* "La Cuadratura de la Parábola": Calculó el área de un segmento parabólico, demostrando que es 4/3 del área de un triángulo con la misma base y altura. Para ello, sumó una serie infinita de triángulos cada vez más pequeños, una técnica precursora de la integración.

* 1667: Regresa a Trinity College y continúa su investigación en óptica.

* 1668: Construye el primer telescopio reflector.

* 1669: Se convierte en profesor Lucasiano de Matemáticas en Cambridge.

* 1687: Publica Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, donde presenta las leyes del movimiento y la ley de la gravitación universal.

* 1704: Publica Opticks, detallando experimentos con refracción y el espectro de color.

* Difusión del Cálculo: Jugaron un papel crucial en la popularización y difusión del cálculo en Europa.

* Cálculo de Variaciones (Johann y Jacob): Ambos contribuyeron a la fundación de esta rama del cálculo que trata con la maximización o minimización de funcionales (funciones de funciones).

* 1696: Problema de la Braquistócrona (Johann): Johann propuso este famoso problema (encontrar la curva de descenso más rápido) como un desafío a los matemáticos de Europa, lo que estimuló el desarrollo del cálculo de variaciones.

* Ecuaciones Diferenciales: Realizaron importantes trabajos en la resolución de ecuaciones diferenciales.

* Aplicaciones a la Física: Aplicaron el cálculo a numerosos problemas de mecánica y física.

* 1696: Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes: Publicó el primer libro de texto sistemático sobre cálculo diferencial. Este libro fue instrumental en la difusión del cálculo leibniziano y en su establecimiento como una herramienta matemática fundamental.

* Regla de L'Hôpital: Aunque la regla para calcular límites indeterminados (como 0/0 y infinito/infinito) fue desarrollada por Johann Bernoulli y se la enseñó a L'Hôpital bajo un acuerdo, L'Hôpital la incluyó en su libro y lleva su nombre.

Algunas de sus contribuciones fueron:

* Algoritmos y Reglas Formales: Leibniz se enfocó en desarrollar un conjunto de reglas y algoritmos formales para manipular los diferenciales e integrales, independientemente de la interpretación geométrica. Esto hizo que el cálculo fuera una herramienta más poderosa y aplicable a una gama más amplia de problemas. Él formuló reglas fundamentales como:

* La regla del producto (Regla de Leibniz): d(uv) = u dv + v du.

* La regla de la cadena.

* La relación inversa entre diferenciación e integración, lo que más tarde se conocería como el Teorema Fundamental del Cálculo.

* Concepción Unificada: Leibniz vio la diferenciación y la integración como operaciones inversas desde el principio, una idea central para la formulación moderna del cálculo. Su enfoque algorítmico y simbólico sentó las bases para el desarrollo del cálculo como un sistema formal y sistemático.

Sus principales aportaciones a la historia del cálculo incluyen:

* Fundamentos analíticos del cálculo:

* Théorie des fonctions analytiques (1797) y Leçons sur le calcul des fonctions (1801, revisado en 1806): Estas obras representan el intento más ambicioso de Lagrange de basar el cálculo diferencial e integral puramente en el álgebra, sin recurrir a nociones geométricas o infinitesimales.

* Énfasis en la continuidad y derivabilidad: Aunque sus métodos no fueron completamente exitosos en su objetivo de evitar los límites, su programa resaltó la necesidad de definir rigurosamente las propiedades de las funciones, como la continuidad y la derivabilidad, lo que fue crucial para Cauchy y Weierstrass en el desarrollo del análisis moderno.

* Ecuación de Euler-Lagrange: Lagrange desarrolló un método elegante y analítico para encontrar funciones que extremicen "funcionales". Esto culminó en la famosa Ecuación de Euler-Lagrange, una ecuación diferencial que es central en el cálculo de variaciones. Esta herramienta es indispensable en física (mecánica, óptica, teoría de campos) para encontrar trayectorias o configuraciones que minimicen la "acción" o la "energía".

* Multiplicadores de Lagrange: Es una técnica muy poderosa para encontrar los máximos y mínimos de una función sujeta a una o más restricciones.