Δ DEF≅Δ ABC según el criterio de congruencia Lado, Ángulo, Lado (LAL)

AC=DF (arista)

AB=DE (arista)

BC=EF (arista)

AC=DF (arista)

Por consiguiente, deduciremos que: Δ ABC y Δ DEF son triángulos congruentes según el criterio de congruencia de Lado, Lado, Lado.

Lo escribiremos del siguiente modo:

Δ DEF≅Δ ABC según el criterio de congruencia: Lado, Lado, Lado (LLL)

De lo anterior también deduciremos que:

∠A=∠D∠A=∠D
∠B=∠E∠B=∠E
∠C=∠F∠C=∠F

ya que éstos son ángulos correspondientes e iguales en triángulos congruentes

Para demostrar la congruencia por ALA, identificamos las condiciones: 

1. Ángulo 1 (∠AKB = ∠CKD): Estos son ángulos opuestos por el vértice, por lo tanto, son iguales.

2. Lado (AK = KC): K es el punto medio del segmento AC, lo que significa que AK es igual a KC.

3. Ángulo 2 (∠KAB = ∠KCD): Estos son ángulos alternos internos entre las líneas AB y CD, y la transversal AC, por lo tanto, son iguales.

Dado que hemos identificado un ángulo, el lado entre ellos y otro ángulo en ambos triángulos, se cumple el criterio ALA. 

Demostración: consideremos un triángulo isósceles ABC, donde AC=BC. Tendremos que demostrar que los ángulos opuestos a los lados AC y BC son iguales, es decir, ∠CAB = ∠CBA

Para comprobar esto matemáticamente, tendremos que introducir una línea mediana. En este caso, se debe construir una línea desde un ángulo interior hasta el punto medio del lado opuesto, que es el lado base AB.

Encontraremos el punto M en el lado base AB, donde podremos construir el segmento CM.

Después de construir, obtenemos dos triángulos; estos son CAM y CBM.

Ahora, 

CA = CB (Dado)

AM= BM (mediana)

CM = CM (propiedad reflectante)

Por lo tanto, el triángulo CAM = triángulo CBM.

Entonces, ∠CAM = ∠CBM (CPCTC)

Expresando esto en palabras, hemos demostrado que los tres lados del triángulo CAM son congruentes con el triángulo CBM, lo que significa que aquí se obtiene el postulado LADO LADO LADO, que determina la congruencia. Por lo tanto, si dos triángulos son congruentes, entonces las partes correspondientes al triángulo congruente son congruentes (CPCTC). Esto nos da que A es congruente con ∠B.

“Los lados opuestos a los dos ángulos iguales de un triángulo son iguales”.

Demostración: Consideremos un triángulo isósceles DEF, aquí debemos demostrar que el lado DE = lado DF y DEF es isósceles.

El inverso del teorema del triángulo isósceles dice que si dos ángulos del triángulo son iguales, entonces el lado opuesto es el mismo.

Ahora te preguntas si esta afirmación es verdadera o no. No todas las afirmaciones inversas de una afirmación original son verdaderas. La afirmación inversa puede ser verdadera o falsa si la afirmación original es falsa.

Para demostrar la afirmación inversa, construyamos una bisectriz DG que corte el lado EF en ángulos rectos.

∠DEF = ∠DFE (dado)

DG = DG (propiedad reflectante)

∠DGE = ∠DGF = 90 grados (por construcción)

Por lo tanto, el triángulo DEG = triángulo DFG (por congruencia ALA)

Entonces, DE = DF (Por CPCTC)

En términos más simples, tenemos dos triángulos rectángulos pequeños, DEG y DFG, en lugar de un triángulo isósceles grande. Dado que la línea DG es una bisectriz de un ángulo, hace que <DGE y ∠DGF sean congruentes entre sí. Dado que el segmento DG se usa en ambos triángulos rectángulos, es congruente consigo mismo. Esto sería el teorema de ángulo, lado, ángulo (ALA). Al ser congruentes los triángulos, su parte correspondiente también lo es, lo que hace que DE=DF. Cabe destacar que el recíproco del teorema de isósceles es cierto.

• Teorema de la altura: relaciona la altura (h) con las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (m y n) 

• Teorema sobre la altura y la hipotenusa: relaciona la hipotenusa (a) y altura (h) con los catetos (b y c).

Dado: ∆ABC es un triángulo isósceles con AB = AC.

Construcción: Altura AD desde el vértice A hasta el lado BC.

Para demostrar: ∠B = ∠C.

Demostración: Sabemos que la altura de un triángulo isósceles desde el vértice es la mediatriz del tercer lado. Por lo tanto, podemos concluir que

∠ADB = ∠ADC = 90º ----------- (1)

BD = DC ---------- (2)

Consideremos ∆ADB y ∆ADC

AB = AC [Dado]

AD = AD [lado común]

BD = DC [De la ecuación (2)]

Por lo tanto, por congruencia LLL podemos decir que

∆ADB ≅ ∆ADC

Por CPCT , ∠B = ∠C.

Por lo tanto, hemos demostrado que si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a los lados congruentes son iguales.

1. Datos: Supongamos un triángulo equilátero con un lado de 6 cm.

2. Derivar la altura (h) usando el teorema de Pitágoras:

2. Un triángulo equilátero se puede dividir en dos triángulos rectángulos, donde la altura (h) es un cateto, la mitad de la base (a/2) es el otro cateto, y el lado del triángulo (a) es la hipotenusa.

3. En nuestro ejemplo, la hipotenusa es 6 cm y un cateto (la mitad de la base) es 3 cm (6 cm / 2).

4. Aplicamos el Teorema de Pitágoras: a² = b² + c².

5. 6² = 3² + h².

6. 36 = 9 + h².

7. h² = 36 - 9.

8. h² = 27.

9. h = √27.

10. h = 3√3 cm.

11. Calcular el área:

    • La fórmula general del área de un triángulo es Área = (1/2) base altura.

    • Sustituimos los valores: Área = (1/2) 6 cm 3√3 cm.

    • Área = 3 cm * 3√3 cm.

    • Área = 9√3 cm². 

Alternativa: Usar la fórmula derivada del área del triángulo equilátero

• La fórmula específica del área de un triángulo equilátero es Área = (√3/4) * lado².

• Con un lado de 6 cm:

  • Área = (√3/4) * (6 cm)².

  • Área = (√3/4) * 36 cm².

  • Área = 9√3 cm². 

Ejercicio del teorema del triangulo rectángulo.

1.    Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 centímetros.

2.    Resolvemos:

3.    Apartado 1: sabemos la medida de los catetos (aa y bb):

4.    a=3 cm,b=4 cma=3 cm,b=4 cm

5.    Aplicando el teorema de Pitágoras podemos calcular la hipotenusa:

6.     Calculadora de hipotenusas

Existen tres criterios principales para establecer la congruencia entre dos triángulos:

Lado-Ángulo-Lado (LAL)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes iguales y el ángulo comprendido entre ellos también es igual.

·        Ejemplo: Si en el triángulo ABC, el lado AB mide 5 cm, el ángulo B es de 30° y el lado BC mide 7 cm, y en otro triángulo DEF, el lado DE mide 5 cm, el ángulo E es de 30° y el lado EF mide 7 cm, entonces los triángulos ABC y DEF son congruentes por el criterio LAL.

Ángulo-Lado-Ángulo (ALA)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos correspondientes iguales y el lado comprendido entre ellos también es igual.

·        Ejemplo: Si en el triángulo ABC, el ángulo A es de 45°, el lado AB mide 10 cm y el ángulo B es de 60°, y en otro triángulo DEF, el ángulo D es de 45°, el lado DE mide 10 cm y el ángulo E es de 60°, entonces los triángulos ABC y DEF son congruentes por el criterio ALA.

Lado-Lado-Lado (LLL)

Dos triángulos son congruentes si sus tres lados correspondientes son de la misma longitud.

·        Ejemplo: Si los lados del triángulo ABC miden 3 cm, 4 cm y 5 cm, y los lados del triángulo DEF también miden 3 cm, 4 cm y 5 cm, entonces ambos triángulos son congruentes por el criterio LLL.

Estos criterios se usan para demostrar otros teoremas importantes en geometría.

Teorema del Triángulo Isósceles

Enunciado: Si dos lados de un triángulo son iguales, entonces los ángulos opuestos a esos lados también son iguales.

Demostración usando congruencia:

1.      Dado: Un triángulo ABC donde el lado AB es igual al lado AC (AB = AC).

2.      Construcción: Trazamos la bisectriz del ángulo BAC, que corta al lado BC en el punto D. Una bisectriz divide a un ángulo en dos ángulos iguales, por lo tanto, el ángulo BAD es igual al ángulo CAD.

3.      Análisis: Ahora tenemos dos triángulos: ABD y ACD.

o   AB = AC (Dado).

o   El ángulo BAD = ángulo CAD (Por la construcción de la bisectriz).

o   AD = AD (Es un lado común a ambos triángulos).

4.      Conclusión: Por el criterio Lado-Ángulo-Lado (LAL), el triángulo ABD es congruente con el triángulo ACD.

5.      Resultado: Como los triángulos son congruentes, todas sus partes correspondientes son iguales. Por lo tanto, el ángulo B (correspondiente al ángulo C) es igual al ángulo C.

Teorema de la Mediatriz

Enunciado: Cualquier punto sobre la mediatriz de un segmento está a la misma distancia de los extremos del segmento.

Demostración usando congruencia:

1.      Dado: Un segmento AB y su mediatriz, que es una recta que lo corta en su punto medio M de forma perpendicular (formando ángulos de 90°). Sea P un punto cualquiera sobre la mediatriz.

2.      Análisis: Se forman dos triángulos: PMA y PMB.

o   AM = MB (M es el punto medio de AB).

o   El ángulo PMA = ángulo PMB = 90° (Por definición de mediatriz).

o   PM = PM (Es un lado común a ambos triángulos).

3.      Conclusión: Por el criterio Lado-Ángulo-Lado (LAL), el triángulo PMA es congruente con el triángulo PMB.

4.      Resultado: Como los triángulos son congruentes, sus lados correspondientes son iguales. Por lo tanto, el lado PA es igual al lado PB, demostrando que el punto P equidista de A y B.

Estos son solo un par de ejemplos de cómo los criterios de congruencia son la base para construir y demostrar muchas otras propiedades geométricas.

Enunciado: Demostrar que, en todo paralelogramo, los lados opuestos son iguales.

Datos

·        ABCD es un paralelogramo.

·        Por definición, AB es paralelo a DC (AB || DC) y AD es paralelo a BC (AD || BC).

Por demostrar :

·        AB = DC y AD = BC.

Demostración:

1.      Trazamos la diagonal AC. Esto divide al paralelogramo en dos triángulos: ΔABC y ΔCDA.

2.      Identificamos ángulos iguales.

o   Como AB || DC, y AC es una línea transversal, los ángulos ∠BAC y ∠DCA son ángulos alternos internos, por lo tanto, son iguales (∠BAC = ∠DCA).

o   Como AD || BC, y AC es una línea transversal, los ángulos ∠BCA y ∠DAC son ángulos alternos internos, por lo tanto, son iguales (∠BCA = ∠DAC).

3.      Identificamos lados iguales.

o   El lado AC es común a ambos triángulos (AC = CA).

4.      Aplicamos el criterio de congruencia.

o   Tenemos un ángulo, un lado y otro ángulo que son correspondientemente iguales en ambos triángulos (Ángulo-Lado-Ángulo).

o   Por el criterio ALA, concluimos que ΔABC ≅ ΔCDA.

5.      Conclusión.

o   Dado que los triángulos son congruentes, sus lados correspondientes son iguales. Por lo tanto, AB = CD y BC = DA.

Enunciado: Demostrar que la altura trazada desde el vértice de un triángulo isósceles hacia la base, es también la mediana de dicha base.

Datos:

·        ΔABC es un triángulo isósceles con AB = AC.

·        AD es la altura trazada desde A hasta BC, lo que significa que AD ⊥ BC (el ángulo ∠ADB y ∠ADC son de 90°).

Por demostrar:

·        AD es la mediana de BC, lo que significa que BD = DC.

Demostración:

1.      Consideramos los dos triángulos formados por la altura: ΔADB y ΔADC. Ambos son triángulos rectángulos.

2.      Identificamos lados y ángulos iguales.

o   AB = AC (dado, es un triángulo isósceles).

o   AD = AD (es un lado común a ambos triángulos).

o   ∠ADB = ∠ADC = 90° (dado, AD es la altura).

3.      Aplicamos el criterio de congruencia.

o   Aquí podemos usar el criterio de congruencia para triángulos rectángulos: Hipotenusa-Cateto. La hipotenusa (AB y AC) y uno de los catetos (AD) son iguales en ambos triángulos.

o   También se puede ver por el criterio LAL si consideramos el teorema de Pitágoras, o por el criterio AAL (Ángulo-Ángulo-Lado), ya que si AB=AC, entonces los ángulos base ∠B = ∠C.

4.      Conclusión.

o   Por cualquiera de estos criterios, concluimos que ΔADB ≅ ΔADC.

o   Como los triángulos son congruentes, sus lados correspondientes son iguales. Por lo tanto, BD = DC, lo que demuestra que D es el punto medio de BC y AD es la mediana.

Datos (Hipótesis):

·        ABCD es un romboide.

·        AB = AD.

·        BC = DC.

Por demostrar (Tesis):

·        AC biseca a ∠BAD (es decir, ∠BAC = ∠DAC).

·        AC biseca a ∠BCD (es decir, ∠BCA = ∠DCA).

Demostración:

1.      Consideramos los dos triángulos formados por la diagonal AC: ΔABC y ΔADC.

2.      Identificamos los lados iguales.

o   AB = AD (dado).

o   BC = DC (dado).

o   AC = AC (es un lado común a ambos triángulos).

3.      Aplicamos el criterio de congruencia.

o   Como los tres lados correspondientes de los triángulos son iguales, podemos aplicar el criterio Lado-Lado-Lado (LLL).

o   Por el criterio LLL, concluimos que ΔABC ≅ ΔADC.

4.      Conclusión.

o   Dado que los triángulos son congruentes, sus ángulos correspondientes también deben ser iguales.

o   Por lo tanto, ∠BAC = ∠DAC y ∠BCA = ∠DCA, lo que prueba que la diagonal AC es la bisectriz de ambos ángulos.

Datos (Hipótesis):

·        AB = AD.

·        AC = AE.

·        ∠BAD = ∠CAE.

Por demostrar (Tesis):

·        BC = DE.

Demostración:

1.      Nuestro objetivo es demostrar que ΔABC ≅ ΔADE. Para eso, necesitamos dos lados y el ángulo entre ellos. Ya tenemos dos pares de lados (AB=AD y AC=AE). Necesitamos demostrar que el ángulo comprendido, ∠BAC, es igual al ángulo ∠DAE.

2.      Construimos los ángulos necesarios.

o   Sabemos que ∠BAD = ∠CAE (dado).

o   El ángulo ∠CAD es común a la región entre estos dos ángulos.

o   Si sumamos este ángulo común a ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene: ∠BAD + ∠CAD = ∠CAE + ∠CAD

3.      Identificamos los ángulos completos.

o   Al observar la figura, vemos que (∠BAD + ∠CAD) forma el ángulo completo ∠BAC.

o   De igual manera, (∠CAE + ∠CAD) forma el ángulo completo ∠DAE.

o   Por lo tanto, hemos demostrado que ∠BAC = ∠DAE.

4.      Aplicamos el criterio de congruencia.

o   Ahora, considerando los triángulos ΔABC y ΔADE, tenemos:

§  AB = AD (Lado, dado).

§  ∠BAC = ∠DAE (Ángulo, demostrado en el paso 3).

§  AC = AE (Lado, dado).

o   Por el criterio Lado-Ángulo-Lado (LAL), concluimos que ΔABC ≅ ΔADE.

5.      Conclusión.

o   Como los triángulos son congruentes, sus lados correspondientes son iguales. Por lo tanto, BC = DE.