)∀u,v∈VT(u+v)=T(u)+T(v)∀u,v∈V

Tomemos dos vectores de R3R3

u=(u1,u2,u3)u=(u1,u2,u3)

v=(v1,v2,v3)v=(v1,v2,v3)

Veamos si

T(u+v)=T(u)+T(v)T(u+v)=T(u)+T(v)

Primero hacemos la suma de uu y vv :

Y ahora aplicamos TT :

T(u+v)=(u1+v1+u3+v3,u2+v2–2u3–2v3)T(u+v)=(u1+v1+u3+v3,u2+v2–2u3–2v3)

T(u+v)=T(u)+T(v)T(u+v)=T(u)+T(v)

En conclusión: se cumple la primera de las condiciones.

Nos faltaría la otra propiedad.

Condición 2: T(k.v)=k.T(v)∀v∈V,∀k∈RT(k.v)=k.T(v)∀v∈V,∀k∈R

T(k.v)=T((kv1,kv2,kv3))=(kv1+kv3,kv2–2kv3)T(k.v)=T((kv1,kv2,kv3))=(kv1+kv3,kv2–2kv3)

=k.(v1+v3,v2–2v3)=k.T(v)=k.(v1+v3,v2–2v3)=k.T(v)

Como TT cumple las dos condiciones, es una transformación lineal.

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