^{"Número perfeito [...] é o que apresenta a propriedade de ser igual à soma de seus divisores — excluindo-se, é claro, dentre esses, o próprio número." (TAHAN, 2013, p.61)}

• Se n = S(n): o número n é perfeito.

  Onde, n é um número natural, D(n) são os divisores próprios de um número natural e S(n) é a soma dos divisores próprios.

Exemplos:

• 496 é um número perfeito?

  D (496): 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248

  S (496): 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496

  Assim, 496 é um número perfeito!

  
  

• 28 é um número perfeito?

  D(28): 1, 2, 4, 7, 14

  S(28): 1+2+4+7+14 = 28

  Assim, 28 é um número prefeito!

Curiosidades:

Os números perfeitos conhecidos são pares. Quanto à questão da existência ou não de números perfeitos ímpares, é um dos problemas em aberto que ainda hoje permanece sem solução. (CERQUEIRA, 2023)

Referências:

TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 83ª ed. Rio de Janeiro: Record, 2013.

CERQUEIRA, Victor Gomes. Sobre números perfeitos e quase perfeitos. 2023. Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática e Estatística, Rio de Janeiro, 2023.

_{"Um número natural (n), n > 1, é dito abundante se a soma de seus divisores próprios é superior a ele." (Clubes de Matemática da OBMEP, 2017)}

• Se n < S(n): o número n é abundante.

  Onde, D(n) são os divisores próprios de um número natural e S(n) é a soma de seus divisores próprios.

Exemplos:

• 12 é abundante?

  D(12): 1, 2, 3, 4, 6

  S(12): 1+2+3+4+6 = 16

  Assim, 12 é menor que 16.

  Portanto, 12 é abundante.

• 36 é abundante?

  D(36): 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18

  S(36): 1+2+3+4+6+9+12+18 = 55

  Assim, 36 é menor que 55.

  Portanto, 36 é abundante.

Referências:

CLUBES DE MATEMÁTICA DA OBMEP. Um pouco sobre divisibilidade (Parte 1 - Múltiplos e divisores). Disponível em: <https://clubes.obmep.org.br/blog/teoria-dos-numeros-um-pouco-sobre-divisibilidade-parte-1/>. Acesso em: 26 maio 2025.

^{"Um número natural (n), n > 1, é dito deficiente se a soma de seus divisores próprios é inferior a ele." (Clubes de Matemática da OBMEP, 2017)}

• Se n > S(n): o número n é deficiente.

  Onde, D(n) são os divisores próprios de um número natural e S(n) é a soma de seus divisores próprios.

Exemplos:

• 13 é deficiente?

  D(13): 1

  S(13): 1

  Assim, 13 é maior que 1.

  Portanto, 13 é deficiente.

• 49 é deficiente?

  D(49): 1, 7

  S(49): 1+7 = 8

  Assim, 49 é maior que 8.

  Portanto, 49 é deficiente.

Referências:

CLUBES DE MATEMÁTICA DA OBMEP. Um pouco sobre divisibilidade (Parte 1 - Múltiplos e divisores). Disponível em: <https://clubes.obmep.org.br/blog/teoria-dos-numeros-um-pouco-sobre-divisibilidade-parte-1/>. Acesso em: 26 maio 2025.

^{"Dois números são chamados de amigáveis, se são compostos de tal maneira que a soma das partes alíquotas de um é igual ao outro e, por sua vez, a soma das partes alíquotas do segundo é igual o primeiro." (Euler, 1750, p. 23, tradução Leônico e Fossa)}

• Ou seja, a soma dos divisores próprios de um número é igual outro número, que quando somamos seus divisores próprios, resulta no número anterior.

• n é um número natural, D(n) são os divisores próprios de um número natural e S(n) é a soma dos divisores próprios.

Exemplos:

• 220 e 284 são amigáveis?

  
  

  D(220): 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110

  S(220): 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

  D(284): 1, 2, 4, 71, 142

  S(284): 1+2+4+71+142 = 220

  
  

  Logo, 220 e 284 são amigáveis!

• 1184 e 1210 são amigáveis?

  
  

  D(1184): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 74, 148, 296, 592

  S(1184): 1+2+4+8+16+32+37+74+148+296+592 = 1210

  D(1210): 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110, 121, 242, 605

  S(1210): 1+2+5+10+11+22+55+110+121+242+605 = 1184

  
  

  Logo, 1184 e 1210 são amigáveis!

Referências:

LEÔNCIO, Sarah Mara Silva. Os artigos de Euler sobre os números amigáveis. Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ciências Exatas e da Terra. Natal, 2013.

Euclides, por volta de 300 a.C., formalizou uma definição e uma equação matemática para os números perfeitos, demonstrando que números da forma 2^(n-1) x (2^n) - 1, quando (2^n) - 1 resulta em um número primo, são números perfeitos. Posteriormente, Nicomachus de Gerasa, estudou os padrões dos números perfeitos, embora algumas de suas ideias tenham sido incorretas.

Ao longo da história, algumas culturas atribuíram significados especiais aos números 6 e 28, relacionando os números perfeitos a eventos cósmicos e religiosos. Um exemplo é Santo Agostinho, cujo acreditava que Deus criou o mundo em seis dias por causa da perfeição matemática desse número.

No século XVIII, Leonhard Euler confirmou que todos os números perfeitos pares seguem a fórmula proposta por Euclides, restringindo a busca a primos de Mersenne ((2^n) -1).

CURIOSIDADE: Com o auxilio dos computadores e de tecnologias, a busca por números perfeitos se impulsionou, levando à descoberta de novos primos de Mersenne. Atualmente, tem-se conhecimento de 49 números perfeitos, onde o maior número possui mais de 44 milhões de dígitos.

• No link abaixo, você terá acesso a lista de números perfeitos já conhecidos: http://clubes.obmep.org.br/blog/wp-content/uploads/2016/02/PERFEITOS_final.pdf

Referências:

Números especiais – números perfeitos – Clubes de Matemática da OBMEP. Disponível em: https://clubes.obmep.org.br/blog/numeros-especiais-numeros-perfeitos/. Acesso em: 26 maio 2025.

Além disso, podemos aplicar esse conteúdo como fixação das matérias de MMC e MDC, como uma atividade mais dinâmica e que reforça o conteúdo estudado anteriormente.

Referências:

NEGRÃO, Sávio Ribeiro Gomes. Teoria dos números: uma análise sobre problemas em aberto. 2023. Trabalho de Conclusão de Curso – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia, Campus Valença, 2023.

Números deficientes eram considerados “incompletos” ou "insuficientes", por não atingirem a plenitude de sua estrutura (não se completam com seus divisores).

Os gregos antigos viam os números abundantes como “transbordantes”, cheios, talvez até excessivos, em contraste com os perfeitos e deficientes.

Mais tarde, matemáticos como Nicomachus de Gerasa (século I d.C.) e Santo Agostinho comentaram sobre esses números com um tom quase místico, atribuindo-lhes significados filosóficos.

Dalciane Bergamin Duarte;

Ester da Costa Morozini;

Sabrina Fioretti Miniguite;

Taís Silva da Cruz.