Iniciamos um jogo de futebol do time amarelo contra o time vermelho, o jogador do time amarelo sofre uma falta na entrada da área do seu time adversário sendo necessário cobrar uma falta.

 A bola na letra D está em repouso.

 Na letra E o jogador está cobrando a falta a qual sofreu do jogador do time adversário. Portanto a bola ao sofrer a ação de uma força resultante, muda a direção e o sentido da velocidade.

Na letra E observamos a bola percorrendo a distância com velocidade de acordo com a força empregada e o peso de sua massa.

Por conseguinte, temos a letra G, e quando a bola ao bater na rede pois foi realizado o gol, podemos observar com ajuda das Leis de Newton o objeto neste caso a bola mudando o modulo, ou seja, ao sofrer a força da rede, uma força resultante muda sua direção e o sentido da velocidade

Um jogador chuta uma bola eu estava em repouso na entrada da área a uma distância de 15 metros da rede do gol, a bola tem peso de 450 gramas, e a velocidade da bola e de 110 km/h, qual a força empregada pelo jogador para movimentar a bola?

Vamos utilizar a formula F= m.a 

F= força (N)

M= massa (kg)

A= aceleração (m/s)         110km/h ÷ 3,6 = 30,55

F= 0,45.30,55

F= 13,74

Um anel é munido por operação e adição (+) e multiplicação (.),

Tendo as seguintes propriedades da adição;

1-     Associativa; para quaisquer a, b, c ∈ A, temos (a+b)+c = a+(b+c).

2-     Comutativa; para quaisquer a, b ∈ A, temos a + b = b + a.

3-             Existência de elemento neutro para a adição; existe θ ∈ A, tal que a + θ = θ + a = a, para todo a ∈ A.

4-           Existência de simétrico para cada a ∈ A, existe a′ ∈ A, tal que a + a′ = a′ + a = θ.

Propriedades da multiplicação:

1-     Associativa para quaisquer a, b, c ∈ A, temos (a · b) · c = a · (b · c).

2-    Distributiva Para quaisquer a, b, c ∈ A, temos a·(b+c) = a·b+a·c

e (a + b) · c = a · c + b · c.
Conceito de grupo 

Fechado; Para toda operação binária {a*b=c}{ a*b=c}, se a e b pertencem a G, c também deve pertencer a G

Associatividade: Quaisquer elementos a,b,c pertencentes a ℤ ,  (a*b)*c=a*(b*c)}(a*b)*c=a*(b*c)

Existência do elemento neutro: Existe um elemento e em ℤ tal que e*a=a*e=a,} e*a=a*e=a, para todo a pertencente a. ℤ

Existência do elemento simétrico: Para qualquer elemento a em ℤ, existe outro elemento a' em G, tal que, {a*a'=a'*a=e,} a*a'=a'*a=e, onde e é o elemento neutro previamente mencionado.

Conceito de corpo

Um corpo é um anel comutativo com unidade em que todo elemento diferente de 0 possui um elemento inverso com relação à multiplicação.

Este material tem por objetivo mostrar determinados números do conjunto dos números inteiros, como se classificam e anel, grupo corpo, de acordo com uma sequência de números limitados dentro com conjunto Z.O conjunto dos números inteiros, composto das operações adição (distributiva, associativa, comutativa, existência de elemento neutro, existência de elemento simetrizável) na operação de multiplicação o conjunto dos números inteiros é ( distributivo, associativo, comutativo, existência de elemento neutro), portanto o conjunto dos inteiros e um grupo, e anel.

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Identifique todos os elementos invertíveis de Z12com relação a multiplicação ̄x· ̄y= xy.

Solução: Suponhamos que a ∈  ℤ 12 seja invertível e seja ̄b o seu inverso multiplicativo. Então ̄a· ̄b= ̄1= elemento neutro de Z12, temos que ab= 1⇒ab−1=12k, onde k∈Z⇒ab−12k=1. Conseguimos assim uma combinação linear dos inteiros a e 12 dando 1 como resultado. Portanto, mdc (a,12) =1. Por outro lado, se mdc (a,12) =1, então existem x,y∈ Z tais que ax+12y=1⇒ax+12y= ̄1⇒ ̄a ̄x+12 ̄y|{z}= ̄0= ̄1⇒ ̄a ̄x= ̄1, ou seja,  a e invertível. Assim, mostramos que a ∈Z12 é invertível se, e somente se, mdc (a,12) =1. Concluímos então que os elementos invertíveis de ℤ 12 são 1, 5, 7 e11. Como 1· 1= 1, 5· 5= 1 e 7·11= 1 temos que ( 1)−1= 1, ( 5)−1= 5, ( 7)−1=11 e (11)−1= ̄7.Observação. Seja a ∈ Z12 tal que mdc (a,12)>1, por exemplo, a=3. Então, dividindo 12 por mdc (a,12) obtemos 4 como quociente, ou seja, 3·4=12. Dai, 3·4=12, isto é, 3· 4= 0. Se 3 fosse invertível em Z12, obteríamos ( 3)−1·( 3· 4)=( 3)−1· 0⇒(( 3)−1· 3)|{z}= 1· 4= 0⇒ 4= ̄0 o que é absurdo. Fica mostrado assim que 446 não é invertível. Da mesma forma, poderia ser mostrado também que 2, 3, 6, 8, 9 e10 não são invertíveis. Observação. Este exercício pode ser generalizado: um elemento  a ∈ Z n é invertível se, e somente se, mdc (a,n)=1.B6)