Нашій групі “ Історики” було доручено з’ясувати,  хто із вчених і коли ввів поняття “похідної”

       Працюючи над проектом «Історія виникнення похідної» ми зрозуміли що, слова  Є.С.Полата  “ Разом навчатися не тільки легше й цікавіше, але й значно ефективніше” цілком правдиві.

      Переконані що, похідна – одне з фундаментальних понять математики.

Відкриттю похідної та основ диференціального числення передували роботи французьких математиків П’єра Ферма (1601-1665), який у 1629 р. запропонував способи знаходження найбільших і найменших значень функцій, проведення дотичних до довільних кривих, що фактично спиралися на застосування похідних, а також Рене Декарта (1596-1650), який розробив метод координат і основи аналітичної геометрії. У 1670-1671рр. англійський математик і механік Ісаак Ньютон (1643-1727) і дещо пізніше у 1673-1675 рр. німецький філософ і математик Готфрід  Вільгельм Лейбніц (1646 – 1716 ) незалежно один від одного побудували теорію диференціального числення .

І. Ньютон прийшов до поняття похідної, розв’язуючи задачі про миттєву швидкість, а Лейбніц – розглядаючи геометричну задачу про проведення дотичної до кривої.

     Термін «похідна» ввів у 1797 р. французький математик Жозеф Луї Лагранж (1736 – 1813 ). Він ввів і сучасні позначення для похідної у вигляді  y^/   та f^{/ .}   До Лагранжа похідну за пропозицією Лейбніца називали диференціальним коефіцієнтом і позначали    ^.

      Велику роль у розвитку диференціального числення відіграв видатний математик, фізик, механік і астроном Леонард Ейлер, який написав підручник

« Диференціальне числення» (1755 р.).

    За допомогою диференціального числення було розв’язано багато задач теоретичної механіки, фізики, астрономії. Зокрема , використовуючи методи диференціального числення , вчені передбачили повернення комети Галлея, що стало тріумфом науки XVIII ст.

     За допомогою цих методів математики у    XVIII ст. вивчали властивості різних кривих, знайшли криву, по якій найшвидше падає матеріальна точка, навчилися знаходити кривину ліній.

     І тепер поняття похідної широко застосовується у різних галузях науки та техніки.

Ці задачі не прості:

Застосуєш їх в житті.

Ну а щоб їх розв’язати –

Похідну слід добре знати

 Перший учень .Учасники групи “Знавці” переконалися у справедливості слів Р. Декарта “ Недостатньо лише мати гарний розум, головне – це добре застосувати його”.

            Ми отримали завдання: визначити найхарактерніші задачі, які розв’язуються  за допомогою похідної. Опрацьовуючи, в першу чергу, підручники, за якими навчаємось, ми зробили висновок, що за допомогою похідної можна:

-         знаходити найбільше  та найменше значення функції на відрізку;

-         досліджувати та будувати графіки функцій;

-         розв’язувати рівняння;

-         доводити нерівності;

-         розв’язувати рівняння із параметрами;

-         виконувати завдання з наближеними обчисленнями.

Приклади розв’язування таких задач

Другий учень. Довести нерівність:  sin  x  <   x, при   x  >  o;

                                                   Розв’язання

Розглянемо функцію .

для всіх . Отже,   зростає на R. Якщо 0, то ,    тобто  або .

Щоб довести нерівність виду    (або  ) за допомогою похідної  використовують схему:

1.Розглянути допоміжну функцію  (на її області визначення або на заданому проміжку )

2.Дослідити за допомогою похідної поведінку функції (зростання чи спадання  або її найбільше чи найменше значення) на розглянутому проміжку.

3. Обгрунтувати ( спираючись на поведінку функції ), що  0  (або 0 ) на розглянутому проміжку, і зробити висновок, що  

( або   ) на цьому проміжку.

Третій учень. Поняття похідної можна використовувати під час наближених обчислень, коли провести такі міркування :

    Нехай, наприклад, треба обчислити наближене значення функції

 в точці . Значення  у близькій до 2,02 точці х₀=2 знаходимо легко: . Графік функціі в околі точки 2 близький до прямої - дотичної до нього в точці з абсцисою 2. Тому . Маємо           і

   . Обчислення на калькуляторі дають результат 14,57995

 Перший учень Наближені обчислення квадратних коренів та степенів.                                          За допомогою формули              (1)

 можна обчислювати квадратні корені  та степені.  З  формули  (1)

можна вивести  наближені формули    та  .

Користуючись ними знайдемо  1,001¹⁰⁰=(1+0,01)¹⁰⁰≈1+100 * 0,01=1,1

          (Виступи учнів)

Третій учень. А я хочу звернутись до відомої повісті І.П.Котляревського

              «Енеїда».

            Еней після багатьох пригод пристав до берега і потрапив до міста.

            В тім городі жила Дідона,

            А город звався Карфаген,

            Розумна пані і моторна,

            Для неї трохи сих імен:

            Трудяща, дуже працьовита,

            Весела, гарна, сановита.

Так розповідає легенда. 825 років до н.е. фінікійська царівна Дідона з невеликим військом вибрала зручне місце на північному узбережжі Тунійської затоки. Король Нумібії Ярб погодився  продати їй ділянку землі, обмежену «шкурою бика». Дідона не розгубилася. Вона розрізала шкуру на тоненькі смужки, якими обміряла територію найбільшої площі. Так було засновано Карфаген. Якщо ця територія  - прямокутник, то які його розміри?

Учень розв’язує задачу: які розміри матиме  прямокутник найбільшої площі, периметр якого 22 км?

S = ( 11-х)х = -х² + 11х ,  х€(0;11)

S´(х) = -2х +11,  S´(х)=0, -2х +11 =0, х = 5,5

Так як х = 5,5критична точка, то вона є точкою екстремуму. Якщо х€(0;5,5), то S´(х)>0, якщо х€(5,5;11), то S´(х)<0.Таким чином х =5,5 є точкою максимуму.

S = - 5,5² + 11∙5,5 =30,25км².

Висновок. Серед прямокутників найбільшу площу має квадрат.

Перший учень. Завдання: знайти задачі з фізики, які розв’язуються за допомогою похідної.

З-поміж задач ми знайшли найбільш характерні. Це знаходження:

- швидкості та прискорення прямолінійного руху тіла чи матеріальної точки;

- кутової швидкості тіла обертання;

- швидкості зростання маси кристалів;

- швидкості зміни температури в результаті  нагрівання;

- визначення освітленості електричної лампочки.

Другий учень. Я пропоную вам розв’язання однієї цікавої прикладної задачі.

Задача. Посудина з вертикальною стінкою і висотою h розміщена на горизонтальній площині. На якій глибині треба розмістити отвір, щоб дальність витікання води з отвору  була найбільшою (швидкість рідини, що витікає, за законом Торрічелі дорівнює √2gх,  де х – глибина розміщення отвору, g– прискорення вільного падіння).

                                               Розв’язання

 Позначимо через  H  відстань отвору в посудині від горизонтальної площини, а через   L –відстань точки А від стінки посудини. Тоді  L= vt, де t – час польоту води від отвору до площини ( в точку А ).

    З курсу фізики відомо, що  ;  H = . Тоді t =  або         .  Звідси L(x) =    =    =  = 2    ,     0  x  h.        Знайдемо похідну    L ^/ (x) = .

Розв’язуючи рівняння , знаходимо стаціонарну точку .

Оскільки це єдина  стаціонарна точка, то вона й буде шуканою.

Третій  учень. Розв’язує задачу такого змісту

Швидкість v тіла, що рухається у вертикальному напрямку, змінюється за законом v= 9 - 10t (м/с). Визначити швидкість тіла в момент приземлення, якщо воно в початковий момент знаходилось на висоті 2 м від землі.

                                                  Розв’язання

1)     Знайдемо прискорення тіла, що рухається за даним законом

a = v^/ ( t) = - 10 ( м/с² );

Оскільки прискорення стале, то тіло рухається за квадратичним законом:

 h = .

2) v₀ = v(0) =9-10 х 0 = 9 (м/с )

3) Підставимо у формулу  а  та  v₀

h =

Розв’язавши квадратне рівняння, одержимо час приземлення тіла t= 2с та швидкість в момент приземлення v = 9- 10 х 2 = - 11 (м/с )                                          

Третій учень

            Артилеристи ведуть прицільний вогонь із гармати, розміщеної на осі Ох, по бойовій точці противника М   (    ; 1,964).                                                                                   Рельєф місцевості  змінюється за законом   h (x) = cos² x  – cos x

Вважаючи рух снаряда напрямленим похило до пагорба в точці М, визначити траєкторію снаряда (рівняння руху і кут підняття ствола, що необхідно для знищення вогневої точки).

             Перший учень Наша група працювала під  девізом: “Усе, що пізнаю, я знаю, для чого це мені потрібно, де і як можу застосувати ці знання”.

                                                                                                    В.Кильпатрик

            Опрацьовуючи довідкову літературу, матеріал підручників, ми визначили задачі, які зустрічаються в економіці і розв’язуються  за допомогою похідної. Серед них найбільш характерні:

-         визначення загальної вартості утримання різних видів транспорту;

-         визначення продуктивності праці;

-         визначення попиту на товари, зміни прибутку в результаті підвищення ціни;

-         визначення витрат підприємства залежно від об’єму продукції, що випускається;

-         знаходження оптимальних розмірів продукції з найбільшим (найменшим) об’ємом (чи площею).

Другий учень пропонує розв’язання задачі.

 Об’єм продукції u,  яку виробляє  бригада робітників, описується рівнянням                                     (од.),              , де  t – робочий час в годинах. Обчислити продуктивність праці ,  швидкість   її зміни через час після початку роботи і за час до її закінчення.

Розв’язання: Продуктивність праці виражається похідною

                                                          ( од./год.),  а швидкість  зміни продуктивності – відповідно похідною 

У задані моменти часу    і     відповідно маємо:

  z ( 1) = 112,5 (од/год),   z´(1) = 10(од./год.кв ), 

   z(7) =82,5 (од./год.), z´(7) = -20(од./год.кв.)     

Задача. Визначте розміри циліндричної закритої  консервної банки, об’єм  якої дорівнює V см³, щоб її повна поверхня була найменшою, тобто затрати жерсті на її виготовлення були найменшими.                               

 що-небудь – відкрити

 його самостійно.

                                                                                                                          Д.Пойа